在命題的推證過程中，按推理的途徑將證明方法分為綜合法與分析法，它們是證明推理的常用方法。
一、綜合法
由問題的已知條件或已知事實出發，向問題的結果進行推理，直至推出所求的結果，這種演繹推理方法叫做綜合法。
用綜合法解決問題 “ p → ( → : 表示推出 ) q ” 的表達模式是 ：
p（已知） → q1 → q2 → ... →qn→ q（結論） .
例題1、已知 sin2α = 2sin4° ， 求證 ： tan（α + 2°）cot（α - 2°） = 3 .
證明：由已知得
sin [ （α + 2°）+ （α - 2°） ] = 2 sin [ （α + 2°）- （α - 2°）]
展開整理得
3 cos（α + 2°）sin（α - 2°）= sin（α + 2°）cos（α - 2°）
所以 tan（α + 2°）cot（α - 2°） = 3 .
注：用綜合法解題由已知 p 推出的中間結果往往不止一個，因而到達最終結果 q 的途徑往往不止一條。因此，明確推證方向，選擇最佳途徑是用綜合法解題的關鍵。
二、分析法
由問題的所求結果出發，步步尋求結果成立的充分條件，直至這個充分條件已經具備（或是已知條件，或是已知事實），至此問題獲解，這種推理方法叫做分析法。
分析法是一種由結果追溯到產生這一結果的原因的思維方法，分析法又叫做執果索因法 。
用分析法解決問題 “ p → ( → : 表示推出 ) q ” 的表達模式是 ：
q（結論）← q1 ← q2 ←... ←qn ←p（已知）.
例題2、已知 a > 5 , 求證 ：
例題2圖（1）
證明：要證原不等式成立，只要證：
例題2圖（2）
只要證：
例題2圖（3）
只要證：a(a - 5 ) < ( a - 2 )( a - 3 ) ,
即證 ：
例題2圖（4）
只要證 0 < 6 ， 故原不等式成立 。
注：用分析法解題步步追溯的條件都是結論成立的充分條件（充要條件更成立），因此分析法表述中的箭頭都是倒箭頭，在倒溯中要時時聯繫已知條件 p 進行猜想，選擇最佳途徑，這也是一個猜證結合點 。
三、小結
綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種方法，也是解決數學問題時常用到的思維方式，常把他們結合起來使用。
當遇到較難的新命題時，應當先用分析法來探求解法，然後將找到的解法用綜合法敘述出來。
四、作業
習題圖（1）
習題圖（2）
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