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下文节选自《数学万花筒》, 已获人邮图灵授权许可发布, [遇见数学] 特此表示感谢!

庞加莱猜想

到19世纪末，数学家终于成功发现了曲面所有可能的“拓扑类型”。 如果一个曲面可以通过连续变换变成另一个曲面，就说这两个曲面在拓扑上等价，属于同一种拓扑类型。不妨把曲面想像成是由可变形的面团做成的。你可以拉伸它，挤压它，扭曲它，但不能扯破它或者将不同部分拼凑在一起。

为了简单起见，我将假定曲面没有边界、可定向（不同于莫比乌斯带，它有两个面）且具有有限大小。19世纪的数学家证明了，每个这样的曲面拓扑等价于球面、环面、有两个洞的环面、有三个洞的环面，如此等等。

这里的“曲面”真的只是指面。拓扑学中的球面像气球，但是由无限薄的橡皮薄片做成的。环面的形状则像轮胎的内胎（如果你知道轮胎的内胎是什么的话）。所以我刚才提到的“面团”其实是非常薄的薄片， 而不是实心的面块。拓扑学家称实心的球面为“球”。

为了对所有曲面分类，拓扑学家需要“从内在”刻画它们，而不参照任何周围空间。设想在曲面上生活着一只蚂蚁，它没有任何周围空间可供参照。那么这只蚂蚁如何知道它生活在哪种曲面上？到1900年，人们已经想到了一种好办法：考虑在曲面上的一些闭环路，并观察这些环路如何收缩。例如，在一个球面上，任何闭环路都可以连续地收缩至一点。与赤道平行的圆可以逐渐向南极移动，变得越来越小，直到它与极点重合：

如何将球面上的闭环路连续地收缩至一点

相反地，任何与球面拓扑不等价的曲面，上面都存在一些不能收缩至一点的闭环路。这样的环路“经过了一个洞”，而这个洞阻碍了它们收缩至一点。所以球面可以被刻画为唯一其上的任何闭环路都能收缩至一点的曲面。

在所有其他曲面上，总有闭环路无法收缩至一点

但要注意到，我们在一幅图上看到的“洞”实际上并不是曲面的一部分。根据定义，它是一处不是曲面的地方。如果我们只从内在判断， 单靠通常的视觉化方法，我们无法以有意义的方式讨论这些洞。就像生活在曲面上且不知道其他世界的蚂蚁无从知道自己所在的环面上有一个巨大的洞，又像我们无法超出三维去看四维。因此，尽管我在这里用“洞” 来解释为什么闭环路不能收缩至一点，但对此的拓扑学证明要借助其他不同的方法。

1900年，亨利·庞加莱更进一步，试图理解流形（曲面概念在三维上的推广），并一度假设通过闭环路来刻画球面的方法在三维情况下也成立。（球面在三维上的自然类比称为三维球面。就像球面是实心球的表面， 三维球面是四维空间中的“球”的表面。）

一开始，庞加莱以为对三维球面的这种刻画应当是显而易见，或至少很容易证明的。但在1904年，他注意到这个论断的一个看上去合理的版本其实是错误的，而另一个与之密切联系的版本虽然看上去难以证明但可能是正确的。由此他提出了一个表面看上去简单的问题：如果一个（没有边界、可定向、具有有限大小的）三维流形具有如下性质，即其上的任何闭环路都能收缩至一点，则这个流形必定拓扑等价于三维球面吗？ 很多人试图回答这个问题，但都无功而返，尽管通过全世界拓扑学家的不懈努力，任何高于三维的类似问题的答案已被证明都是肯定的。人们相信三维的情况也是如此，这被称为庞加莱猜想，是著名的八个千年奖问题之一。

2002年，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼在预印本网站arXiv.org 上提交的几篇论文吸引了全世界的注意。他的论文表面上是在讨论“里奇流”的性质，但明眼人能看出，如果论文是正确的，则它们暗示了庞 加莱猜想也是正确的。里奇流的概念最早由理查德·汉密尔顿在1981年 引入，他受到了阿尔伯特·爱因斯坦在广义相对论中所用数学的启发。在爱因斯坦看来，时空可以被认为是一个曲面，而引力可由其曲率描述。曲率由所谓“曲率张量”来度量，与之类似的一个概念是所谓“里奇曲率张量”，以其提出者格雷戈里奥·里奇-库尔巴斯特罗的名字命名。

根据广义相对论，随着时间的推移，引力场会改变宇宙的拓扑（爱因斯坦引力场方程指出，能动张量与曲率张量成比例）。事实上，随着时间的推移，弯曲的引力场试图使自己变得平滑，而爱因斯坦引力场方程以量化形式描述了这一思想。

在微分几何中，里奇曲率张量也会出现类似的情况：随着时间的推移，一个由里奇流方程描述的曲面会自然地趋于简化自己的形状，让自己的曲率变平滑。汉密尔顿表明了，庞加莱猜想的二维版本，也就是人们更为熟悉的对球面的刻画，可以借助里奇流加以证明。简单来说，一个其上的所有闭环路都能收缩至一点的曲面，会顺着里奇流不断简化自己，使得自己最终变为一个完美的球面。汉密尔顿提出可以将这个方法推广到三维，但他遇到了一些难以克服的困难。

推广到三维时的主要障碍是可能会遇到“奇点”，使得里奇流的演化中断。汉密尔顿提出可以将奇点附近的曲面切割成一些连通的片，从而将奇点除去，使得里奇流能够继续演化。如果三维流形在经过有限次这样的手术后能够完全简化自己，那么这不仅证明了作为特殊情况的庞加莱猜想是正确的，也证明了对于一般情况的瑟斯顿几何化猜想也是正确的，而后者给出了三维流形的所有可能类型。

佩雷尔曼则将汉密尔顿的设想变成了现实。但故事现在还有一个有趣的转折。人们普遍认为佩雷尔曼的工作是正确的，尽管他的论文还存在许多需要填充的细节（而事实证明这个过程并不容易）。但佩雷尔曼出于自己的理由并不希望获得什么奖（事实上，除了这个解答本身之外的任何奖），并决定不扩展自己的论文，使之成为某种适合出版的模样。不过如果被问及，他一般也乐于向人解释该如何填充各种细节。所以该领域的专家们只好自己发展佩雷尔曼的思想。

2006年，在马德里召开的国际数学家大会决定授予佩雷尔曼菲尔兹奖，这是数学界的最高奖项。当然，他也拒绝了这个奖。(完)

佩雷尔曼是如何证明庞加莱猜想的？推荐下面这本书《庞加莱猜想：追寻宇宙的形状》