現代數學上的三大難題歸納為⑴20棵樹植樹問題，⑵四色繪地圖問題，⑶單色三角形問題。
20棵樹植樹問題，每行四棵，古羅馬、古希臘在16世紀就完成了16行的排列，1 8世紀高斯猜想能排18行，19世紀美國勞埃德完成此猜想，20世紀末兩位電子計算機高手完成20行紀錄，跨入21世紀還會有新突破嗎？
四色繪地圖問題,是相鄰兩國不同著一色，任一地圖著色最少可用幾色完成著色 ？五色已證出，四色至今僅美國阿佩爾和哈肯，羅列了很多圖譜，通過電子計算機逐一理論完成，全面的邏 輯的人工推理證明尚待有志者。
單色三角形問題,是任三人中可證必有兩人同性，任六人中必有三人互相認識或互相 不認識（認識用紅線連，不認識用藍線連，即六質點中二色線連必出現單色三角形）。 單色三角形研究中，尤以不出現單色三角形的極值圖譜的研究更是難點中之難點，熱門中之熱門。
1.與世紀同行的二十棵樹植樹問題
很久很久以前，阿拉伯數字王國的國王過20歲生日，羅馬數字王國派人送來了20棵珍貴的樹，作為生日禮物。
阿拉伯數字國王十分高興，他命令"20"大臣將這20棵樹栽在宮廷花園裡，每行要有4棵，還要使行數最多。這可是一個很難很難的問題啊。"20"大臣張榜招賢，凡是能巧妙地栽這20棵樹的人將有重賞。可是，誰也設計不出來。
"20"大臣日夜思索，翻了大量的資料，又用石子進行了一次次的試驗。他畫了成千成萬個圖樣。畫著，試著，忽然，他眼睛一亮，看到了一張極其美妙的圖案。
"20"大臣立即把圖案奉獻給國王。國王見了非常高興，"20"大臣指著圖案對國王說："陛下，您看，圖中所栽的樹不論橫數、豎數或斜數，每行都是4棵，這樣最多18行。"
國王讚歎不止，說："這樣美麗奇妙的植樹圖案，我在任何公園都沒有看見過，簡直太美妙了。我要重重地賞您！"
"20"大臣站了起來，笑了笑說："陛下，別賞我，這並不是我發明的。"
"什麼？這不是你的發明？"國王問。
"對，這是一位名叫山姆·勞埃德的數學家發明和設計的，我只是把他的圖案用到植樹問題上來。""20"大臣據實說。
"好，好，你能用上這個圖案，也是有功的。"說著，國王宣佈了對"20"大臣的獎賞，並將這個圖案命名為"20圖案"，是世界上最美麗的植樹圖案。
國王立即派人按照"20圖案"把20棵樹栽在宮廷的花園裡。從此，這美麗的植樹圖案就一直流傳至今。
20棵樹植樹問題，簡單地說，就是：有20棵樹，若每行四棵，問怎樣種植 （組排），才能使行數更 多？幾個世紀以來一直享譽全球，不斷給人類智慧的滋養，聰明的啟迪，伴隨人類文明幾個世紀，點綴裝飾於高檔工藝美術的百花叢中，美麗經久不衰、與日俱增且不斷進步，不斷髮展，在人類文明的進程中更加芬芳嬌豔，更加靚麗多采。 [來源:學#科#網Z#X#X#K]
20棵樹植樹問題，源於植樹，昇華在數學上的圖譜學中，圖譜構造的智、巧、美又廣泛應用於社會的方方面面。 早在十六世紀，古希臘、古羅馬、古埃及等都先後完成了十六行的排列並將美麗的圖譜廣泛應用於高雅裝飾建築、華麗工藝美術（圖1）。進入十八世紀，德國數學家高斯猜想20棵樹植樹問題應能達到十八行，但一直未能見其發表繪製出的十八行圖譜。直到十九世紀，此猜想才被美國的娛樂數學大師山姆·勞埃德完成並繪製出了精美的十八行圖譜，而後還製成娛樂棋盛行於歐美，頗受人們喜愛（圖2）。
進入20世紀，電子計算機的高速發展方興未艾，電子計算機的普及和應用在數學領域中也大顯身手，電子計算機繪製出的數學圖譜更是廣泛應用於工藝美術、建築裝飾和自然科學領域。數學上的20棵樹植樹問題也隨之有了更新的進展。在二十世紀七十年代，兩位數學愛好者巧妙地運用電子計算機超越數學大師山姆·勞埃德保持的十八行紀錄，成功地繪製出了精湛美麗的二十行圖譜，創造了20棵樹植樹問題新世紀的新紀錄並保持至今（圖3）。
星移斗換，今天，人類已經從20世紀跨入了21世紀的第一個年代。20棵樹植樹問題又被數學家們從新提出：跨入21世紀，20棵樹，每行四棵，還能有更新的進展嗎？數學界正翹首以待。國外有人曾以二十萬美金設獎希望能有新的突破，隨著高科技的與日俱進和更新發展，期望將來人類的聰明智慧與精明才幹能突破現在20行的世界紀錄，讓20棵樹植樹問題能有更新更美的圖譜問世，扮靚新的世紀。
2. 地圖中的數學難題——四色定理
四色問題又稱四色猜想、四色定理，是世界近代三大數學難題之一。地圖四色定理（Four color theorem）最先是1872年由一位叫格斯里（Francis Guthrie）的英國大學生提出來的。
四色問題的內容是"任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色。"也就是說在不引起混淆的情況下一張地圖只需四種顏色來標記就行。
用數學語言表示即"將平面任意地細分為不相重疊的區域，每一個區域總可以用1234這四個數字之一來標記而不會使相鄰的兩個區域得到相同的數字。"這裡所指的相鄰區域是指有一整段邊界是公共的。如果兩個區域只相遇於一點或有限多點就不叫相鄰的。因為用相同的顏色給它們著色不會引起混淆。
1913年，美國著名數學家、哈佛大學的伯克霍夫利用肯普的想法，結合自己新的設想；證明了某些大的構形可約。後來美國數學家富蘭克林於1939年證明了22國以下的地圖都可以用四色著色。1950年，溫恩從22國推進到35國。1960年，有人又證明了39國以下的地圖可以只用四種顏色著色；隨後又推進到了50國。看來這種推進仍然十分緩慢。
高速數字計算機的發明，促使更多數學家對"四色問題"的研究。電子計算機問世以後，由於演算速度迅速提高，加之人機對話的出現，大大加快了對四色猜想證明的進程。就在1976年6月，在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億個判斷，結果沒有一張地圖是需要五色的，最終證明了四色定理，轟動了世界。
這是一百多年來吸引許多數學家與數學愛好者的大事，當兩位數學家將他們的研究成果發表的時候，當地的郵局在當天發出的所有郵件上都加蓋了"四色足夠"的特製郵戳，以慶祝這一難題獲得解決。
但證明並未止步，計算機證明無法給出令人信服的思考過程。問題影響一個多世紀以來，數學家們為證明這條定理絞盡腦汁，所引進的概念與方法刺激了拓撲學與圖論的生長、發展。在"四色問題"的研究過程中，不少新的數學理論隨之產生，也發展了很多數學計算技巧。如將地圖的著色問題化為圖論問題，豐富了圖論的內容。不僅如此，"四色問題"在有效地設計航空班機日程表，設計計算機的編碼程序上都起到了推動作用。
為何在無法給出嚴密證明的前提下，數學家們仍能聲稱這一難題已被解決呢？1976年，通過100億個四色地圖的成功判斷，我們用事實證明了它的正確。而如此龐大的數據支持，自然要仰賴於服務器優越的計算能力。
3. 於無聲處聽驚雷--單色三角形問題
空間裡有n個點，任意三點不共線。每兩個點之間都用紅色或者黑色線段鏈接。如果一個三角形的三條邊同色，則這個三角形是單色三角形。對於給定的紅色線段列表，找出單色三角形的個數。
分析：由於三角形總數C(n,3)，所以求出異色三角形個數就求出了同色三角形個數。用暴力枚舉的方法，我們將遍歷所有的三角形，時間複雜度為O(n^3),則必定超時。而經過推敲，我們會發現這樣的對應關係，一個異色三角形存在兩個頂點，在該三角形中與它們相鄰的兩邊是不同色的；而對從一個頂點出發的兩條異色邊都屬於一個異色三角形。這是個一對二的關係。設第i個點連接了ai條紅邊、n-1-ai條黑邊，這些邊一定屬於ai(n-1-ai)個不同的異色三角形。由於異色三角形都會被考慮兩次，所以最終的答案為ans/2。這個思想只需要從第一個頂點遍歷到最後一個頂點，所以時間複雜度是O(n)。
例1. 17點 三色 求證至少有兩個單色三角形給出無三點共線的17個點，每兩點之間連以線段，並任意染成紅、黃、藍三色中的一個，求證：在這些線段構成的所有三角形當中，至少有兩個單色三角形.
解析：最少角度想：17÷3=5...+2,3個抽屜現各5個，還有2個，可放於1個或2個抽屜,故最少有1個抽屜是6個或7個。即至少有兩個單色三角形。
例2． （美國普特南數學競賽題）17 名科學家中每兩名科學家都和其他科學家通信，在他們通信時，只討論三個題目，而且任意兩名科學家通信時只討論一個題目，證明：其中至少有三名科學家，他們相互通信時討論的是同一個題目。
證明：視17 個科學家為17 個點，每兩個點之間連一條線表示這兩個科學家在討論同一個問題，若討論第一個問題則在相應兩點連紅線，若討論第2 個問題則在相應兩點連條黃線，若討論第3 個問題則在相應兩點連條藍線。三名科學家研究同一個問題就轉化為找到一個三邊同顏色的三角形。
考慮科學家A，他要與另外的16 位科學家每人通信討論一個問題，相應於從A 出發引出16條線段，將它們染成3 種顏色，而16=3×5+1，因而必有6=5+1 條同色，不妨記為AB1，AB2，AB3，AB4，AB5，AB6 同紅色，若Bi（i=1，2，…，6）之間有紅線，則出現紅色三角線，命題已成立；否則B1，B2，B3，B4，B5，B6 之間的連線只染有黃藍兩色。
考慮從B1 引出的5 條線，B1B2，B1B3，B1B4，B1B5，B1B6，用兩種顏色染色，因為5=2×2+1，故必有3=2+1 條線段同色，假設為黃色，並記它們為B1B2，B1B3，B1B4。這時若B2，B3，B4 之間有黃線，則有黃色三角形，命題也成立，若B2，B3，B4，之間無黃線，則△B2，B3，B4，必為藍色三角形，命題仍然成立。
說明：（1）本題源於一個古典問題--世界上任意6 個人中必有3 人互相認識，或互相不認識。
閱讀更多 中學數學深度研究 的文章
