勾股定理以及其逆定理的應用是中考的重點考查內容，對今後幾何的學習也具有舉足輕重的作用。
1勾股定理
內容：直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方；
表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那麼
.
勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達哥拉斯定理．我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦．早在三千多年前，周朝數學家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，後來人們進一步發現並證明了直角三角形的三邊關係為：兩直角邊的平方和等於斜邊的平方
2勾股定理的證明
勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法
用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是
①圖形進過割補拼接後，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變
②根據同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導出勾股定理
常見方法如下：
方法一：
，
，化簡可證．
方法二：
四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等於大正方形的面積．四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為
大正方形面積為
所以
方法三：
，
，
化簡得證.
3勾股定理的適用範圍
勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數量關係，它只適用於直角三角形，對於銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特徵，因而在應用勾股定理時，必須明瞭所考察的對象是直角三角形
4勾股定理的應用
①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊在
中，
，則
，
，
②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數量關係③可運用勾股定理解決一些實際問題
5勾股定理的逆定理
如果三角形三邊長a，b，c滿足
，那麼這個三角形是直角三角形，其中c為斜邊.
①
勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數轉化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和
與較長邊的平方
作比較，若它們相等時，以a，b，c 為三邊的三角形是直角三角形；若
，時，以a，b，c 為三邊的三角形是鈍角三角形；若
，時，以a，b，c 為三邊的三角形是銳角三角形；
②定理中a，b，c 及
只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長a，b，c 滿足
，那麼以a，b，c 為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊.
③勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當斜邊的平方等於兩條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形
6勾股數
①能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即
中，a，b，c 為正整數時，稱a，b，c 為一組勾股數
②記住常見的勾股數可以提高解題速度，如3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25等。
③用含字母的代數式表示n組勾股數：
（
n為正整數）；
（n為正整數）
（m>n,m，n為正整數）
7勾股定理的應用
勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計算或直角三角形中線段之間的關係的證明問題．在使用勾股定理時，必須把握直角三角形的前提條件，瞭解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什麼，以便運用勾股定理進行計算，應設法添加輔助線（通常作垂線），構造直角三角形，以便正確使用勾股定理進行求解．
8勾股定理逆定理的應用
勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數量關係判斷一個三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應用兩短邊的平方和與最長邊的平方進行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的結論．
9勾股定理及其逆定理的應用
勾股定理及其逆定理在解決一些實際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個整體．通常既要通過逆定理判定一個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決．常見圖形：
10互逆命題的概念
如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題，那麼另一個叫做它的逆命題。
閱讀更多 輕輕家教蘇州 的文章
