01序曲
數學上，有哪些讓人拍案叫絕的證明過程？除了勾股定理的證明，就很難再找到一個令人拍案叫絕的了。
請大家先來看一下勾股定理的尊容吧：“在任何一個平面直角三角形中的兩直角邊的平方之和一定等於斜邊的平方。（在△ABC中，∠C=90°，則a²+b²=c² ）。”我對這個問題的看法是：如果說要排一個順序的話，勾股定理的證明排第二，就沒有哪個可以排第一。有人可能會用陳景潤對哥德巴赫猜想的證明來佔位，那個定理的證明過程寫給大家，也沒有幾個人看得懂，所以就把它放到專家學者討論的範圍去吧。
02勾股定理的證明思想方法為積累令人拍案叫絕的證明過程積累了基礎
之所以這樣說，是因為在對勾股定理的諸多證明過程的研究中，我發現，轉化思想一直是其證明過程得以推進的利器。在初中數學定理中，勾股定理是解決邊與邊之間的關係的最重要的定理，可以不誇張地說：沒有勾股定理，數學中稍微有一點能訓練思維能力的題都是寸步難行。在數學課堂中，我總會告訴學生：勾股定理的證明過程，主要是通過把直角三角形轉化成平行四邊形、矩形、正方形、菱形、梯形、直角梯形等圖形，通過面積法進行研究，它對於解決四邊形問題、多邊形問題、對稱問題、圓的問題、三角函數、射影定理（現在初中不要求，但要接觸）、無理數（就是因為有了勾股定理，才有了無理數）、一元二次方程、二次函數等等，都具有十分重要的作用，那就是把這些圖形反轉化成直角三角形，從而讓問題得到解決。
03勾股定理的發現過程昭示著其讓人拍案叫絕的證明過程必然更精彩
在數學教學中，我給學生講得最多的就是：勾股定理的乳名叫“商高定理”。在大約公元前1120年，也就是我國的西周時期，商高就提出了“勾三，股四，弦五”的勾股定理特例，只是因為沒有看到商高關於問題的證明，所以一定沒有叫定理。商高答周公曰“故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。”這就是“勾三，股四，弦五”的最早出處。遺憾的是，史書上沒有記載這個定理的證明過程，我稱之為勾股定理的乳兒時期。有了這一段歷史，我給學生在講“中國是發現和研究勾股定理最古老的國家之一”時，是堅決地去掉了“之一”二字的。同一時期，還有哪一個國家出現過相關記錄呢？
直到第二人，公元前7至6世紀，一個叫陳子的數學家，曾經給出過任意直角三角形的三邊關係：“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘並開方除之得斜至日。”至此，勾股定理正式成形。但幸運的是，這一個人還是一名中國人。陳子給出了明確的勾股定理數量關係，但是也沒有寫下它的證明過程。
再過了近200年，到了公元前520年左右，希臘的著名數學家畢達哥拉斯在朋友家的會客廳裡，通過地面鋪設的石板地磚發現了這個定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理為“畢達哥拉斯”定理。
為什麼畢達哥拉斯後發現這個定理，又用他的名字命名呢？人家畢哥是發了功夫的，他發現定理後，他和他的門徒們興高采烈地殺了100頭牛，一是供奉神靈，二是大晏賓客。那吃了人家的嘴軟，於是大家都把它叫“畢達哥拉斯定理”，還附帶送了個外號“百牛定理”。這可給了中國的商哥和陳哥當頭一悶棍。當然，這一段是玩笑哈。主要原因，還是畢達哥拉斯發現定理後，就很快傳播出去了，而我們中國的兩位數學家，把成果寫到書裡去了。
後來，還有一些人被記錄進了勾股定理的發現史，但他們更晚，此處就不給他們立傳記了。
04數量眾多的證明方法讓勾股定理證明過程當之無愧地稱得上“讓人拍案叫絕”
勾股定理除了它豐富的發現史，還有更為精彩的證明方法研究。我在教學中也會讓學生參與勾股定理的證明，以此來訓練他們的思維，但是，我的學生面對這種證明時，能去認真思考並找到5種方法的並不多。但勾股定理的魅力永存，千百年來，多少數學愛好者對勾股定理的證明趨之若鶩，使它成百上千次地反覆被炒作，反覆被論證。
你知識勾股定理有幾種證明方法嗎？什麼？五種？五十種？五百種都不止！給大家一組有記錄的證明方法變化趨勢數據：
1779年，在巴黎出版了18種證明法；
1880年，德國出現了提供46種證明法的專著；
1901年，發表了畢達哥拉斯定理的第100個證明之後，《美國數學月刊》的編輯放棄接受此類稿件；
1927年，盧米斯出版了《畢達哥拉斯命題》一書，收集了230個證法；
1940年，87歲的盧米斯又出版了該書的第二版，收集了370個證法；
現在，《吉尼斯世界紀錄大全》網站上的“畢達哥拉斯定理的最新證法”一欄中顯示的是一位發現了520種證法的希臘人。
今天，不知又有多少新的證法已經出現了。
05研究勾股定理證明過程的人本身就“讓人拍案叫絕”
很多人認為，研究勾股定理都是數學家或老師、學生吧。其實，你這就錯了。在這支對勾股定理趨之若鶩的大隊伍中，除了數學家，更有普通老百姓（這一部分就不在本文中講了吧，講了大家也不知道，我也不知道），政要權貴、甚至是國家的總統、皇帝。
清朝康熙皇帝是我國曆史上對數學很有興趣的帝王。近期，在西安發現了他的數學專著，其中有一文《積求勾股法》，它對“三邊長為3、4、5的整數倍的直角三角形，已知面積求邊長”這一問題提出瞭解法：“若所設者為積數(面積)，以積率六除之，平方開之得數，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之數”。用現在的數學語言表述是：“若直角三角形的三邊長分別為3、4、5的整數倍，設其面積為S,則第一步S/6=m；第二步：根號m=K；第三步：分別用3、4、5乘以K，得三邊長”。
美國第20任總統加菲爾德用兩個全等的直角三角形和一個等腰直角三解形拼出一個梯形的方法證明了勾股定理。
其他研究學術文化特別是數學的大家權貴就不一一介紹。
06尾聲
要說“數學上，有哪些讓人拍案叫絕的證明過程？”勾股定理應該坐穩這個問題的第一把交椅，它帶給我們的，不僅僅是文化、還有思想、藝術、生活、哲學、美學、神學等豐富多彩的現實世界，它甚至給我們很多方法論的東西。讓我們以更加開放的態度去擁抱勾股定理吧。
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