题目1：
如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE.
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长。
考点：
切线的判定与性质，圆内接四边形的性质
分析：
（1）连接OA，根据角之间的互余关系可得∠OAE=∠DEA=90°，故AE⊥OA，即AE是⊙O的切线；
（2）根据圆周角定理，可得在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°，有AD=2DE；在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°，有BD=2AD=4DE，即可得出答案．
解答：
(1)证明：连接OA，
∵DA平分∠BDE，
∴∠BDA=∠EDA.
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠OAD=∠EDA，
∴OA∥CE.
∵AE⊥CE，
∴AE⊥OA.
∴AE是⊙O的切线。
(2)∵BD是直径，
∴∠BCD=∠BAD=90°.
∵∠DBC=30°,∠BDC=60°，
∴∠BDE=120°.
∵DA平分∠BDE，
∴∠BDA=∠EDA=60°.
∴∠ABD=∠EAD=30°.
∵在Rt△AED中,∠AED=90°,∠EAD=30°，
∴AD=2DE.
∵在Rt△ABD中,∠BAD=90°,∠ABD=30°，
∴BD=2AD=4DE.
∵DE的长是1cm，
∴BD的长是4cm.
题目2：
(1)如图1,已知AD=BC,AC=BD.求证：△ADB≌△BCA.
(2)如图2,已知AB是⊙O的一条直径,延长AB至点C,使AC=3BC,CD与⊙O相切于点D,若CD=√3，求⊙O的半径。
考点：切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质
分析：（1）根据全等三角形的判定即求证；
（2）连接OD，利用AC=3BC可知OB=12OC，在Rt△ODC中，cos∠DOC=ODOC=12，从而可知∠DOC=60°，∠AOD=120°，在Rt△POC中，利用勾股定理即可求出OD的长度．
解答：
(2)连接OD,
∵CD与⊙O相切，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90∘，
∵AC=3BC，AB=2OB，
∴OB=BC，
∴OB=12OC
又OB=OD，
∴OD=12OC
在Rt△ODC，
cos∠DOC=ODOC=12，
∴∠DOC=60∘，
∴∠AOD=120∘
在Rt△POC中，
由勾股定理可知：OD2+DC2=OC2，
∵CD=√3，
∴OD2+3=4OD2，
∴OD=1
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