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作为一个从事高等数学教育十二年的老教师，我来回答这个问题。希望大家一定要看到最后，我相信你一定会有所收获！谢谢！

微积分是什么？

微积分是微分学和积分学的总称，是《高等数学》的主要内容，是理工科院校学生的必修科目。

微分学主要包括：极限、导数、微分及其应用；

积分学主要包括：不定积分和定积分。

微积分是建立在在实数、函数和极限的基础上的，是近代数学的重要内容。

关于什么是微积分我已经在之前的回答中有比较详细的介绍，具体内容可在我的动态里查找。

微积分的创立

微积分是由牛顿和莱布尼茨共同创立的。牛顿和莱布尼茨分别从不同的方向创立了微积分。莱布尼兹研究方向是求积问题，即计算不规则区域的面积（如曲边形）。牛顿对微积分的研究始于对任意曲线切线问题的研究。莱布尼兹是现有积分后有微分，而牛顿是先有微分再有积分。两个人的研究的入手方向不同，但殊途同归。

微积分的应用

微积分的创立是实际应用驱动的，当我们生产和自然科学所提出的新问题原有的几何和代数无法解决的时候，经过长期的积累微积分就应运而生。那微积分能解决什么问题呢？

物体的瞬时速度和加速度、曲线的切线、曲线长度、不规则图形面积、极值问题.......

1、导数的应用

导数的应用非常广泛，除了教材中两个经典的案列瞬时速度、曲线切线斜率，导数还可以用来研究函数的的性质、证明不等式、洛必达法则计算函数的极限。

从应用的角度，在工农业生产、经济、生活等实际问题中所有优化问题都要用到导数或者偏导数来求解，如利润最大、用料最省、效率最高等问题。

2、微分的应用

导数表示函数相对于自变量的变化快慢程度，而微分表示：当自变量改变量很小时，对应的函数的改变量△y，但△y的表达式往往很复杂，dy是函数增量的线性化，并且当自变量改变量很小的时候有△y≈dy，因此微分通常用近似计算中。

3、积分的应用

积分分为不定积分和定积分，它们是两个不同的数学概念，但牛顿-蓝布尼茨公式把这两个概念联系起来，从而解决了定积分的计算问题。

积分的应用主要是定积分的应用，定积分的本质是“和式的极限”，它能够计算曲边梯形的面积、曲线的弧长、不规则物体的体积、密度不均匀物体的质量、变力做功问题.......

总结

微积分是近代数学中最伟大的成就（没有之一），微积分的发现让数学彻底掌握了连续变化的概念，打破了静止的图像和离散数量的桎梏。微积分是一种极为使用的工具，现实生活中无处不在。我们可以不理解微积分的概念，也可以不会应用微积分，但我们不能否认它的价值。如果实在不明白，那你就问问自己平时走路是走的直线多还是曲线多？是匀速的多还是变速的多？如果你的回答是曲线的、变化的，那么无论是刻画你的运行轨迹还是运行状态都离不开微积分！

数学漫谈

大学时最喜欢学习的就是微积分，特别是解微分方程，就像在构建一个奇思妙想的艺术品一样，解出来的瞬间热别有成就感。今天就简单介绍一下什么是微积分：

微积分，分为微分和积分两块。微分的含义是把数值不断分割下去，直至分割为无线小，常用dx表示，意识是无限小的一个数值。而积分则是把无限小的单元加和起来，符号为∫。比如∫xdx，就是一个不定积分，其含义就是求函数y=x所覆盖的面积。

微分常用来求函数的斜率，如下图所示：

对于一个函数y=f（x）来说，其微分就是其斜率。比如在x处的斜率，可以表示为dy/dx，当然，这里dx是无限小的，只有这样才是点x处的斜率。而直接求函数y=f（x）的斜率函数的过程，就叫做求导。

而积分则如下所示：

把函数y=f（x）所覆盖的区域无限划分，划分无限多个极小的长方形。每个长方形的宽就是dx，高为f（x），这样所有小矩形面积之和就是∫f（x）dx，这个过程为积分。如果限定x值的取值范围，比如x=1-10,则是求得定积分。

这里仅仅是简单介绍一下，如果真的想完全学会或者了解，可以买一本微积分的书籍好好看看，单凭网上是不可能学会的。

科学探秘频道

微积分分为微分和积分。

微积分的热身

理解微积分是什么最重要有两个概念：1. 无穷小； 2. “化曲为直”。

• 无穷小

无穷小这个概念我认为是翻译上的问题，会给开始学习微积分的同学很大的困惑。但是，对数学的学习首先要吃透数学概念。

理解无穷小只要想通一个问题就可以了。0.99999...（无限循环）这个数等不等于1？数学证明有很多种，比如说0.3333....... = 1/3 那么0.3333...... * 3 = 1/3 * 3 = 1。是不是和之前的知识连接有问题？1 - 0.99 = 0.01； 1 - 0.9999 = 0.0001；只要0.999...有位数，那么1 - 0.999... = 0.00...1，那么这个数怎么会等于0呢？

回归定义，自然清明。无穷小量的极限为0，无限接近于0。这样的话，dt = 1 - 0.999....就是最应该知道的无穷小量。

• “化曲为直”
  

首先，理解这个概念，我们找一个相对来说是无穷大的东西 - 地球。地球表面，既是一个曲面。当我们前后左右四望的时候，是不是都是感觉是平面呢（除了地形原因）？我们所见的范围相对于地球来说，自然不就是一个无穷小的区域嘛。

现在，我们随意画一条函数曲线，当我们取一个无穷小量dx的时候，想象一下，f(x + dx) - f(x)这个曲线线段上站着你，在你眼中，曲线自然变成了直线。这就是“化曲为直”的思想。

微积分的理解

理解的话，也参考“化曲为直”的方法。当你躺在地上的时候，你的身体可以近似看成地球曲面的一个切线。同时，由于我们后背，后脑勺都和地球接触，我们的身体可以看成地球曲面的一个无穷小段。

既然，无穷小的情况下，可以“化曲为直”。那么，曲线被无限划分之后，可以看成一个一个的矩形。而积分就是算这些矩形面积的和。

微积分的应用

• 计算曲线长度
  

战争促进了微积分的发展，炮弹的轨迹是一个抛物线，那么怎么去精确计算炮弹的轨迹和落点是战争中需要解决的问题。通过微积分，可以完美解决。

曲线，可以被分解成无限个小段，也就是说如果把炮弹的轨迹无限划分，在一个无限小的时间内，运动轨迹等于瞬时速度乘以时间。瞬时速度是水平和垂直速度的合成。

假设，水平距离的有函数X(t)，垂直距离的函数为Y(t)，那么，X(t)和Y(t)的导数可以理解为水平和垂直的瞬时速度。瞬时速度就可以看做如下求得：

整个轨迹可以用积分：

• 计算图形面积
  

积分的本质就是无限划分求和的过程，如果知道函数f(x)的曲线，面积就可以用微积分的方式去求得。如下图：

椭圆可以表示为：

就可以通过微积分算出椭圆的面积公式。

• 计算体积
  

类似于面积的应用，比如说一个桶装满水，底圆面积为A，高为y，在底部有一个洞出水，在过了n秒后，桶内水的体积。这些问题先找关系，列出函数表达式，然后用积分求解。

物理学中的应用也很多，牛顿第二定律F=ma可以用冲量=动量的微积分推导。宇宙第二速度和降落伞原理也可以用微积分推导出来。

微积分的应用还有很多，这里就简单的介绍几个。喜欢的话，请点击订阅。每天都有料的“逃学博士”。

逃学博士

我认为，从物理的意义来说，所谓的微分是根据运动变化量来求运动变化速度的数学方法；而积分则是根据运动变化速度来求运动变化量的数学方法。这两种数学方法互为逆运算，现在的问题是 ，我们为什么不把它们叫作变量数学，而把它们叫作微积分学呢？其根本原因就是因为它们的公式不是用代数的方法推导出来的，而是用一种似是而非的极限理论来进行推导的，例如我们要求一个圆的面积，我们可以将这个圆切割成许多的小条，然后将这些小条都按长方形来测量计算面，那么，将圆的条数切得越多，计算求出来的面积就越准确，如果我们将这个圆切割成无穷条，那么 ，我们就可以求出圆的精确面积。但实际上，我们人类的测量计算能力只能是有限的，再说，即便是你能够把所有小条的宽度都分割成了0，那么，0乘以任何数都等于0，无穷多个0相加也只能是0。只有如实的承认微积分公式是代数的推导结果才是正确的，详细理由请到百度文库搜阅本人的《变量运算研究》一文。

问天老人

学过高数的应该都不会忘记老师在教微积分的时候应用的那个模型吧？

一条函数曲线段被看作是无数个长度无限小的线段组成的，这就是高数最早接触微积分所解决的问题，也就是高三数学中所述极限概念的延伸。

那么通过这个概念，就可以完成曲线的长度，由曲线所围成的图形面积等不规则图形的相关计算。而我们把这个拆分成无数个极限小的过程称之为微分，把所有拆分后重新组合计算的无限累加过程称之为积分，这就是微积分的由来。

由于有了微积分，我们才可以计算那些非线性模型的相关数据，无论是长度、面积还是体积以及曲线的切线等问题，也是因为有了微积分，现代生产中才能精准的生产那些非线性物品。微积分作为一个重要的数学工具，在天文学、力学、数学、物理学、化学、生物学、工程学以及社会科学等各个领域都发挥重要作用。

未泯双瞳

读大学基本都学过高数，核心内容就是微积分学，它是由牛顿莱布尼茨等奠基发展而来，是处理较复杂数学问题比较好的思想和方法，包含微分和积分相互补的两部分。

通俗易懂的讲，就是利用数学无限细分的数学思想将一些不规则的，曲线面，非线性变化等数学问题通过无限细分成规则的，直的，线性等相对简单可求的数学模型(微分过程)，再无限累加(积分过程)即为原来所求的数学问题，可以说它是种宏微观数学思想的转化和应用，也是常见的比较高深数学问题的解决方法和工具。

高数应用领域特别广，什么物理学，航空航天，比如生活中的曲线长，曲面积，不规则体积等等，太多太高深数学问题均有涉及，本人学的比较浅就不细讲。

嘟铈滺嘫

【补充版】试答：

我不用数学的定义去回答如题所问：举个栗子（例子）。

1张非常非常圆的烙饼，其面积是多少？

你用刀子去切很小很少的正方形，然后把每个正方形的边长，用尺子测量出长度。

用正方形的面积公式=边长×边长，把面积计算出来。

把这些很小很小的正方形的面积累加起来，就近似等于烙饼的面积，切得越小，越接近，但是永远达不到圆的面积，就像π等于3.141592697……一样无穷无尽。

能够解决很多实际生产、生活中的问题，可是很多类似的问题，普通人都在使用，潜移默化，只是不知道他叫“微积分”罢了。

数学定义地学术专家使用的，上述是普普通通能够接受的。数学定义百度里很多很多，我回答独特，通俗易懂。

孙工的文话旅行笔记

在电子计算机尚未普及之前制革厂为了计算一张皮革的实际面积就是采用“积分"方法来统计的。就是相当于我们常用的“坐标纸"，把坐标纸复盖在皮革上，然后就把完整的“方格"相加得到的“和"值，就是皮革的实际面积。这应该就是“微积分”用在实际生产、生活中的事例了！

虚度年华74121203429

用我有限的知识，来解释无限的可能！我就是半瓶子中晃荡的水！

微积分：一种数学语言

一种工程语言

一种逻辑语言

一种文学语言

一种艺术语言

它可以让我们用有限的知识来推断无限的可能！

他是道家的一！

他是佛家的因果！

他是上帝的手！

他是人发现事物规律的放大镜！

他从一点着手，一点一点的解释宏观万物的存在与关系

时空质点

就是一种当数据趋向理想中的无穷小的时候的数学模型

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