提起勾股定理大家一定都很熟悉——“勾三股四弦五”嘛！
其实，在古代几大文明古国，数学家们不约而同地都发现了这一定律。在中国西周时期，就有一个叫商高的人发现了“勾三股四弦五”的规律，也就是说只要一个直角三角形两个直角边分别是3、4，那么斜边一定是5，当然这只是一种典型的特例。公元一世纪成书的《九章算术》中则明确写道“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，这就意味着找到了勾股定理的普遍形式。到公元三世纪，三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，并创制了一幅“勾股圆方图”，对勾股定理做出了证明。
勾股定理在西方一般被称为“毕达哥拉斯定理”，因为它和毕达哥拉斯有密切关系。
其实，在西方，最早发现这个定理的也不是毕达哥拉斯本人，而是古埃及人。相传埃及人早就已经知道了“三角形两个直角边分别是3和4或二者的倍数，那么斜边一定是5或5的相应倍数”。但是他们只是发现了它，没能证明它。这就是“只知其然，而不知其所以然”。古希腊人素来热爱纯形式的理论，喜欢研究那些“没有实用性”的知识，所以，当身为古希腊人的毕达哥拉斯得知这一规律后，便想方设法找到其背后的原理。
毕达哥拉斯到底是怎样证明这个原理的？因为年代久远、资料缺失，我们已经不得而知了。我们只知道他成功后非常高兴，特地宰杀了一百头牛来祭神，所以古希腊也把“毕达哥拉斯定理”叫做“百牛定理”。（这说明这个家伙还挺有钱的）。
在数学史乃至哲学史上，“毕达哥拉斯定理”的地位是非常高的。因为它是人类第一个把数与形联系起来的定理，说明二者之间是相通的、可以互相解释说明的。数是存在于抽象思维中的东西，形是存在于现实世界中的东西，数和形可以互相联系，那么思维与存在当然也可以，这就极大地激发了人们用数字和思维探究世界的勇气和信心。
所以说，毕达哥拉斯定理意义非凡，往小了说，它解决了一个集合难题，为人们在工程建筑（比如金字塔、水利工程等）上提供了方便；往大了说，它开启了新世界的大门：我们可以运用看似虚无的理性去把握眼前这个复杂的世界。
甚至毕达哥拉斯由此更加坚定了他的“数本原说”（关于数本原说的内容，可参看我的上一篇文章《不想当哲学家的数学家不是一个好教主——毕达哥拉斯思想简介》）：他认为数之所以可以解释形，是因为数是世界的本原，世界上的一切具体事物都不过是对数的模仿。
可正是这个使毕达哥拉斯为之自豪的定理，却无意间触发了数学史上的第一次危机。
这个危机是还是由毕达哥拉斯的一位门徒——希帕索斯引起的。接下来我们来详述一下整个过程，在叙述中可能会出现一些数学符号，但是大家千万不要嫌弃。因为作为一名文科生的我理解起来都不觉得困难，所以你可以放心阅读。而且我相信，通过阅读，你一定会爱上又蠢又萌的古希腊人的。
好，我们接着这个希帕索斯往下说。据说这位徒弟为了发展师父的定理，他假设了一个等腰直角三角形，并且直角边长都是1。那么根据伟大的“毕达哥拉斯定理”，斜边的平方应该是2，那斜边本身是多少呢？当然我们现在都知道，是（根号下2），但是当时希腊人没有根号的概念，他们要徒手开平方。
我们要知道，古希腊人还不具备无理数的概念，在他们看来，数字只有三种：要么是奇数，要么是偶数，要么是分数，而且这个分数必须要尽量约到最简，即分子和分母中至少有一个是奇数。
这个希帕索斯发现没有一个整数的平方是2，那么这个数就只能是分数。好，那他就假设这个分数是（m/n），于是就得出（m/n）2=2。由此得出m2=2n2。
既然m2=2n2，那么m2一定就是偶数了。希腊人那个时候已经发现了偶数的平方一定是偶数，奇数的平方一定是奇数，所以m一定是偶数。希腊人还发现偶数的平方的一半也一定是偶数。既然这样n2也一定是偶数了，那么n也就是偶数了。于是乎，m和n都是偶数了！
可是他刚开始假设的时候，假定它是一个不能再约分的分数了啊，也就是说，这个分数中m和n至少有一个应该是奇数的啊！
他的假设没有问题，论证过程也无懈可击，但是最后得出的结论
却是自相矛盾的。最终这个也没有找出来。
这就是第一次数学危机。这个希帕索斯本来想证明师父的伟大，但是没想到弄巧成拙，捅了这么个大篓子，搞得以数学见长的毕达哥拉斯学派焦头烂额，很没面子。恼羞成怒的毕达哥拉斯不顾师生情分，把徒弟装进麻袋，抛入地中海淹死了。
虽然不得不承认这是个悲剧，但是我们都会忍不住笑出声。首先，这个所谓的数学危机在我们看来是很幼稚的：归根结底是因为古希腊人没有“无理数”这个概念。其次，这个徒弟确实比较搞笑，这个师父确实也比较生猛，总之他们都好可爱。
我们现在觉得古希腊人可爱，站在上帝视角，或许我们也同样可爱。这可能就是所谓的“人类一思考，上帝就发笑”。一个人可爱大多是因为他可笑。
我们刚才说过，毕达哥拉斯以他的定理为依据提出了“数本原说”，认为世界上所有的事物都可以用数来表达，数和形之间是相通的。这就已经不再是数学原理了，而是一个货真价实的哲学思想了。但是在这个等腰直角三角形这里，明明可以看到一个形（三角形斜边）在那摆着，但是他们却死活找不到表示那个形的数字。于是一场数学危机就这样变成了一个哲学问题。
如果读过我的前一篇文章（《不想当哲学家的数学家不是一个好教主——毕达哥拉斯思想简介》），你会知道毕达哥拉斯这个人本来就喜欢搞那些神神叨叨的东西。现在正好有一个数在一个直角三角形斜边的背后隐而不彰，毕达哥拉斯对此又惶恐、又狂热，以为自己窥到了天机。他认为神秘的、隐而不彰的东西里一定隐藏着真理，隐藏着深刻的、本质性的东西。这个东西越隐秘，越能激发他探究的欲望。
对于每一个学科而言，初创者的旨趣和个性往往能影响甚至决定这个学科的走向。毕达哥拉斯作为早期的一位哲学家，他的这种取舍倾向也埋伏在了哲学史的发展过程中。这种倾向就是：当感觉和思维发生矛盾或冲突的时候，哲学家们更愿意选择相信思维与理性；当现实生活和抽象概念同时摆在眼前，哲学家们更喜欢投身后者，而不喜欢沉浸于前者。
世界本来是一览无余地呈现在我们眼前的，但是我们总觉得有更本质的东西或者一些神圣的秘密隐藏在更深处，等着我们去发掘、去揭示。
这种倾向叫形而上学。
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