在小學數學概念教學中如何促進數學思維的發展
北京市朝陽區教育研究中心課程室 特級教師錢守旺
本專輯的主題是“在概念教學中滲透對學生抽象思維的培養”，首先我們搞清楚什麼是數學概念，什麼是數學思維，什麼是抽象思維。
一、關於數學概念
數學概念是客觀現實世界的數量關係和空間形式的本質屬性在人們頭腦中的反映。數學概念一般由內涵和外延兩部分組成。數學概念的內涵是概念“質”的反映，外延是“量”的反映，兩者相互依存，共同構成數學概念統一而不可分割的兩個方面。
小學數學概念是小學數學知識的重要組成部分，也是小學數學教學的重難點之一，數學概念是數學知識的基本單位，是理解和掌握數學知識的起點，是構建數學知識框架的基石。學生學習數學概念是掌握其他知識內容的基礎。例如，分數意義的教學，就是今後進一步學習分數加減法、分數應用問題、比、百分數的重要基礎。
兒童學習數學概念，一般有兩種方式，即概念形成和概念同化。這兩種方式也是相互聯繫的，一般認為初級階段採用概念形成，高級階段使用概念同化。形成是指個體在接觸具體事物中通過辨別、抽象、分化、提出假設與檢驗假設、概括等過程獲得了一類事物的關鍵屬性。同化是事物的關鍵屬性以定義的方式出現或體現在上下文中。例如，學生學習“平行四邊形”這一概念，給出的定義是“平行四邊形是兩對邊平行且相等的四邊形”。學生首先接受新概念（平行四邊形），並與自己認知結構中原有的知識（四邊形）聯繫起來，把新概念作為原有概念的下位概念而納人概念體系；其次，他們必須精確分化新概念和原有的有關概念（如梯形、四邊形等）；最後，他們還需要使一般四邊形、平行四邊形、梯形等有關概念融合，形成一個概念體系，以便於記憶和運用。
二、關於數學思維
數學思維在小學生的數學學習中具有重要作用。沒有數學思維，就沒有真正的數學學習。小學生思維是一種心理活動的歷程。數學思考貫穿於整個數學學習過程之中，數學教師應該使學生能夠認識並掌握數學思考的基本方法，如歸納、類比、猜想與論證等；使學生根據已有事實進行數學推測、論斷和解釋，逐步養成“推理有據”的習慣，能夠反思自己的思考過程；使他們能夠理解他人的思考方式和推理過程，並能與他人進行溝通。
抽象概括是形成概念的思維過程和科學方法。通過抽象概括，使兒童對事物的感性認識轉化為理性認識，沒有抽象概括，就不能實現這個轉化，因此抽象概括也是思維過程的核心。在數學學習中，無論是概念學習、規則學習還是解決問題學習，必須進行一系列的抽象概括活動，因此數學抽象概括能力是數學能力的主要構成因素。抽象概括能力強的學生，對數學材料概括迅速、全面而深刻，能正確地揭示數學材料的本質屬性。而抽象概括能力差的學生，學習中概括不全面、不深刻，不能抓住數學材料的本質屬性，往往易受非本質屬性的干擾，甚至把非本質屬性代替本質屬性。
造成對數學材料抽象概括能力差異的原因主要有：①對數學材料的觀察能力較差，沒有足夠的感性材料作抽象概括的基礎，影響了抽象概括能力的發展。②不善於對數學材料進行比較，就不能區別數學材料的本質屬性和非本質屬性，也就不能抽象。③缺少概括的動機，一些學生只滿足於學習的結論，不願通過自己的積極思維，抽象概括出學習材料的本質屬性。
三、概念教學中如何培養數學思維
概念學習過程，就是對客觀事物的本質屬性進行抽象概括的過程，也是捨棄事物非本質屬性的過程。特別是一些較難的數學概念，教學時需要一個深入細緻的探究過程。根據數學的特點和兒童的認知特點，教學時要注意以下幾點。
1. 遵循兒童的認知規律，引導學生抽象、概括出所學概念的本質特徵。數學內容是一個有著密切聯繫的整體，新學的數學內容總是建立在已經學的數學內容基礎上的。學生在新學習一個數學概念時，很可能用到原有的知識，教學時可以先回顧這些相關知識，再引入新學習的數學概念。在教師的引導下，學生經歷概念的形成過程，自主的”發現”概念是掌握概念，理解數學概念間相關性的一種有效途徑。把概念教學設計成學生在教師指導下的發現活動，對學生思維、能力的發展具有極為重要的意義。
2. 注意正確地理解所學的概念。教學經驗表明，學生對某一概念的理解常常顯示出不同的水平，儘管他們都參加同樣的活動如操作、比較、抽象和概括等。。有些學生甚至可能完全沒有理解概念的本質特徵。這就需要檢查所有的學生是否理解所學的概念。
3. 掌握概念間的聯繫和區別。學習概念，關鍵是要掌握它的內涵和外延。比較所學的概念並弄清它們的區別，可以使學生深刻地理解這些概念，並消除彼此問的混淆。數學的特點之一是邏輯的嚴謹性，數學概念之間的關係十分緊密。尋找概念之間的縱向與橫向聯繫，組成概念系統，有助於概念的理解和深化，便於提取和運用。同時，建立概念的結構關聯，使數學知識系統化、結構化，也有助於知識遷移，發展學生的數學能力。
4. 重視概念的應用。學習概念的應用有助於學生進一步加深理解所學的概念，把數學知識同實際聯繫起來，並且發展學生的邏輯思維。學生在理解概念時，有時會出現一些對概念的誤解。教師應該把這種情況看作是一種正常的現象，因為每一個新概念的建構都必須經過自我調整階段，所以幫助學生如何主動發現問題，並主動重新建構新概念才是最重要的。
四、APOS理論下的概念教學模式
20世紀末，美國數學教育學家杜賓斯基等人在數學教育研究的實踐過程中提出了APOS理論。它起源於作者試圖對皮亞傑的“反思性抽象”理論進行拓展的一種嘗試。是一種關於數學概念學習的理論，也是一種建構主義的數學學習理論。APOS理論指出在學習數學概念的過程中，一般要經歷四個階段。
第一階段——操作階段。概念不能由教師簡單地傳授給學生，而要靠學生依據已有的知識和經驗主動地建構，因此概念的引人情境就顯得非常重要。設置問題情境要注意以下四個方面：①能有助於概念的現實背景和形成過程的揭示；②適合學生的學習水平，使學習活動能順利展開；③適當的問題數量，使學生能進行充足的活動體驗；④要有趣味性，可以用多種多樣的形式引起全體學生的學習興趣。操作階段一定離不開具體形象的學習材料及學生動手、動腦的活動。
第二階段——過程階段。如果說操作活動是讓學生尋找學習的大門，那麼對操作活動進行思考則是找到打開學習大門的鑰匙。在這一階段，教師可引導學生在頭腦中對前面的操作活動進行描述和反思，建立與概念的聯繫，初步經歷關於概念的思維內化、壓縮過程，逐步抽象出操作活動所特有的性質。教師要給予適當的提示、建議，引導學生通過思維運算和反省、抽象，對概念所具有的直觀背景和形式定義進行必要的綜合，從而比較順利地完成由“操作”到“過程”的轉型。
第三階段——對象階段。對象階段是對前面“操作”與“過程”的抽象，認識到了概念的本質，對其賦予形式化的定義，使其達到精緻化，成為一個具體的對象，在以後的學習中以此為對象去進行新的活動。教師一定要意識到一點：一個數學概念由“過程”到“對象”的建立大多數時候是既困難又漫長的，“過程”到“對象”的抽象需要經過多次反覆、循序漸進、螺旋上升，直至學生真正理解概念。所以，除了關於概念意義的簡潔表述外，還要增加了一些學生喜聞樂見的例子，使學生在頭腦中建立起的概念不但精緻而且更具直觀結構形象。
第四階段——概型階段。概型階段是概念學習的最高層面。概型的形成要經過長期的學習活動來完善，起初的概型包含反映概念的特例、抽象過程、定義及符號，經過學習建立起與其他概念、規則、圖形等的聯繫，最後在頭腦中形成關於這個概念的綜合的心理圖式。概念教學的高級目標就是讓學生在頭腦中形成關於概念的綜合心理圖式，使概念以個性化的方式存在於不同學生的頭腦中，並在學生原有知識結構中擁有豐富的知識的“場”。
以上四個學習階段反映了學生學習數學概念過程中真實的思維活動，應當循序漸進，一般不能逾越，也不能只停留在具體、直觀、視覺化的階段，必須逐級地反省、抽象，最後完成數學概念的建構。
歸納概念是建立概念的一個重要環節，也是訓練學生思維的重要環節。教師應放手讓學生自己歸納概念的意義。儘管學生的歸納可能不全面、不確切或者表達不清，但畢竟是學生自己開動腦筋積極思考的結果。教師可以針對學生表達不準確的地方進行補充。這樣既可使學生看到自己思考歸納的成果，又可以看到自己的不足，從中逐步提高歸納和概括的能力。
教師在小學數學概念教學中應注意以下幾個問題。第一，無論是從實際引入，還是從已知引入，學生獲得概念都必須經過從具體形象到抽象過渡這一過程。教師應該設計多樣化的活動，讓學生主動積極地參與到學習活動中去。第二，概念本質屬性只有一個，但可以有不同的表達。當學生初步建立概念後，教師應注意讓學生把概念用自己的語言表達出來，加深對概念的理解。教師也可以採用不同的方式敘述概念。如果學生對各種不同形式的敘述和表達都能理解和掌握，那麼學生的思維能力，數學語言表達能力也會得到發展。但也要注意，由於學習活動必須經歷一個由淺人深，由易到難的認識過程，如果過早地採用這種“變式”教學，學生因缺乏相應的感性經驗作支柱，反而會增加學生學習中的困難。
總之，小學生數學概念的建立是學生主體進行思維的一個複雜活動。教學中，要依據小學生的認知規律，從直觀引入，從感知經過表象再進行抽象（概念的形成），從已知到未知（概念的同化），逐步建立概念。教師要通過點撥、引導、啟發學生，組織學生通過嘗試、自學、操作、討論、質疑、交流等學習途徑，由學生自己總結，表達新知識，教師再作進一步的補充與完善。教師要運用靈活、多樣的教學方法，從學生的認知規律出發，幫助學生理解概念。同時要注意要從抽象回到具體，在實際運用中鞏固和深化概念，組成概念的認知結構。從而使學生能在掌握數學概念的同時，發展數學能力。
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