作者 | 範明
來源 | 遇見數學
《最後的數學問題》是美國天體物理學家、數學史學家馬里奧·利維奧（Mario Livio）的英文原著 Is God a Mathematician的中譯本第二版，譯者黃徵，2019 年 9 月人民郵電出版社出版。作者通過歷史上大量的例子和故事，試圖梳理和展現一些重要數學概念的演進，從哲學、歷史、文化的角度全方位地探討數學的本質，澄清數學與物理世界以及人類認知的關係，從而幫助讀者理解數學在人類認識宇宙的歷程中所扮演的角色。本書問世十多年以來，已成為一本暢銷世界的數學思想史經典著作。去年本人得到出版社贈書，讀畢受益良多、頗有共鳴，特撰寫此文以饗讀者。
作者在書中開篇明義地提出了困惑人類的千古之謎及數學的終極問題：“上帝是數學家嗎？”這裡他並不是對於上帝和數學適用性的形而上學的探討，而是強調“數學‘無所不在、無所不能’的力量通常只有在人們描述一位神明時才會用到”。上千年來的數學研究和哲學思考都沒有真正解釋清楚數學力量的奧秘，愛因斯坦曾好奇地發問：“數學，這個獨立於經驗的人類思維的產物，為何能如此完美地符合物理實在中的對象？”當代英國著名數學物理學家羅傑·彭羅斯認為，人類周圍不僅有一個世界，而且應該有三個神秘世界：意識感知的世界——我們所有精神影像的家園，客觀存在的物理現實世界，數學的世界。這三個世界神秘地聯繫在一起，形成一個閉合的圓。人類主觀認知能力的源泉——感知心智，似乎也來自物理世界。通過發現或創造抽象的數學公式和概念，並將它們清晰地表達出來，感知心智才得以奇蹟般地進入數學王國之中。
作者因此提出了與之相關的另一個問題：“數學是否獨立於人類的思維而存在？”或通俗地說，數學是獨立於人類心智的存在進而被發現，還是人腦的發明或創造？從古至今的哲學家、數學家、物理學家、認知學家和哲學家們因此分成了“發現派”和“發明派”兩大陣營，每一方的論點都會被對方舉出無窮多的反例，爭論至今，互不相讓。兩位當代數學大神——法國數學家阿蘭·孔涅（1982 年菲爾茲獎和 2001 年克拉福德獎得主）及英國數學家邁克爾·阿蒂亞爵士（1966 年菲爾茲獎和 2004 年阿貝爾獎得主），可以稱為兩派人物的代表。前者認為：“我們面對的數學現實與物理現實一樣無可爭議。”後者則確信：“通過理想化和抽象物理世界中的那些基本要素，人類創造了數學。”作者正是從這一問題出發，在書中深入研究探討了兩大陣營中的許多哲學問題，將古往今來偉大數學家和科學家的傳奇經歷、重要貢獻、遠見卓識編織成一幅恢弘的歷史畫卷，在讀者面前徐徐展開。
“發現派”被稱為“柏拉圖主義者”，他們認為數學產生於某種神秘的思想領域或上帝靈感的客觀存在，最早可溯源到以“萬物皆數”為座右銘的畢達哥拉斯學派和“西方三聖賢”之一柏拉圖等古希臘先哲。畢達哥拉斯學派是純數學的奠基人，他們早就驚歎於數學塑造及支配宇宙的能力，同時意識到數學的存在貌似無法被人類改變。作者這樣寫道：“畢達哥拉斯學派將宇宙真正地嵌入到數學中。實際上，對於畢達哥拉斯學派來說，上帝不是一位數學家，數學就是上帝！”古希臘宗教的神學基礎是多神信仰，因此這裡的“上帝”並不是後來基督教中的那一個。公元前 400 年左右無理數的發現，引發了史上第一次數學危機，成為數學史上的重要里程碑。柏拉圖最先把數學、科學、語言學、宗教、倫理等學科融合在一起，認為數學真理是指存在於理想世界中抽象無形的客觀真相。這個理想世界是所有真理和完美的彙集地，與我們感知到的、短暫的世界無關，數學形式的柏拉圖世界與物理世界也截然不同。數學家在某種意義上等同於探險家，他們只能發現真理，卻不能發明真理。
在人類歷史上，始終不乏先驅思考萬事萬物的根源，探索宇宙的構成方式和規則。作者稱這些先賢為“魔法師”，即“那些發現了過去從未被思考過的數學和自然之間聯繫的人，那些能夠觀察複雜的自然現象並從中提煉抽象出如水晶般晶瑩剔透、簡單易懂的數學規律的人”，並開出了一份魔法師名單。
這份名單中的每一位都是柏拉圖主義者，排在首位的是希臘化時代的阿基米德，他在數學領域的成就至少領先同代人一個世紀，另外三位則是 16 至 17 世紀科學革命時代的巨匠：伽利略、笛卡兒和牛頓。伽利略是阿基米德的忠實“粉絲”，他發展了由哥白尼與開普勒開創的“日心說”理論，為此後幾個世紀中數學的極大發展提供了關鍵動力。笛卡兒成功地整合了代數與幾何學，將人類認識自然界的視角從定性描述轉為定量分析。牛頓在其名著《自然哲學的數學原理》中證明了萬有引力定律，還和萊布尼茨各自獨立地創建了曾被阿基米德預言過的微積分學，把笛卡兒“用數學描述宇宙”的思想變成了現實。這三位魔法師從根本上改變了數學和自然科學之間的關係，從而大大激發了數學家們的熱情。
在 19 世紀之前，佔主流地位的世界觀認為數學是自然的語言，人類只能發現而不能發明數學。第一次數學危機表明，幾何學的某些真理與算術無關，直覺和經驗不一定靠得住，因此幾何學開始在古希臘數學中佔有特殊地位。公元前 300 年左右，歐幾里得在 13 卷鉅著《幾何原本》中從十條“不證自明”的公理出發，通過邏輯推理的方法建立了幾何學體系，在西方成為僅次於《聖經》而流傳最廣的書籍。歐氏幾何學一直被奉為“真理”和“確定性”的完美典範，提供了關於宇宙確實存在的無可辯駁性最穩固的理論證據，牛頓的《原理》就是完全按照《幾何原本》的公理化模式寫成的。利用牛頓和萊布尼茨創立的微積分學以及後來發展的微分方程，數學家們可對各種複雜的物理現象從數學理論上提供解釋。為了將類似的數學原理用於解釋生物學、社會學或經濟學等不確定性科學，一些具有天才智慧的思想者們還發展出了全新的、革命性的數學工具——概率論和統計學，使得數學也成為描述和解釋一些最混沌的人類活動的語言。
儘管如此，幾個世紀以來人們對於歐氏幾何學中的第五公設即“平行公理”的質疑始終不絕於耳。19 世紀上半葉，羅巴切夫斯基、亞諾什、高斯、黎曼等人選擇了不同於第五公設的公理，分別獨立地創建了全新的幾何學——雙曲幾何與橢圓幾何。非歐幾何學的出現極大地震撼了數學世界，動搖了 2000 多年間被公認的歐式幾何學對於物理空間描述的唯一性。這一事實讓人們產生疑問：數學似乎是人類的發明，而非獨立存在於人類思維之外等待被發現的真理。19 世紀中期，格拉斯曼創立了任意維空間的幾何學，其主要思想構成了近代一個重要的數學分支——線性代數。在他看來，數學更是人類思維的抽象創造，不一定對現實世界有任何應用，因此數學不再侷限於描述三維可觀察的世界。另一方面，脫離物理現實使得某些數學家重新回到柏拉圖“數學是獨立的真理世界”的思想，這個真理世界的存在和物理世界的存在一樣真實，非歐幾何以及後續發展使得數學家們開始專注於數學基礎的研究。
從 17 世紀末萊布尼茨開始，到 19 世紀中後期經過德摩根、布爾、弗雷格等人的發展，邏輯代數日臻成熟。康托爾認為：“數學的本質完全在於它的自由。”他和戴德金建立的樸素集合論，與邏輯代數可視為硬幣的正反兩面，為數學的統一提供了一線希望。到 19 世紀末，數學的目標從研究自然的真理轉變為構建公理體系，以及探索公理在邏輯上所有可能的結論，從而將數學和邏輯這兩個完全獨立的領域緊密聯繫在一起。20 世紀初，以弗雷格和羅素為代表的邏輯主義、以希爾伯特為代表的形式主義、以布勞威爾為代表的直覺主義三大學派之間發生了激辯，從而引發了史上第三次數學危機。為了緩解集合論中的羅素悖論，策梅洛和弗蘭克爾以自洽的方式公理化了集合論。然而與歐氏幾何中的第五平行公理一樣，ZF 公理系統中的選擇公理既不能被證明，又不能被證偽，又一次引起數學家們的強烈質疑。1931 年哥德爾證明了公理系統的不完備定理，指出任何功能強大到足以引起人們興趣的形式系統，本質上要麼是不完整的、要麼是不一致的，使得數學基礎研究發生了劃時代的變化。
物理學家維格納稱數學在周邊世界的成功應用為“數學無理由的有效性”，本書作者將其分成“主動的”和“被動的”兩方面，這是發現與發明的另一種表述。主動的有效性是指科學家用清晰一致的數學術語系統地闡述自然規律，具有不可思議的普適性與精確性，例如牛頓的萬有引力定律、麥克斯韋的電磁學方程式、愛因斯坦的廣義相對論等。被動的有效性則指抽象數學理論在其自由發展的過程中並沒有考慮直接的實用性，後來人們才發現這些理論為物理現實問題提供瞭解決方案。開普勒和牛頓發現了太陽系行星運動軌道是橢圓形，而這類曲線早在公元前 350 年就已被古希臘數學家研究過了。愛因斯坦解釋宇宙結構的工具，則是 19 世紀出現的黎曼幾何。紐結理論是這兩種有效性的典型範例，它誕生於 19 世紀關於原子結構的錯誤模型，然而作為一門理論數學分支卻在 20 世紀不斷演化，卻又出人意料地在脫氧核糖核酸（DNA）分子結構、弦論等現代科學領域中獲得廣泛應用，充分展示了數學的某種不可預知的力量。
現在回到最初的問題：“上帝是數學家嗎？”近代科學家的宗教信仰不盡相同，心目中的“上帝”也不一樣，但都不再是宗教神學中人格化的“神”。喊出“我思，故我在”的笛卡兒一直試圖在宗教與科學之間尋找一種妥協，他的上帝是所有真理的最終源頭、人類推理可靠性的唯一保證，也是數學世界和物理世界的創造者。牛頓眼中的上帝首先是一位數學家，他在《原理》一書中這樣表述自己的思考：“太陽、行星和彗星構成的這種最美麗的系統，只能產生於某種智慧、強大的存在，並受其支配。”19 世紀初，拉普拉斯將牛頓的萬有引力定律推廣到整個太陽系，他在星雲假說中提出了一位被後人稱為“拉普拉斯妖”的全能智者。但拉普拉斯不是基督徒，因此這位智者並非耶和華上帝。愛因斯坦這樣說：“我信仰斯賓諾莎的上帝，一個通過存在事物的和諧有序體現自己的上帝，而不是一個關心人類命運和行為的上帝。”斯賓諾莎將上帝和宇宙視為一體，被認為是一種隱蔽的無神論。
“數學是人類發明還是發現”是一個跨學科課題，不是數學自身能夠獨立解決的，因此本書涉及了許多現代生物學家、認知科學家和語言學家的理論和觀點。認知學家不贊成柏拉圖主義的物理世界，認為數學是與人類天性的一部分，數學的終極根基是人類的感知和人們能夠喚起的心智圖像。有些科學家基於對大腦功能的研究和實驗，認為人類借用了構造語言所使用的心智工具，才對數學產生了深刻理解。作者指出：“發明還是發現”其實是一個偽問題，暗示數學必須非此即彼，因此具有誤導性。在他看來，數學是發明與發現的結合，公理和概念是發明，而定理作為連接這些概念之間的橋樑則是發現。一些以經驗為基礎的發現促進了概念的形成，但概念本身無疑也刺激了更多定理的發現。有關這一問題的討論揭露了數學的一個有趣特徵：數學是人類文明的重要組成部分，許多發現和一些意義重大的發明大概都源於數學的文化複雜性。而數學的另一特點——永久正確性，則賦予數學本身無限的生命力。
本書中文版語言生動、文筆流暢，但也不無瑕疵。例如譯者在書中幾處提到“耶穌教會”，顯然是混淆了“基督教”（Christianity）與“耶穌會”（Society of Jesus）的區別。基督教是信仰耶穌基督為神之聖子與救世主的一神教各教派統稱，於公元一世紀創立，後分裂為天主教、東正教、新教三家。而耶穌會則是在宗教改革的衝擊下，於 1534 年在巴黎成立的天主教會主要男修會之一，其最大特色是興學辦教育。耶穌會在世界各地興辦了多所治學嚴謹的學府，吸納自然科學研究成果，成為當今世界最大的辦學團體之一。解析幾何之父笛卡兒，明清年間來華的傳教士利瑪竇、湯若望、南懷仁、郎世寧，與利瑪竇一起翻譯歐幾里得《幾何原本》前六卷的徐光啟，以及現任教宗方濟各等均為耶穌會會士。400 多年前就是利瑪竇將 God 譯成中華傳統文化中的“上帝”，本書中出現的耶穌會神父兼科學家有：克里斯托弗·沙伊納（第 85 頁）、克里斯托弗·克拉維思（第 96 頁）、吉羅拉莫·薩凱里（第 184 頁）等人。
本書中選擇的數學家故事，在某種程度上反映了作者的天體物理學家背景和個人偏好，例如他沒有提到 17 和 18 世紀有關微積分定義中無窮小量的第二次數學危機。而正是這場危機最終完善了微積分定義以及與實數相關的理論系統，促進了 19 世紀的分析嚴格化、代數抽象化及幾何非歐化的進程。
當然，如同作者所言，本書“無意成為一本全面的數學史”，而且“沒有一本書能給予那些在幫助人類認識宇宙、理解規律方面做出突出貢獻的科學家和數學家完全公正、客觀的評價”。數學並不是萬能的，哥德爾的不完備定理表明數學本身也存在侷限性，無法從各個層面描述宇宙。作者以羅素在《哲學問題》中的一段話作為結束語：“……哲學本身就是尋找問題。正是這些問題拓展了我們對可能性這一概念的認知，豐富了我們的智慧想象，讓我們放棄執念，引導心智不斷去猜想。但更重要的是，哲學思考的是宇宙之浩瀚，而人類心智也會隨著這種思考變得深邃，並逐漸與宇宙融為一體，臻於完善。”這大約也正是作者撰寫本書的初衷。
旅歐學者：範明 2020年3月於斯德哥爾摩
《最後的數學問題》
豆瓣評分 8.6
暢銷世界的數學哲學史經典著作
[美] 馬里奧·利維奧 著
黃徵 譯
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<figcaption>本書講述了數學概念的演化過程，引經據典地從哲學、歷史、文化角度全方位地探討了數學的本質，揭示了數學與物質世界、與人類思維之間的微妙關係，討論了困惑幾代思想家的重大問題，講述了數學、哲學和物理學巨匠們的生活經歷與思想，是一本妙趣橫生而又十分經典的數學思想史著作。/<figcaption>
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