提起勾股定理大家一定都很熟悉——“勾三股四弦五”嘛！
其實，在古代幾大文明古國，數學家們不約而同地都發現了這一定律。在中國西周時期，就有一個叫商高的人發現了“勾三股四弦五”的規律，也就是說只要一個直角三角形兩個直角邊分別是3、4，那麼斜邊一定是5，當然這只是一種典型的特例。公元一世紀成書的《九章算術》中則明確寫道“勾股各自乘，並而開方除之，即弦”，這就意味著找到了勾股定理的普遍形式。到公元三世紀，三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細註釋，並創制了一幅“勾股圓方圖”，對勾股定理做出了證明。
勾股定理在西方一般被稱為“畢達哥拉斯定理”，因為它和畢達哥拉斯有密切關係。
其實，在西方，最早發現這個定理的也不是畢達哥拉斯本人，而是古埃及人。相傳埃及人早就已經知道了“三角形兩個直角邊分別是3和4或二者的倍數，那麼斜邊一定是5或5的相應倍數”。但是他們只是發現了它，沒能證明它。這就是“只知其然，而不知其所以然”。古希臘人素來熱愛純形式的理論，喜歡研究那些“沒有實用性”的知識，所以，當身為古希臘人的畢達哥拉斯得知這一規律後，便想方設法找到其背後的原理。
畢達哥拉斯到底是怎樣證明這個原理的？因為年代久遠、資料缺失，我們已經不得而知了。我們只知道他成功後非常高興，特地宰殺了一百頭牛來祭神，所以古希臘也把“畢達哥拉斯定理”叫做“百牛定理”。（這說明這個傢伙還挺有錢的）。
在數學史乃至哲學史上，“畢達哥拉斯定理”的地位是非常高的。因為它是人類第一個把數與形聯繫起來的定理，說明二者之間是相通的、可以互相解釋說明的。數是存在於抽象思維中的東西，形是存在於現實世界中的東西，數和形可以互相聯繫，那麼思維與存在當然也可以，這就極大地激發了人們用數字和思維探究世界的勇氣和信心。
所以說，畢達哥拉斯定理意義非凡，往小了說，它解決了一個集合難題，為人們在工程建築（比如金字塔、水利工程等）上提供了方便；往大了說，它開啟了新世界的大門：我們可以運用看似虛無的理性去把握眼前這個複雜的世界。
甚至畢達哥拉斯由此更加堅定了他的“數本原說”（關於數本原說的內容，可參看我的上一篇文章《不想當哲學家的數學家不是一個好教主——畢達哥拉斯思想簡介》）：他認為數之所以可以解釋形，是因為數是世界的本原，世界上的一切具體事物都不過是對數的模仿。
可正是這個使畢達哥拉斯為之自豪的定理，卻無意間觸發了數學史上的第一次危機。
這個危機是還是由畢達哥拉斯的一位門徒——希帕索斯引起的。接下來我們來詳述一下整個過程，在敘述中可能會出現一些數學符號，但是大家千萬不要嫌棄。因為作為一名文科生的我理解起來都不覺得困難，所以你可以放心閱讀。而且我相信，通過閱讀，你一定會愛上又蠢又萌的古希臘人的。
好，我們接著這個希帕索斯往下說。據說這位徒弟為了發展師父的定理，他假設了一個等腰直角三角形，並且直角邊長都是1。那麼根據偉大的“畢達哥拉斯定理”，斜邊的平方應該是2，那斜邊本身是多少呢？當然我們現在都知道，是（根號下2），但是當時希臘人沒有根號的概念，他們要徒手開平方。
我們要知道，古希臘人還不具備無理數的概念，在他們看來，數字只有三種：要麼是奇數，要麼是偶數，要麼是分數，而且這個分數必須要儘量約到最簡，即分子和分母中至少有一個是奇數。
這個希帕索斯發現沒有一個整數的平方是2，那麼這個數就只能是分數。好，那他就假設這個分數是（m/n），於是就得出（m/n）2=2。由此得出m2=2n2。
既然m2=2n2，那麼m2一定就是偶數了。希臘人那個時候已經發現了偶數的平方一定是偶數，奇數的平方一定是奇數，所以m一定是偶數。希臘人還發現偶數的平方的一半也一定是偶數。既然這樣n2也一定是偶數了，那麼n也就是偶數了。於是乎，m和n都是偶數了！
可是他剛開始假設的時候，假定它是一個不能再約分的分數了啊，也就是說，這個分數中m和n至少有一個應該是奇數的啊！
他的假設沒有問題，論證過程也無懈可擊，但是最後得出的結論
卻是自相矛盾的。最終這個也沒有找出來。
這就是第一次數學危機。這個希帕索斯本來想證明師父的偉大，但是沒想到弄巧成拙，捅了這麼個大簍子，搞得以數學見長的畢達哥拉斯學派焦頭爛額，很沒面子。惱羞成怒的畢達哥拉斯不顧師生情分，把徒弟裝進麻袋，拋入地中海淹死了。
雖然不得不承認這是個悲劇，但是我們都會忍不住笑出聲。首先，這個所謂的數學危機在我們看來是很幼稚的：歸根結底是因為古希臘人沒有“無理數”這個概念。其次，這個徒弟確實比較搞笑，這個師父確實也比較生猛，總之他們都好可愛。
我們現在覺得古希臘人可愛，站在上帝視角，或許我們也同樣可愛。這可能就是所謂的“人類一思考，上帝就發笑”。一個人可愛大多是因為他可笑。
我們剛才說過，畢達哥拉斯以他的定理為依據提出了“數本原說”，認為世界上所有的事物都可以用數來表達，數和形之間是相通的。這就已經不再是數學原理了，而是一個貨真價實的哲學思想了。但是在這個等腰直角三角形這裡，明明可以看到一個形（三角形斜邊）在那擺著，但是他們卻死活找不到表示那個形的數字。於是一場數學危機就這樣變成了一個哲學問題。
如果讀過我的前一篇文章（《不想當哲學家的數學家不是一個好教主——畢達哥拉斯思想簡介》），你會知道畢達哥拉斯這個人本來就喜歡搞那些神神叨叨的東西。現在正好有一個數在一個直角三角形斜邊的背後隱而不彰，畢達哥拉斯對此又惶恐、又狂熱，以為自己窺到了天機。他認為神秘的、隱而不彰的東西里一定隱藏著真理，隱藏著深刻的、本質性的東西。這個東西越隱秘，越能激發他探究的慾望。
對於每一個學科而言，初創者的旨趣和個性往往能影響甚至決定這個學科的走向。畢達哥拉斯作為早期的一位哲學家，他的這種取捨傾向也埋伏在了哲學史的發展過程中。這種傾向就是：當感覺和思維發生矛盾或衝突的時候，哲學家們更願意選擇相信思維與理性；當現實生活和抽象概念同時擺在眼前，哲學家們更喜歡投身後者，而不喜歡沉浸於前者。
世界本來是一覽無餘地呈現在我們眼前的，但是我們總覺得有更本質的東西或者一些神聖的秘密隱藏在更深處，等著我們去發掘、去揭示。
這種傾向叫形而上學。
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