大題專項
解析幾何綜合問題
1.已知橢圓C:x2+3y2=3,過點D(1,0)且不過點E(2,1)的直線與橢圓C交於A,B兩點,直線AE與直線x=3交於點M.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)若AB垂直於x軸,求直線BM的斜率;
(3)試判斷直線BM與直線DE的位置關係,並說明理由.
2.已知橢圓C:=1過A(2,0),B(0,1)兩點.
(1)求橢圓C的方程及離心率;
(2)設P為第三象限內一點且在橢圓C上,直線PA與y軸交於點M,直線PB與x軸交於點N.求證:四邊形ABNM的面積為定值.
3.(2017全國Ⅰ,文20)設A,B為曲線C:y=上兩點,A與B的橫座標之和為4.
(1)求直線AB的斜率;
(2)設M為曲線C上一點,C在M處的切線與直線AB平行,且AM⊥BM,求直線AB的方程.
4 .已知拋物線C:y2=2px(p>0),過焦點且斜率為1的直線m交拋物線C於A,B兩點,以線段AB為直徑的圓在y軸上截得的弦長為2.
(1)求拋物線C的方程.
(2)過點P(0,2)的直線l交拋物線C於F,G兩點,交x軸於點D,設=λ1=λ2,試問λ1+λ2是否為定值?若是,求出該定值;若不是,請說明理由.
5.已知橢圓C:=1(a>b>0)的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形,直線x+y+1=0與以橢圓C的右焦點為圓心,以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設P為橢圓C上一點,若過點M(2,0)的直線l與橢圓C相交於不同的兩點S和T,滿足=t(O為座標原點),求實數t的取值範圍.
6.已知拋物線C1:x2=4y的焦點F也是橢圓C2:=1(a>b>0)的一個焦點,C1與C2的公共弦的長為2.
(1)求C2的方程;
(2)過點F的直線l與C1相交於A,B兩點,與C2相交於C,D兩點,且同向.
①若|AC|=|BD|,求直線l的斜率;
②設C1在點A處的切線與x軸的交點為M,證明:直線l繞點F旋轉時,△MFD總是鈍角三角形.
答案
題型練7 大題專項(五)
解析幾何綜合問題
1.解 (1)橢圓C的標準方程為+y2=1.
所以a=,b=1,c=.
所以橢圓C的離心率e=.
(2)因為AB過點D(1,0)且垂直於x軸,
所以可設A(1,y1),B(1,-y1).
直線AE的方程為y-1=(1-y1)(x-2).
令x=3,得M(3,2-y1).
所以直線BM的斜率kBM==1.
(3)直線BM與直線DE平行.證明如下:
當直線AB的斜率不存在時,由(2)可知kBM=1.
又因為直線DE的斜率kDE==1,
所以BM∥DE.
當直線AB的斜率存在時,設其方程為y=k(x-1)(k≠1).
設A(x1,y1),B(x2,y2),則直線AE的方程為y-1=(x-2).
令x=3,得點M.
由得(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0.
所以x1+x2=,x1x2=,
直線BM的斜率kBM=.
因為kBM-1=
=
==0.
所以kBM=1=kDE,所以BM∥DE.
綜上可知,直線BM與直線DE平行.
2.解 (1)由題意,得a=2,b=1,所以橢圓C的方程為+y2=1.又c=,所以離心率e=.
(2)設P(x0,y0)(x0<0,y0<0),則+4=4.
又A(2,0),B(0,1),
所以直線PA的方程為y=(x-2).
令x=0,得yM=-,從而|BM|=1-yM=1+.直線PB的方程為y=x+1.
令y=0,得xN=-,
從而|AN|=2-xN=2+.
所以四邊形ABNM的面積
S=|AN|·|BM|
=
=
==2.
從而四邊形ABNM的面積為定值.
3.解 (1)設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1≠x2,y1=,y2=,x1+x2=4,於是直線AB的斜率k==1.
(2)由y=,得y'=.設M(x3,y3),
由題設知=1,解得x3=2,於是M(2,1).
設直線AB的方程為y=x+m,故線段AB的中點為N(2,2+m),|MN|=|m+1|.
將y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.
當Δ=16(m+1)>0,
即m>-1時,x1,2=2±2.
從而|AB|=|x1-x2|=4.
由題設知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),
解得m=7.
所以直線AB的方程為y=x+7.
4.解 (1)由已知:直線m的方程為y=x-,代入y2=2px,得x2-3px+=0.
設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=3p,|AB|=x1+x2+p=4p且線段AB的中點為,
由已知()2+=(2p)2,
解得p=2或p=-2(捨去),
所以拋物線C的方程為y2=4x.
(2)設直線l:y=kx+2(k≠0),則D,
聯立得k2x2+4(k-1)x+4=0.
由Δ>0得k<.>
則x3+x4=,x3x4=.
=λ1⇒(x3,y3-2)=λ1,
=λ2⇒(x4,y4-2)=λ2,
所以λ1==-,λ2=-.
則λ1+λ2=-
=-.
將x3+x4=,x3x4=代入上式得λ1+λ2=-1.
即λ1+λ2為定值-1.
5.解 (1)由題意,以橢圓C的右焦點為圓心,以橢圓的長半軸長為半徑的圓的方程為(x-c)2+y2=a2,
∴圓心到直線x+y+1=0的距離d==a.(*)
∵橢圓C的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形,
∴b=c,a=b=c,代入(*)式得b=c=1,
∴a=b=,
故所求橢圓C的方程為+y2=1.
(2)由題意知直線l的斜率存在,設直線l方程為y=k(x-2),設P(x0,y0),
將直線方程代入橢圓方程,得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0,
∴Δ=64k4-4(1+2k2)(8k2-2)=-16k2+8>0,
∴k2<.>
設S(x1,y1),T(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=.由=t,
當t=0時,直線l為x軸,點P在橢圓上適合題意;
當t≠0時,得
∴x0=,y0=.
將上式代入橢圓方程,得=1,整理,得t2=.
由k2
綜上可得t∈(-2,2).
6.解 (1)由C1:x2=4y知其焦點F的座標為(0,1).
因為F也是橢圓C2的一個焦點,
所以a2-b2=1.①
又C1與C2的公共弦的長為2,C1與C2都關於y軸對稱,且C1的方程為x2=4y,由此易知C1與C2的公共點的座標為,所以=1.②
聯立①②得a2=9,b2=8.故C2的方程為=1.
(2)如圖,設A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).
①因同向,且|AC|=|BD|,
所以,從而x3-x1=x4-x2,
即x1-x2=x3-x4,於是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.③
設直線l的斜率為k,則l的方程為y=kx+1.
由得x2-4kx-4=0.
而x1,x2是這個方程的兩根,
所以x1+x2=4k,x1x2=-4.④
由得(9+8k2)x2+16kx-64=0.
而x3,x4是這個方程的兩根,
所以x3+x4=-,x3x4=-.⑤
將④⑤代入③,得16(k2+1)=,即16(k2+1)=,
所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±,即直線l的斜率為±.
②證明:由x2=4y得y'=,所以C1在點A處的切線方程為y-y1=(x-x1),即y=.
令y=0得x=,即M,
所以.而=(x1,y1-1),於是-y1+1=+1>0,
因此∠AFM是銳角,從而∠MFD=180°-∠AFM是鈍角.
故直線l繞點F旋轉時,△MFD總是鈍角三角形.
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