解题只会一种思路？运用图形分析法灵活添加辅助线

例38 如图5-125，已知：△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，E是AC的延长线上的一点，CE=BD，DE交BC于F。求证：DF=EF

图5-125

分析：本题要证明的结论是DF=EF，而条件中又给出DE和BC相交于F，这样就出现了要证明相等的两条线段DF和EF位于一组对顶角的两边且成一直线，从而就可添加中心对称型的全等三角形进行证明。添加的方法是过端点作平行线。由于过端点D和E可以作许多组平行线，所以选取哪一条线段为平行线的方向或方向线段也就出现了多种可能情况：

如果取EC为平行方向线段，则过D作DG∥AE交BC于G（如图5-126），那么△DFG和△EFC就是一对中心对称型的全等三角形。在这两个三角形中，已经有∠DFG=∠EFC，∠DGF=∠BCF，所以还应找一组边对应相等的条件因条件中还给出CE=BD，所以就应证明CE和它的对应边GD相等，也就是要证DG=DB，但这又是两条具有公共端点的相等线段，它们可组成一个等腰三角形，所以问题可转化成证DG=DB的等价性质∠B=∠DGB。由于DG∥AC，∠DGB=∠ACB，和AB=AC，∠B=∠ACB，就可以完成分析。

图5-126

如果取DB为平行方向线段，则过E作EN∥BA交BC的延长线于N（如图5-127），那么由AB=AC、∠B=∠ACB=∠ECN和∠B=∠N，就可以证明DB=EC=EN。从而通过∠B=∠N和∠DFB=∠EFN，也可以证明△DBF和△ENF也是一对中心对称型全等三角形，从而完成分析。

图5-127

如果取与BC垂直的方向作为平行线的方向，则过D、E分别作DM⊥BC、EN⊥BC，并交BC和BC的延长线于M、N（如图5-128），这样△DFM和△EFN就应是一对中心对称型的全等三角形。在这两个三角形中，已有∠DFM=∠EFN，∠DMF=∠ENF=90°，所以也要再证一组边对应相等的条件，由BD=CE、∠B=∠ACB=∠ECN和∠DMB=∠ENC=90°，就可先证明△BDM和△CEN全等，从而可得DM=EN，也就可以完成分析。

图5-128

接下来我们讨论一种特殊的情况，就是取BC为平行线的方向，也就是过端点D、E所作的平行线与BC不相交，也就是和BC平行，这样中心对称型的全等三角形也就不会出现，但由于这时出现了过线段的中点所作的平行线，所以就出现了三角形中位线的基本图形。在具体添加平行线时，由于BC实际上已是平行方向线段，所以平行线只要过一个端点作即可。

如考虑过端点D作平行线，则过D作DG∥FC交AC于G（如图5-129），于是由AB=AC和DG∥BC，就可得AD=AG，BD=CG，而已知BD=CE，所以CG=CE，而已作GD∥CF，所以DF=EF可以证明。

图5-129

如考虑过端点E作平行线，则过E作EG∥FB交AB的延长线于G（如图5-130），那么也可由AB=AC和BC∥GE，推得BG=CE，所以BD=GD，从而再由BF∥GE，就可证明DF=EF。

图5-130

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