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代數和幾何不僅折磨著無數的中小學甚至大學生，它們之間撲朔迷離的關係也是上千年來數學家們的煩惱，很多著名的猜想至今仍懸而未決。看似毫不相關的兩個數學分支，到底能否鵲橋相見呢？全世界的目光聚焦到了一位年輕的天才數學家身上，迷霧在輾轉反側中漸漸散開……
撰文 Gilead Amit
翻譯 孫英特
審校 阿金 徐文慧
當小明的年齡是小紅的兩倍時，他正好跟小剛同年，那麼當小剛的年齡是小明現在的兩倍時，小紅會是現在的自己年齡的幾倍?
或者試試這個問題：兩名農場主同時繼承了一塊正方形土地，其中包含了一片圓形耕地。在不知道土地和耕地具體尺寸，或者不知道圓形耕地具體位置的前提下，如何用一條直線將兩者精確地一分為二？
看到這裡，你可能已經捏了把冷汗，也可能拿出紙筆開始計算（等不及的話可以拉到文章末尾看答案）。這兩個問題都能算作“數學”問題，但它們又明顯不同。第一個是算術學問題，涉及的是從1、2、3一直往下數這樣的數的性質。算術學關心的是獨立事物之間的數量問題，而不是它們的形狀或行為表現。另一個則是幾何學問題，一門基於連續性思想的學科：例如線、面和其他可測量的幾何對象的連續性，以及它們之間的空間關係。
長久以來，數學家都試圖在這兩門古老學科之間架起橋樑，想要構建某種大統一理論。就在最近，一位年輕有為的數學家讓這兩門學科的距離縮小到前所未有。他前衛革新的幾何見解不僅有望統一數學的不同分支，還可能有助於解決數論領域中最深奧的問題之一：素數之謎。數學界最高獎項菲爾茲獎（the Fields medals）頒發在即，斬獲獎章對這位年輕人來說如同囊中取物。
菲爾茲獎獎牌 圖片來源：fields.utoronto.ca
古希臘哲學家、數學家亞里士多德（Aristotle）曾寫道：我們不能通過算術去證明幾何問題。他認為幾何能幫助解決算數問題也是無稽之談。在當時，這個觀點並無爭議，卻躲不過歷史風霜的考驗。與亞里士多德幾乎同一時期的幾何之父歐幾里得（Euclid），沒有依賴數字，而是用作圖的方法將邏輯公理擴展到證明中。數字彷彿立於另一個時空，幾何技巧求路無門。
這一狀況持續到了 17 世紀，直到法國人勒內·笛卡爾（René Descartes）將代數技巧（解方程及活用抽象符號）與歐氏幾何結合，破開了數字與幾何間的堅冰。笛卡爾引入了座標系的概念，即點、線、面能用座標數值完美描述，讓幾何學家能夠用代數方法求解幾何問題。
笛卡爾座標系，用到了他發明的x軸y軸 圖片來源：wikipedia.org
這就像登陸月球的時候，我們終於能夠以準確的角度和位置的將火箭發射出去。但對於純數學家而言，距離終點還有一半的征程。比方說，一個圓可以用代數方程精確描述，可是根據方程的解描點作圖得到的圖形，永遠都不得全貌。一旦改變座標的單位系統（例如從 1 變成 π），就像純數學家常做的那樣，方程仍然成立，而繪圖讓人手足無措。
時間推移到 1940 年，另一個法國人安德烈·韋伊（André Weil）深受數字和幾何間鴻溝的折磨。在德軍佔領法國前的幾個月，韋伊因為拒服兵役而被拘禁於法國魯昂外的一所監獄中。福兮禍兮，監獄中的日子讓反讓他收穫頗豐。在一封給妻子的信裡，他寫到：“如果只有在監獄中我才能更好地工作，可能每年都被關上兩三個月才是我的最佳選擇。”
韋伊渴望找到代數與幾何間的“羅塞塔石碑”（Rosette stone，製作於公元前 196 年，用希臘文字、古埃及文字和當時的通俗體文字，刻記了古埃及國王托勒密五世登基的詔書，刻文被用來作為語言翻譯用途），將一個領域內的真理轉譯到另一個領域。越過重重困難，韋伊發現了零星的線索。
這就涉及到了黎曼猜想（Riemann Hypothesis），一個人盡皆知的素數分佈問題。人們早就覺得這個猜想應該有對應的幾何解釋。上世紀 30 年代，橢圓曲線已經得到代數證明。“與其弄清楚素數的分佈，你可以轉化為思考曲線上到底有多少個點。”來自倫敦帝國理工學院（Imperial College London）的數學家安娜•卡拉亞尼（Ana Caraiani）解釋道。
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韋伊證明了黎曼猜想同樣適用於解更復雜的曲線，自古希臘時代就聳立在這兩門學科之間的高牆，似乎終於要開始瓦解。紐約哥倫比亞大學（Columbia University）的邁克爾•哈里斯（Michael Harris）說：“韋伊的證明為代數幾何學科建立了良好的基礎，一舉推翻亞里士多德當時的觀點。
百萬美元猜想
素數是在大於 1 的自然數中，除了 1 和自身外，無法被其他自然數整除的數。素數的數量無窮無盡，在實數軸上的分佈似乎也毫無規律可言。但在 1859 年，波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）提出黎曼猜想，預測素數出現的頻率與簡單的黎曼 ζ 函數緊密相關。
直到現在，黎曼猜想已經在前十萬億個素數上得到了證實，但仍未出現一個嚴格的證明。為了突出這個問題的重要性，2000 年的時候，新罕布什爾州的克萊數學研究所（Clay Mathematics Institute）將其列為七大千年數學難題之一，並第一個得出正確證明的人設立了 $1,000,000 美元的獎金。
戰後年代，身處環境更舒適的芝加哥大學（University of Chicago），韋伊依然嘗試努力解決這一素數謎題，但始終沒有成功。隨後，接力棒傳到了亞歷山大•格羅滕迪克（Alexander Grothendieck）手上, 他是二十世紀最頂尖的數學家之一，在上世紀 60 年代重新定義了代數幾何學。
在一系列的學術創新之中，格羅滕迪克將一組整數稱為“譜”，簡記為 Spec(Z)。這個不可繪製的幾何實體上的點與素數密切相關。如果你能弄清它的整體形狀，或許就能洞悉素數的分佈。如此這般，你便能建立一個橫跨代數和幾何的橋樑，直通黎曼猜想。
格羅滕迪克所尋求的 Spec(Z) 圖形，完全不同於我們熟悉的任何幾何對象，比如歐氏幾何的圓形三角形，或是笛卡爾座標系中的拋物線橢圓。在這些平面上，一個點僅僅只是表面上的一個點，哈里斯說：“但是格羅滕迪克的點更像是從整個面的角度出發思考。”它涵蓋了一個面的所有可能情況，比如在上面畫一個三角形或者橢圓，或是甚至將其捲曲起來，好像包裹在一個球上。
如果上面的敘述已經讓你雲裡霧裡了，那再正常不過啦。即便是格羅滕迪克本人都沒有試圖去理解 Spec(Z) 的幾何形狀，更不要說去解決黎曼猜想。這時彼得•舒爾茨（Peter Scholze）登場了。
莫名其妙卻前景光明
1987 年，舒爾茨出生在當時東德的德累斯頓，現年 30 歲，是波恩大學的教授。他在自己的博士論文中壘起了構築代數和幾何間橋樑的第一塊磚，成果發表於 2012 年，那時的他年僅 24 歲。文章中他大幅度地擴充了格羅滕迪克的幾何思想，稱之為狀似完備幾何學（perfectoid geometry）。他的研究建立在 p 進數（p-adics）的基礎上，和素數緊密相連。這個理論的關鍵是：在舒爾茨的狀似完備幾何學中，一個質數能夠由與之相關的一個 p進數來表示，類似於方程中的變量，由此，幾何方法得以應用到代數領域中。
我已經很難再做更多的解釋了。如哈里斯所言，舒爾茨的創新可以算作是“代數幾何中最深奧難懂的概念之一”，這門學科一向有著各種概念的晦澀艱深的特性，大多數活躍的數學家也都常感不知所云。
儘管如此，在過去的幾年中，舒爾茨和幾位領域中的開創者已經使用這個方法，解決了代數幾何中許多的難題，收穫了極大的讚譽。他的合作伙伴卡拉亞尼說：“對一名數學家而言，舒爾茨真的是非常獨特。能和他在同一領域工作我感到十分興奮。
30歲的彼得•舒爾茨，今年菲爾茲獎的眾望所歸 圖片來源：Alamy Stock Photo
今年 8 月，全球的數學家將聚集在巴西里約熱內盧，參加每四年舉辦一次的數學界盛宴。這場盛會最受人矚目的就是菲爾茲獎，每次都會有四名 40 歲以下的數學家被授予這最高殊榮，而這一次，有一個人成為了眾望所歸。牛津大學（University of Oxford）的馬庫斯·杜·索托伊（Marcus du Sautoy）評論道：“假如彼得與今年菲爾茲獎失之交臂，我覺得唯一原因大概就是委員會覺得他太年輕了，還能再等個四年。”
各方面前景都一片光明，這讓 Spec(Z) 和黎曼猜想的懸而未決看起來只能靠邊站了。但是，考慮到格羅滕迪克革新的幾何學，舒爾茨的新方法能夠讓他進一步研究其中的奧秘，就好像你在顯微鏡下檢驗 Spec(Z) 曲線上素數 p 所對應的點。當然了，要理解整個曲線或者證明黎曼猜想仍然道阻且長, 而他的工作給數學家們帶來了希望：這個看似遙不可及的目標可能終將實現。“而這本身就是一個巨大的突破。”卡拉亞尼說道。
除此之外，這讓代數與幾何間的橋樑有了向不同方向構建的可能。半個世紀的前的 1967 年，當時 30 歲的普林斯頓數學家羅伯特·郎蘭茲（Robert Langlands）試探性地給韋伊寫了一封信，概述了一個宏偉的藍圖。“如果你願意將其解讀為純粹的猜測，我會感激不盡，” 他寫道，“或者你手邊應該有個廢紙簍。”
朗蘭茲在他的信中提出，數學上兩個差之千里的分支，數論（Number theory）和調和分析（Harmonic analysis）可能是相關的。信中包含的思想種子萌生成了朗蘭茲綱領（Langlands program），一系列影響深遠的數學猜想，也被一些數學家稱為大統一理論，能夠統一數學中三個核心學科：算術、幾何和數學分析。其中數學分析是一門範圍及其寬廣的學科，包括了我們在學校中學習的微積分。包括舒爾茨在內的全球數百位數學家，都致力於完善這門學科。
朗蘭茲猜想的完整版並不像黎曼猜想那樣，可能很快就能被證明出來，但這個思想寶庫中蘊含了很多驚人發現：就像費馬大定理（Fermat's last theorem），在提出後過了 350 年，才在 1994 年被英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）證明，而這只是朗蘭茲猜想中的一個特殊結果。最近，法國數學家洛朗•法爾格（Laurent Fargues）提出了一個新方法，以舒爾茨的研究為基礎來理解朗蘭茲綱領中與 p 進數有關的部分。有傳言稱，部分結果可能會展示在里約熱內盧的盛會上。
今年 3 月，朗蘭茲獲得了另一個重量級數學獎，阿貝爾獎（Abel prize），以表彰他畢生的成就。“漫長的等待之後，朗蘭茲思想的重要性才得到了認可，”卡拉亞尼說，“這個大獎未免來得有些遲了。”舒爾茨這次似乎不用等那麼久。
p 進數：數論領域的新寵兒
幾何和代數大統一研究的最新核心就是 p 進數，即任意給定的素數 p 的替代表示。從一個任意正整數創建出一個 p 進數，就要將這個整數表示成 p 進制的數，然後再反向表達。比如要把整數 20 表示成 2 進數的形式，你就先寫出 20 的二進制表達 10100，然後再倒序來寫，就是 00101。同樣的，20 的 3 進數是 202，4 進數是 011。
在 p 進數發明後的幾十年內，人們都只是將它當作“數學玩具”，覺得沒有什麼實際用處。直至上世紀 20 年代，德國數學家赫爾穆特·哈賽（Helmut Hasse）在二手書店裡的某本小冊子上看見之後，為其著迷不已。他意識到 p 進數指引瞭如何處理素數不可被其他數整除的特性，變成了解決複雜證明的一條捷徑。
自此以後，p 進數就逐漸成為數論領域中的核心部分。懷爾斯在證明費馬大定理的時候，幾乎每一步都涉及了 p 進數的概念。
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