60.如圖,在矩形PQRS中,PQ=3，PS=6.T，U，V三點分別在相鄰三邊上，且UT=UV=根號5，UT⊥UV,PUTWV=45°，且四邊形WTUV的面積最大？若存在，請確定這個四邊形，求出其面積；若不存在，請說明理由．

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【每日一題59】分析解答（原題見頁底“瞭解更多”鏈接）

59.如圖3，在矩形PQRS中，PQ＝3，PS＝4.5，PT＝3，PU＝1.5，在邊QR，RS上是否分別存在點V，W，使得四邊形UVWT的周長最小？若存在，求出它周長的最小值；若不存在，請說明理由．

思路：

所求四邊形的周長=四邊之和，其中一邊已知（用勾股定理可求），欲使所求四邊形的周長

最短，只要使另外三邊之和最小即可.而另外三邊是“U”型折線段，利用兩點之間線段最短原理，想辦法將此折線段化為直線段。因而利用軸對稱原理，分別作兩個已知頂點U，T關於另外已知矩形另外兩邊的對稱點U’，T’，連接U’T’，與已知矩形另外兩邊的交點即為所求，並且線段U’T’ 就是所求最短距離，可用勾股定理求出。

最短問題的證明，只需另外任取兩點V’，W’，利用軸對稱將新四邊形的另外三邊長轉為折線段U- V’-W’-T’＞直線段U’T’即可。

實際操作

存在，作法：作T關於RS的對稱點T′，作U關於QR的對稱點U′，連接T′U′，交QR於點V，交RS於點W，連接UV，TW，（如圖4）

則U′V＝UV，T′W＝TW，則此時四邊形TUVW的周長最小，理由：在QR上任取一點V′，在RS上任取一點W′，則UV′＋V′W′＋W′T＝U′V′＋V′W′＋W′T

′≥T′U′.

由題意得 QU′＝QU＝PU＝1.5，ST′＝ST＝1.5，

∠P＝90°，

∴PU′＝4.5，PT′＝6，

∴T′U′＝7.5，TU＝1.5(根號5)，

∴四邊形TUVW的周長的最小值＝TU＋UV＋VW＋WT＝TU

＋T′U′＝1.5(根號5)＋7.5，

∴在邊QR，RS上分別存在點V，W，使得四邊形TUVW的周長最小，最小值為1.5(根號5)＋7.5.

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