雙正方形手拉手
【題目】
（2018•襄陽）如圖（1），已知點G在正方形ABCD的對角線AC上，GE⊥BC，垂足為點E，GF⊥CD，垂足為點F．
（1）證明與推斷：
①求證：四邊形CEGF是正方形；
②推斷：AG/BE的值為 ：
（2）探究與證明：
將正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉α角（0°＜α＜45°），如圖（2）所示，試探究線段AG與BE之間的數量關係，並說明理由：
（3）拓展與運用：
正方形CEGF在旋轉過程中，當B，E，F三點在一條直線上時，如圖（3）所示，延長CG交AD於點H．若AG=6，GH=2√2，則BC= ．
【答案】
解：（1）①∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，
∴四邊形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，
∴EG=EC，
∴四邊形CEGF是正方形；
備註：正方形的判定
②由①知四邊形CEGF是正方形，
∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，
∴CG/CE=√2，GE∥AB，
∴AG/BE=CG/CE=√2，
備註：構造等腰直角三角形
（2）連接CG，
由旋轉性質知∠BCE=∠ACG=α，
在Rt△CEG和Rt△CBA中，
CE/CG=cos45°=√2/2、CB/CA=cos45°=√2/2，
∴CG/CE=CA/CB=√2，
∴△ACG∽△BCE，
∴AG/BE=CA/CB=√2，
∴線段AG與BE之間的數量關係為AG=√2BE；
備註：由題（1）猜測繼續保持√2倍的關係，並發現很難構造等腰直角三角形，因此需要考慮其他辦法，進行轉化。
BC和AC的比也是1：√2，因此可以考慮構造相似，連接CG即可。
（3）∵∠CEF=45°，點B、E、F三點共線，
∴∠BEC=135°，
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC=∠BEC=135°，
∴∠AGH=∠CAH=45°，
∵∠CHA=∠AHG，
∴△AHG∽△CHA，
∴AG/AC=GH/AH=AH/CH，
設BC=CD=AD=a，則AC=√2a，
則由AG/AC=GH/AH得6/(√2 a)=(2√2)/AH，
∴AH=2/3a，
則DH=AD﹣AH=1/3a，CH=√(CD²+DH² )=√10/3a，
∴AG/AC=AH/CH得6/(√2 a)=(2/3 a)/(√10/3 a)，
解得：a=3√5，即BC=3√5，
備註：本題的關鍵是當B，E，F共線時，A，G和F也是共線的，此時就容易產生很多特殊角、特殊三角形，以及三角函數或者相似的關係。求BC，只需把AC求出即可。易得△AHG∽△CHA。
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