幾何的分類討論，沒有最難只有更難，值得關注一類特殊問題
數學思想方法是數學的生命和靈魂，是數學知識的精髓，是把知識轉化為能力的橋樑。隨著中學數學改革的深入，中考試題正從知識型轉變為能力型，更加突出了對數學思想方法的考查。分類討論是中考數學中必考的思想方法。
題型解析
許多數學問題由於受某些因素的限制，例如概念的不同，位置的不同，範圍的不同，性質的不同等，不能按統一的方法、統一的標準或同一的公式來進行處理，這就需要我們對所研究的對象進行分類，然後進行討論。
分類討論的思想法是一種化整為零、各個擊破、整合結論的解題策略．在分析和解決數學問題中，運用分類討論思想可以將問題的條件和結論的因果關係、局部與整體的邏輯關係揭示得一清二楚，刻畫得十分準確．在解決對象為可變的數量關係和空間圖形形式的數學問題中有著廣泛和重要的作用。
中考涉及到分類討論情形的問題，簡單歸納一下，主要有以下四種常見題型（引起分類討論的主要因素）：
（1）概念型：
問題所涉及到的數學概念本身就是分類進行定義的。例如：絕對值、相切、相離等。
（2）形狀不確定性：
問題中，圖形的形狀是不確定的。例如：等腰三角形、直角三角形、四邊形、相似形等。
（3）位置不確定性：
問題中，圖形的位置是不確定的。例如：點與直線的位置關係（在其上或在其外）、三角形邊上的高（在形內或形外）等。
（4）參數型：
解含參數（字母系數）的題目時，必須根據參數（字母系數）的不同取值範圍進行討論。
下面針對第2類型，圖形形狀不確定型中無附圖問題，沒有給出幾何問題圖形，往往需要我們認真仔細挖掘圖形可能存在不同形狀，才可正確完美求解問題。
經典考題
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，以△ABC的邊AC為一邊的等腰三角形，它的第三個頂點在△ABC的斜邊AB上，則這個等腰三角形的腰長為______．
【解析】分兩種情形：AC為等腰三角形的腰或底邊分別求解即可．
如圖，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，AC＝√3BC＝2√3，
當MA＝MC時，作MT⊥AC，
∵MT∥BC，AT＝TC，∴AM＝MB＝2，
∴等腰三角形AMC的腰長為2，
當AC＝AM′＝2√3時，等腰三角形ACM的腰長為2√3，
故答案為2√3或2．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，點D、E分別是邊BC、AB的中點，將△BDE繞著點B旋轉，點D、E旋轉後的對應點分別為點D'、E'，當直線D'E'經過點A時，線段CD'的長為_____．
【解析】分兩種情況：①點A在E'D'的延長線上時；②點A在線段D'E'的延長線上時；然後分類討論，求出線段BD的長各是多少即可．
如圖1，當點A在E'D'的延長線上時，
∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝4，
∴由勾股定理可求得AB＝2√5，
∵點D、E分別是邊BC、AB的中點，
∴DE∥AC，DE＝1/2AC＝1，BD＝1/2BC＝2，
∴∠EDB＝∠ACB＝90°，
∵將△BDE繞著點B旋轉，
∴∠BD'E'＝∠BDE＝90°，D'E'＝DE＝1，BD＝BD'＝2，
∵在Rt△ABC和Rt△BAD'中，D'B＝AC＝2，AB＝BA，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD'（HL），∴AD'＝BC，且AC＝D'B，
∴四邊形ACBD'是平行四邊形，且∠ACB＝90°，
∴四邊形ACBD'是矩形，∴CD'＝AB＝2√5；
如圖2，當點A在線段D'E'的延長線上時，
∵∠AD'B＝90°，∴由勾股定理可求得AD'＝4，∴AE'＝AD'﹣D'E'＝3，
∵將△BDE繞著點B旋轉，∴∠ABC＝∠E'BD'，
3．等邊三角形ABC中，AB＝3，點D在直線BC上，點E在直線AC上，且∠BAD＝∠CBE，當BD＝1時，則AE的長為________.
【解析】本題是三角形綜合題、考查等邊三角形的性質、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會添加常用輔助線，構造全等三角形或相似三角形解決問題，屬於中考壓軸題．分四種情形分別畫出圖形，利用全等三角形或相似三角形的性質解決問題即可；
分四種情形：①如圖1中，當點D在邊BC上，點E在邊AC上時．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB＝BC＝AC＝3，∠ABD＝∠BCE＝60°，
∵∠BAD＝∠CBE，∴△ABD≌△BCE（ASA），
∴BD＝EC＝1，∴AE＝AC﹣EC＝2．
②如圖2中，當點D在邊BC上，點E在AC的延長線上時．作EF∥AB交BC的延長線於F．
∵∠CEF＝∠CAB＝60°，∠ECF＝∠ACB＝60°，
∴△ECF是等邊三角形，設EC＝CF＝EF＝x，
∵∠ABD＝∠BFE＝60°，∠BAD＝∠FBE，∴△ABD∽△BFE，
∴BD/EF=AB/BF，∴1/x=3/(x+3)，∴x＝3/2，
∴AE＝AC+CE＝9/2
③如圖3中，當點D在CB的延長線上，點E在AC的延長線上時．
∵∠ABD＝∠BCE＝120°，AB＝BC，∠BAD＝∠FBE，
∴△ABD≌△BCE（ASA），∴EC＝BD＝1，∴AE＝AC+EC＝4．
④如圖4中，當點D在CB的延長線上，點E在邊AC上時．作EF∥AB交BC於F，則△EFC是等邊三角形．
設EC＝EF＝CF＝m，
由△ABD∽△BFE，可得BD/EF=AB/BF，∴1/x=3/(3-x)，
∴x＝3/4，∴AE＝AC﹣EC＝9/4，
綜上所述，滿足條件的AE的值為2或4或9/2或9/4．
變式．已知等邊△ABC的邊長為3，點E在直線AB上，點D在直線CB上，且ED＝EC，若AE＝6，則CD的長為_______．
【解析】點E在直線AB上，AE＝6，點E位置有兩種情況：
①E在線段AB的延長線上時，過E點作EF⊥CD於F，
∵△ABC是等邊三角形，△ABC的邊長為3，AE＝6，
∴BE＝6﹣3＝3，∠ABC＝60°，∴∠EBF＝60°，∴∠BEF＝30°，
∴BF＝1/2BE＝3/2，∴CF＝3/2+3＝9/2，
∵ED＝EC，∴CF＝DF，∴CD＝9/2×2＝9；
②如圖2，當E在線段AB的延長線時，過E點作EF⊥CD於F，
∵△ABC是等邊三角形，△ABC的邊長為3，AE＝6，
∴BE＝6+3＝9，∠ABC＝60°，∴∠EBF＝60°，
∴∠BEF＝30°，∴BF＝1/2AE＝9/2，∴CF＝9/2﹣3＝3/2，
∵ED＝EC，∴CF＝DF，∴CD＝3/2×2＝3；即CD＝9或3．
配套練習
1．在▱ABCD中，∠A＝30°，AD＝4√3，連接BD，若BD＝4，則線段CD的長為______．
答案：4或8．
2．已知二次函數y＝（﹣x+a）（x+3）的圖象經過點M、N，M、N的橫座標分別為b，b+3，點M、N的位置隨b的變化而變化，若M、N運動的路線與y軸分別相交於點A、B，且3b﹣a＝m（m為常數），則線段AB的長度為______．
答案：0或3a﹣18或18﹣3a．
3．已知△ABC和一點O，OA＝OB＝OC，∠OAB＝20°，∠OBC＝30°，則∠OCA＝_______°．
【解析】分兩種情形：當外心O在△ABC內部時或外部時分別求解．
答案為40或80．
4．AB、AC是半徑為2的⊙O上的兩條弦，且AB＝2√2，AC＝2√3，那麼，AC的弦心距，圓周角∠BAC所對的弧等於______．
答案為π/3或5π/3．
反思總結
有關分類討論思想的數學問題貫穿中學階段，尤其於高中數學的各個部分，形式多樣、綜合性強，對於培養學生思維的縝密性、條理性、深刻性有著十分重要的作用。
每當我們努力解決一個非常複雜的問題時，如果能出現一個非常驚人的轉折：它把這各個複雜的問題分解為若干的部分，通過簡單的方法就能輕而易舉的解決了，這就是我們平時所講的真正的一種數學美。它展現了"建築"結構上的"優美"，又讓你體驗了人類在追求的完美的目標，即數學的"簡潔美"，清晰易懂和不失數學的嚴格性．因為人類學習數學的目的就是為了能儘可能地用簡潔而基本的詞彙去解釋世界。
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