1、冪函數的概念
一般地，函數
叫做冪函數，其中是自變量，是常數；其定義域是使 有意義的值的集合。 例1、已知冪函數
，且當
時
為減函數。求冪函數的解析式。分析：正確理解冪函數的概念、冪函數的圖象與性質。求冪函數的解析式，一般用待定係數法，弄明白冪函數的定義是解題的關鍵。
解答：由於
為冪函數，
所以
，解得
，或
。當時，
，
在上為減函數；當時，
，
在上為常函數，不合題意，捨去。故所求冪函數
的解析式為
。2、冪函數的圖象和性質
圖象：
性質：
（1）所有的冪函數在上都有定義，並且圖象都過點；
（2）如果
，則冪函數的圖象過點
和，並且在區間
上是增函數；（3）如果
，則冪函數的圖象過點，並在區間上是減函數。在第一象限內，當從
趨向於原點時，圖象在
軸右方無限地逼近軸，當趨於時，圖象在軸上方無限地逼近軸； （4）當為奇數時，冪函數為奇函數；當為偶數時，冪函數為偶函數。
例2、比較
，，
的大小。
分析：先利用冪函數
的增減性比較與的大小，再根據冪函數的圖象比較與的大小。
解答：
而在上單調遞增，且
，
。故
。
例3、若函數
在區間
上是遞減函數，求實數m的取值範圍。
分析：本題考查簡單冪函數的性質以及函數圖象的平移問題。
函數
是一個比較常用的冪函數，它也叫做反比例函數，其定義域是
，是一個奇函數，對稱中心為（0，0），在
和上都是遞減函數。一般地，形如
的函數都可以通過對 
的圖象進行變換而得到，所以這些函數的性質都可以藉助的性質來得到。解答：由於
，所以函數的圖象是由冪函數
的圖象先向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到的，所以其圖象如圖所示。
其單調遞減區間是
和
，而函數在區間
上是遞減函數，所以應有
。 例4、若點
在冪函數
的圖象上，點
在冪函數
的圖象上，定義 
，試求函數
的最大值及其單調區間。 分析：首先根據冪函數的定義求出
，然後在同一座標系下畫出函數和的圖象，得出
的函數圖象，最後根據圖象求出最大值和單調區間。
解答：設
，因為點在的圖象上，所以
，所以
，即；又設
，點在的圖象上，所以
，所以
，即 
。在同一座標系下畫出函數和的圖象，如圖所示，則有
。
根據圖象可知函數的最大值等於
，其單調遞增區間是（
，－1）和（0，1）；單調遞減區間是
和 
。例5、已知冪函數
是偶函數，且在上是減函數，求函數的解析式，並討論
的奇偶性。 分析：先根據單調性求出m的取值範圍，再由奇偶性進一步確定m的取值。討論
的奇偶性時要注意對字母的討論。
解答：由在上是減函數得
，
。∵
， 
0，1。又因為是偶函數，∴只有當
時符合題意，故
。於是
，
。
當
且
時，為非奇非偶函數；當
且時，為奇函數；
當且
時，為偶函數；
當且時，為既奇又偶函數。
例6、已知冪函數
在
上是增函數，且在定義域上是偶函數。（1）求的值，並寫出相應的函數的解析式；
（2）對於（1）中求得的函數，設函數
。問是否存在實數
，使得函數在區間上是減函數，且在區間上是增函數？若存在，請求出
的值；若不存在，請說明理由。 分析：第一問先根據單調性求出的取值範圍，再由奇偶性進一步確定的取值。第二問可根據複合函數單調性的規律來解。
解答：（1）∵冪函數
在上是增函數，∴
∴
又
，∴
∵在定義域上是偶函數，∴只有當
時符合題意，故。
（2）由，則
。
假設存在實數，使得滿足題設條件。令
，則
。∵在上是減函數，∴當
時，
；當
時， 
。若在區間上是減函數，且在區間上是增函數，則
在
上是減函數，且在
上是增函數，此時二次函數的對稱軸方程是 
即
， ∴
。
故存在實數，使得函數在區間上是減函數，且在區間上是增函數。
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