和費馬大定理，龐加萊猜想一樣，四色定理也是那種敘述起來非常簡單，證明起來卻極其困難的百年數學難題。但四色定理非常特殊的一點在於，它的最終證明並不是傳統的數學邏輯證明，而是藉助計算機分析所有可能的情形後完成的。這也就是說，四色定理的證明迄今為止仍非單獨的人力所能及，我們仍然沒有找到理論上的邏輯證明，但藉助計算機強大的計算能力，的確又可以解決這個難題。

四色猜想

四色猜想最早並不是由職業數學家提出的，而是由從事地圖製作的費蘭西斯.古色利（Francis Gurthire）發現的。在為不同的地圖著色過程中，細心的古色列發現，對於相鄰(具有公共邊界)的地區，若它們著不同顏色，那麼只要四種顏色就可以完成這張地圖。好奇心強烈的古色列對這個猜想的正確性非常感興趣，但苦於自己不具備專業的數學知識，於是他將這個問題告訴了自己在倫敦大學學數學的弟弟費雷德里克·古色利（Frederick Guthrie），但弟弟也無能為力，後來他又尋求老師，著名數學家德·摩根(de Morgan,1806~1871，提出了集合論中著名的德·摩根定律)的幫助。但令兄弟二人震驚的是，即使是德·摩根這樣出色的數學家也對這個問題無能為力。

德·摩根

但德·摩根算得上是四色猜想的第一位先驅，實際上他證明了至少需要四種顏色，並且因此留下了關於四色猜想最早的正式文字記錄。同樣，德·摩根向許多當時著名的數學家諮詢過這個問題，但都一無所獲，直到英國著名數學家凱萊(Arthur Cayley，1821～1895，矩陣論創始人)在1878年向倫敦數學會提交這個問題後，四色猜想才開始廣為人知，並吸引了眾多數學家來研究這個問題。

凱萊

在凱萊正式向數學界提出四色猜想後不到一年時間內，畢業於劍橋大學數學系的律師肯普(Kempe)給出了一個看似正確的證明，但直到十一年後，希伍德(Heawood)才發現了肯普證明中的錯誤，由此證明四色猜想的努力再次破產。但肯普的證明並不是一無是處，實際上，希伍德利用肯普的方法，成功證明了五種顏色的情形，邁出了實質性的一步。作為研究四色猜想的先驅，肯普和希伍德留下的思想和方法貫穿了之後整個四色猜想的研究過程，並且還深刻影響了圖論這門數學學科的發展。

進入20世紀後，對四色猜想的研究並沒有取得理論上的突破，數學家所採用的的仍然是來自肯普和希伍德的思想，即“肯普鏈”和構造極小反例。1922年，富蘭克林證明了25個區域情形時的四色猜想，自此之後，數學家們利用越來越複雜的技巧艱難地提高數目，但直到60年代，這個數字才不過96而已。

四色定理

到了70年代，數學界已經意識到，盲目地提升使得四色猜想成立的區域數目對於最終的證明意義不大，必須尋求理論上的突破才行。為此，德國數學家希什(Heesch)提出了可約化構形的概念，其核心思想就是將區域數目想辦法減少，把無限多的情形化簡為有限的情況，這一概念成為最終證明的關鍵。

希什曾經猜測不可約構形數目的上限可能是一萬，也就是說，挨個驗證差不多一萬種不同的情況就能證明四色猜想，但如此龐大的計算量在當時幾乎不可能完成。而為了有效地減少計算量，希什模仿電路中移動電荷放電的過程，引入了“電荷法”，從而使得極其複雜的計算成為可能。萬事俱備，只欠東風，但可惜的是，希什本人並未完成最終的證明，但放眼整個四色猜想的證明，希什無疑是至關重要的人物。

不久之後，阿佩爾(Appel)和哈肯(Haken)在希什的基礎上，創造性地改進了電荷法，重點著眼於那些看上去不可能可約的構形，然後重新設計放電算法以排除這些特殊構形。同時，隨著計算機的興起，他們所設計的計算過程也成為可能。最終在1976年，他們找到最終的1482種可能，並且藉助當時的IBM360計算機，運行長達1200個小時後，驗證了所有可能的情況，在歷史上首次得到了四色猜想的證明！自此四色猜想成為四色定理。

四色定理之後

儘管如今我們已經公認阿佩爾和哈肯的計算證明過程是對的，但他們的證明在當時卻引發了數學界的軒然大波，甚至是質疑。他們的所有證明和計算過程，完全寫出來居然超過了700頁，並且由於計算過程太過複雜，已經超過了人力所能理解的範圍，以至於許多人對這樣的證明產生懷疑。

之後一二十年，隨著計算機的快速發展，計算能力有了質的飛躍，於是又有數學家致力於簡化四色猜想的證明。1994年，數學家西繆爾(Seymour)

所領導的團隊全面革新了阿佩爾和哈肯的思想和方法，極大地簡化了原來的計算過程，最終只在計算機上運行了24小時就檢驗了所有情形而完成了證明。更重要的是，此次的計算過程已經簡化到人力可以檢驗的標準，至此，四色猜想證明中受質疑的地方被徹底解決！為此西繆爾受邀在1994年的國際數學家大會上做了一小時的全會報告。

數學總是尋求事物最簡潔的關係，而四色定理如此依賴於計算，這顯然不符合數學家們的理想，以至於有數學家說過：好的數學證明應優美如詩，但四色定理這樣的證明就像一本電話簿一樣枯燥。儘管在此之後還出現過更為簡單的證明，但都沒有脫離藉助計算機的範圍，迄今為止，數學家還未找到四色定理的純粹數學證明，但我們相信，隨著數學理論的深刻發展，將來很有可能將出現這樣的純粹證明。

結語

四色定理是圖論這門學科裡最經典的研究對象，實際上對四色定理一百多年的研究深刻影響了圖論的發展，在這個過程中所發展出來的思想方法的價值甚至超過了定理本身，圖論專家鮑耐特為此曾說道：雖然四色定理已經被證明，但數學家們在許多未成功的嘗試中所發展出來的思想方法將具有永恆的價值。一個好的數學問題往往可以影響甚至創造一個學科，而四色定理正是這樣一個極具價值的問題，而關於四色定理的價值，我們借用現代圖論之父塔特(Tutte,1917~2002)的話來說就是：

四色問題是數學中的冰山一角，楔之尖端，孟春一啼。