线段和差最值为初中阶段热门几何模型考点之一，其探究应用贯穿初一至中考压轴.但 形如"AB+kC"这样的式子的线段和差最值一般更难，需要构造性求解，具体求解方法探究如下。
经典考题
1（2019秋•玄武区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+1/4PB的最小值为______．
【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．
：如图，在BC上截取CF＝1/2，连接PF，CP，AF，
∵DE＝4，P是DE的中点，
∴CP＝1/2DE＝2，
∵CP/BC=1/4， CF/CP=1/4，
∴CP-/BC=CF/CP，且∠FCP＝∠BCP，
∴△BCP∽△PCF，∴PF/BP=1/4，∴PF＝1/4BP，
2．（2019秋•常州期末）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，6为半径画圆弧，与两坐标轴分别交于点A、B，已知点C（5，0）、D（0，3），P为AB上一点，则2PD+CP的最小值为_______．
【解析】在y轴上找一点E，使AE＝OE＝6，根据相似三角形的判定和性质即可求解．如图所示，
在y轴上找一点E，使AE＝OE＝6，
∵D（0，3），∴OD＝3
∵∠DOP＝∠POE，OD/OP=OP/OE=1/2，
∴△DOP∽△POE,DP/PE=OP/OE=1/2.
∴PE＝2PD,2PD+CP＝PE+CP.
当点C，P，E三点共线时，2PD+CP的值最小，
3.(2019秋•山西期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
已知平面上两点A、B，则所有符合PA/PB＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．
阿氏圆基本解法：构造三角形相似．
【问题】如图1，在平面直角坐标中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设OP/OD＝k，求PC+kPD的最小值．
阿氏圆的关键解题步骤：
第一步：如图1，在OD上取点M，使得0M：OP＝OP：OD＝k；
第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．
下面是该题的解答过程（部分）：
解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，
又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM～△DOP．
任务：
（1）将以上解答过程补充完整．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+2/3BD的最小值．
【分析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型
（1）在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，利用相似三角形的性质以及两点之间线段最短解决问题即可．
（2）利用（1）中结论计算即可．
【解答】（1）在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，
又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM～△DOP．
∴MP：PD＝k，∴MP＝kPD，
∴PC+kPD＝PC+MP，当PC+kPD取最小值时，PC+MP有最小值，即C，P，M三点共线时有最小值，
4．（2019秋•东台市期末）（1）初步思考：
如图1，在△PCD中，已知PB＝2，BC＝4，N为BC上一点且BN＝1，试证明：PN＝1/2PC，
（2）问题提出：
如图2，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+1/2PC的最小值．
（3）推广运用：
如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD﹣1/2PC的最大值．
【分析】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．
【解答】（1）证明：如图1，
∵PB＝2，BC＝4，BN＝1，
（3）同（2）中证法，如图3，
解题思路总结：
解题之道：折转直;
解题之术：构造母子型相似;
解题之本：需要折线转化为直线，并且把系数消掉，构造了两个相似三角形实施转化。
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