周自琴
周自琴，中學一級教師，陝西省教學能手，安康市學科帶頭人，平利縣優秀教師，平利縣培訓團隊數學核心成員，平利縣城關初級中學數學教研員。
勾股定理是八年級數學下冊第十七章內容，它揭示了直角三角形三邊關係之間關係，體現了“形數統一”的思想方法。勾股定理是初等幾何中的一個基本定理，是人類最偉大的十個科學發現之一，也是數學中應用最廣泛的定理之一，說明勾股定理在數學理論體系中有著非常重要的地位，定理本身也有著重要的實際應用價值。這些充分說明勾股定理教學內容的重要性，要求學生掌握好這部分內容勢在必行。本章內容教材編排雖然不多，只有4課時，但教學內涵卻很豐富，勾股定理的應用廣泛，形式多樣。在平時常規教學中，這對數學教師是一個棘手的課題。而現在正處疫情時期，進行網上授課，怎麼上好這部分內容，更是很多數學老師思考的問題，這部分內容到底教簡單還是教複雜？這個度的把握也是授課老師糾結的問題。我們是用教材教，而不是教教材，所以我們不能侷限於教材本身，但必須以教材為本，可以適當補充、整合教材。為落實勾股定理內容線上教學的實效性，我將從以下幾點做起。
一、重視學生經歷勾股定理的探索過程
學生已學習了一些圖形的性質定理、運算法則及公式，經歷了它們的探索過程。如：用實驗法發現了全等三角形的判定定理，通過觀察、猜想、證明了等腰三角形的性質，通過計算、觀察、證明了平方差公式等，大多數學生已具備一定的發現數學新知的探索能力。在探索勾股定理時，我充分利用教材的編設思路，分別讓學生觀察地磚上等腰直角三角形、網格中的直角三角形，以它們的三條邊向外作三個正方形的面積之間有的關係，從而啟發學生髮現這些直角三角形的三邊之間的數量關係，進而讓學生猜想對於任意直角三角形的三邊是否都有這種數量關係呢？於是向學生講解我國古人趙爽的證法。在整個探究的過程中，我突顯三個要點：
1、從特殊到一般的研究方法
先讓學生探究特殊的等腰直角三角形三邊滿足兩直角邊的平方和等於斜邊的平方，再探究網格中比較特殊的直角三角形三邊有同樣的關係，最後，猜想並證明一般的直角三角形三邊也具有同樣的數量關係。這個定理的探究過程體現了從特殊到一般的研究方法，它貫穿課堂的始終，需不斷的總結，不斷加深學生的認知過程，這是數學中探究新知的一種重要途徑，需讓學生內化於心。
2、滲透“割補法”和“等面積法”
在探究勾股定理時，分別讓學生觀察不同的直角三角形三邊向外作的三個正方形的面積大小關係時，在地磚圖案中的等腰直角三角形，需利用“割補法”求面積，易發現三者之間的面積大小關係。在網格中的較特殊的直角三角形，求斜邊所在的正方形面積時，可以把正方形“補”成更的大正方形，使其邊為整數個格點，方便找邊長，易求得面積，也可以把它“割”成四個小直角三角形和一個小正方形，也就是“趙爽弦圖”，也方便計算面積。“割補法”是數學中對於不方便直接計算面積時常用的一種間接求法。
在利用趙爽方法證明勾股定理時，先把兩個邊長分別為a,b(a的正方形相鄰拼放，並還有一條邊在同一條直線上，其面積為,再經過切割、拼接構成邊長為c的正方形，其面積為,而這個正方形是由四個全等的兩直角邊分別為a,b直角三角形和中間一個邊長為a-b小正方形組成，兩圖形只是形狀不同，面積不變，。趙爽是利用“等面積法”證明了勾股定理，用代數的辦法證明了幾何圖形。不僅如此，對“趙爽弦圖”，它的面積有兩種算法，可以整體計算，也可以分部分計算，利用“等面積法”，也是可以證明勾股定理。在學習平方差公式和完全平方公式時，我們分別通過“等面積法”驗證這兩個公式，但是，用幾何圖形證明兩數之間的關係。
“等面積法”和“割補法”，它也是數學中常用的一種重要的解決面積問題的方法，在這個證明的過程需要強調，在練習的過程中需設計有針對性的問題，不斷的滲透，讓學生感知這些方法的優越性，逐步能用這種方法進行遷移，解決新的問題。
3、證明方法的多樣性
在探究勾股定理時，以“趙爽弦圖”證明該定理，據說該定理的證明方法有400多種，世界上各個文明古國都對勾股定理的發現和研究作出過貢獻，其中我國古代對這個定理的發現、應用和研究尤具特色，趙爽是傑出的代表。目的讓學生了解我國古代數學家對勾股定理的發現及證明作出的貢獻，增強學生民族自豪感和學習數學的自信心。為拓寬學生的視野，由課內延伸到課外，可以讓學生自主閱讀教材中的一個閱讀材料，提供三種用“等面積”法證明勾股定理，也加深對“等面積”的理解。還倡導學生上網查閱勾股定理的證法，收集你能看懂的2至3種方法，瞭解證法的多樣性，提高學生的識圖能力，進一步認識該定理的重要價值。
二、遞進式應用勾股定理
勾股定理是描述直角三角形三邊數量關係，其用途是已知直角三角形的兩邊長度，便可以求第三邊的長度。該內容看似簡單，但應用方式變化多樣，增加學生學習的難度。我們在應用勾股定理時，由簡單到複雜的方式呈現問題，方便學生疏理解題思路，達到化難為易目的。以教材例題、習題為主，重新設計教學內容，充實教材內容，逐步提高學生對勾股定理的運用能力。
1、基礎問題
所謂基礎問題，是問題中只有一個直角三角形。結合已知條件，讓學生明確所給的條件是直角三角形的直角邊還是斜邊，先學會準確定位置是關鍵，再利用勾股定理，選擇恰當的數量關係，是利用平方和的關係還是利用平方差的關係，然後分別代值計算，最後強調規範書寫等。學生會在一個直角三角形中利用勾股定理了，那兩個直角三角形，不過是多寫一遍而已。不要因為這種問題簡單，眼高手低，不重視，導致學生會計算邊長，而不會規範書寫。
2、綜合問題
所謂綜合問題，是在特殊的三角形利用勾股定理，如等邊三角形、等腰三角形等。它們含有特殊的角度，隱含有角與邊的關係，不是直角三角形，通過特殊的線段易轉化為直角三角形。它們一般只有一條邊是已知，利用特殊的角度，便可以尋找其他兩邊的倍分關係，再利用勾股定理，建立方程可以解決。這些問題不能直接利用勾股定理，先利用舊知識作鋪墊，準備夠了條件才能利用勾股定理，是對直角三角形知識的一個小綜合，既有直角三角形角的關係、邊與角的關係，又有直角三角形邊的關係。
三、勾股定理應用方法多
勾股定理解決的問題非常廣泛，用到的解題方法比較多，通過教材中的資源可以滲透以下解題思想：
1、轉化思想
教材中通過兩個例題應用勾股定理解決實際問題，首先將實際問題轉化為數學問題，建立直角三角形模型，明確已知邊，未知邊，再利用勾股定理求出未知邊，從而解決實際問題。還有關於正方體、圓柱體方面的最短路徑問題，需把幾何體展開轉化為平面圖形思考，利用“兩點之間線段最短”，構建直角三角形，再利用勾股定理解決。解決這些實際問題，滲透轉化思想是關鍵。
2、方程思想
在直角三角形中，當一邊已知，另兩邊是未知，但它們是和差或倍分關係，求未知邊的長度。解決這樣的問題一般設其中一邊為未知數，用含有未知數的式子表示另一邊，利用勾股定理列出方程，通過解方程求得未知邊的長度。這是利用勾股定理求直角三角形邊長的一種常用方法。
3、數形結合的思想
勾股定理是一個典型的數形結合的體現，直角三角形是“形”的特徵，“兩直角邊的平方和等於斜邊的平方”是直角三角形三邊“數”的特徵，勾股定理的本質是由“形”到“數”。反之，勾股定理逆定理是“數”到“形”。在勾股定理應用的第2節裡，在數軸上表示無理數，通過確定兩直角邊的長度，在數軸上構建直角三角形，運用勾股定理，計算斜邊的長度，從而直觀的表示無理數大小，以“形”代“數”。這些都充分體現數形結合的思想，讓“數”更直觀，讓“形”更具體。
4、分類的思想
數學中分類的思想是學生的一個學習難點，學生往往考慮簡單，而掉入陷井。在本章中有：若一個直角三角形給了兩邊長，需求第三邊長時，這兩邊是什麼位置的邊，不能確定，需分類考慮，可能是直角邊，也可能是斜邊；還有“小明向東走80米後，沿另一方向又走了60米，再沿第三個方向走100米回到原地，小明向東走80米後是向哪個方向走的？”這三條路徑構成了一個直角三角形，學生易判斷，但小明向東走80米後，可以向北走60米，也可以向南走60米，隱藏有不確定因素，也需分類考慮。
這些思想方法，是學好勾股定理的得力助手，甚至還需綜合運用，同時，為後面的數學學習作鋪墊。這需我們教師在備課時，細緻捕捉教材上的資源，不僅要有意識滲透這些思想方法，還要由“點”向外擴散，把解題方法進行遷移，解決更多同類型的問題，讓學生悟出“多題同法”。數學思想方法是數學的靈魂所在，教數學就是教方法。
為發揮線上教學的有效性，必須結合課標，深刻鑽研教材，準確解讀教材，整合教材，結合具體的對象，有的放矢，認真備好每一節課是關鍵。分步驟，有梯度的分解教學中的難點，不貪多，求實效，講技巧，教到關鍵點上。我們需充分利用好教材，發揮好教材中典型問題的重要價值，不僅僅是教知識，而是教方法，讓教更有內涵和價值。不管是發現新知、運用新知，以知識為主線，滲透數學思想方法教學，體現“教是為了不教”理念，不斷提高學生的數學素養。
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