融入三角函數的導數綜合問題探究追尋數學探究的快樂
尤偉峰 解憂數學雜貨店 昨天
尤偉峰,中學數學高級教師,原臨川一中零班班主任,江西省骨幹教師,撫州市優秀教師,中學數學奧林匹克金牌教練員。從2008年至2016年6月,一直在臨川一中任教零班數學,共培養出25名清華北大學生(含2010年全省理科狀元徐師昌、2016年全省理科狀元計逸雄和2017年南昌市區狀元黃翔),特別是2016年所帶班級高考成績尤為突出:其中全省前十名中有4人,有8人錄取清華、北大,有17人上清華北大分數線。從2009年開始輔導數學競賽,參加全國數學高中聯賽的學生中累計有14人獲省一等獎,38人獲省二等獎,45人獲省三等獎。參加撫州市優質課比賽曾獲市一等獎,所撰寫的論文有10餘篇發表在《中學數學研究》、《中學生數理化》等學術報刊上,參與編寫的論著有《直擊高考》、《完美課堂》、《點撥》等。
引言:
一.談談我對數學及數學教學的理解:
①在與學生一起成長的過程中,感覺數學教學的過程就是一場思維的旅行,目的地雖然重要,但我覺得更重要的是學會欣賞沿途的風景,教會學生欣賞數學,欣賞數學中的美。
②數學就是玩概念,玩變形,玩推理。
③玩好題包含三個層次:把題玩好,玩好的題,讓題好玩。
(一)把題玩好:善選題,好做題,能編題,會品題。
(二)玩好的題:簡潔抽象,啟迪思維,值得玩味。
(三)讓題好玩:數學教師的追求。
④數學教學不是講課,而是組織學生進行高效的學習。
二.談談我對函數的理解
導數是一種工具:
形:幾何意義(切線的斜率) 數:平均變化率的極限
三.回顧利用導數可以研究的問題.
(1)研究函數的極值、最值問題;
(2)研究函數的切線問題(切線概念的理解---切線的求法----切線放縮);
(3)研究含參函數的單調性;
(4)研究不等式的恆成立、能成立(存在性)、恰成立問題(含一元和多元函數問題);
四.高觀點下的導數問題處理策略.
導數是高中數學與大學數學的一個連接點,它為初等數學研究函數提供了有力的工具,同時也是進一步學習微積分的基礎,從高觀點下解決導數問題,可以更加深入本質,清楚問題的來龍去脈。
(1)用極限思想解決問題
在現行教材中沒有給出極限的定義(只是在導數的定義中使用了極限符號),但在教材中從多方位、多角度滲透了極限思想:在研究雙曲線的漸近線、求 2 的近似值、二分法求方程的近似解、冪指對函數增長的快慢、介紹無理指數冪的意義以及在統計中研究密度曲線都
滲透了極限思想。在新課標及教材中均已給出極限定義。
(2)用函數的凹凸性解決問題
(3)用洛必達法則求極限後解決問題
高中數學人教 A 版選修 2-2 第一章用大量的篇幅介紹了導數的實際背景以後,抽象出來導數的概念的形式化定義:
這不僅說明“導數”是一種“特殊的極限”,而且還可以反向使用:為求某種特殊的極限也可以利用與之有關函數的導數給出。
(4)用麥克勞林公式解決問題
(5)用函數的級數知識解決問題
(6)用拉格朗日中值定理解決問題
(7)用定積分知識解決問題
五.今天重點研究融入三角函數的導數綜合問題.
※關鍵詞:三角函數 導數 探究
解後反思:本題的解法是“先必要後充分”,這也是求函數問題中參數範圍的常見、有效的解法. 在證明充分性中也可以考慮以下思路:
這正是 2008 全國Ⅱ理 22 題設計源頭
※探究的背景:
此不等式容易構造“差函數”用導數證明,也能基於三角函數線構造面積方法得以證明.
※探究問題設計:
源頭
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