一、定比分點
若
，則稱點為點
、的
定比分點．當
時，點在線段
上，稱為內分點；當
（
）時，點在線段的延長線上，稱為外分點．定比分點座標公式：若點，，，則點的座標為
二、點差法
點差法其實可以看作是方程的相減，是對方程的一個巧妙的處理。
若點在有心二次曲線
上，則有
兩式作差得
此即有心二次曲線的垂徑定理，可以解決與弦的中點相關的問題．
1、弦的中點
點差法一個妙用：
例1 已知橢圓 ，直線 交橢圓於 兩點， 為 的中點，求證： 為定值。
分析 用常規方法設直線也可以解決，但是計算就很繁雜，在這裡使用點差法。
解 設 ， ，
在橢圓上： ，
作差得：
即： ，
因為
所以 ，為定值。
以上結論與弦的中點有關，也稱為垂徑定理。
考慮當橢圓為圓的時候， ，則 ， ，正好也符合圓的“垂徑定理”。
在雙曲線中 同樣有類似的結論，但定值為 ，在這裡就不再推導了。
2、弦上的定比分點
當弦上的點不再是中點時，就成了定比分點：
設 ， ， ，則 點座標可以表示為：
，
證明 設 ， ，化簡可得：
，同理
這時候就出現了 這樣形式的式子。
如果再湊出 ，可能大家就會有點感覺了：
可以將橢圓的方程乘上一個 再作差，得到這樣的式子。
因此我們想到了“定比點差法”這樣的技巧。
例2 已知橢圓 ， 在橢圓外，過 作直線 交橢圓於 兩點， 在線段 上且滿足： ，求證：點 在定直線上。
分析 按照以上思路，要出現 和 這樣的式子，很容易想到設 的座標，再表示出 的座標。
解 設 ， ， ，
則 ，結合圖形得：
則 ，
在橢圓上： ①， ②
得：
即
，所以 在定直線 上。
下面介紹定比點差法：
若點在有心二次曲線上，則有
兩式作差得
這樣就得到了
例7、過異於原點的點
引橢圓
的割線，其中點在橢圓上，點是割線上異於的一點，且滿足
．求證：點在直線 
上．證明：直接運用定比點差法即可．
設，則有
，設
，則有
又因為點在橢圓上，所以有 
兩式作差得
兩邊同除以 
，即可得到
命題得證． 例8、已知橢圓
，過定點
的直線與橢圓交於兩點（可以重合），求
的取值範圍．解析：設，，則
．
於是
，於是
又因為點在橢圓上，所以有
兩式相減得
將(1)代入(2)中得到
由(1)(3)解得
從而解得的取值範圍為
，於是的取值範圍為
．
例9、設
、
為橢圓的左、右焦點，為橢圓上任意一點，直線
分別交橢圓於異於的點、，若
， 
，求證：
． 證明：設，，，則
於是有
又由點
在橢圓上得到
兩式相減得 
從而有
結合(4)式可解得 
同理可得
結合(5)式得到 
於是有
整理得，命題得證． 例10、已知橢圓
，點
，過點作橢圓的割線，
為關於
軸的對稱點．求證：直線 
恆過定點．
解析：因為
三點共線，
三點也共線，且
三點都在橢圓上，我們用定比點差法去解決這個問題．設，，則
，設與軸的交點為
，，
，則 
於是有
由點 
在橢圓上得
兩式相減得 
將(2)代入(3)得
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