三. 素數的分佈
一個複數域上的函數——Riemann ζ 函數——的非平凡零點 (在無歧義的情況下我們有時將簡稱其為零點) 的分佈怎麼會與看似風馬牛不相及的自然數 (在本系列中自然數指正整數) 中的素數分佈產生關聯呢？ 這還得從所謂的 Euler 乘積公式談起。
我們知道， 早在古希臘時期， Euclid 就用精彩的反證法證明了素數有無窮多個。 隨著數論研究的深入， 人們很自然地對素數在自然數集上的分佈產生了越來越濃厚的興趣。 1737 年， 著名瑞士數學家 Leonhard Euler (1707-1783) 在俄國聖彼得堡科學院 (St. Petersburg Academy) 發表了一個極為重要的公式， 為數學家們研究素數分佈的規律奠定了基礎。 這個公式就是 Euler 乘積公式， 即：
Σn n-s = Πp(1-p-s)-1
這個公式左邊的求和對所有的自然數進行， 右邊的連乘積則對所有的素數進行。 可以證明 (參閱 附錄一)， 這個公式對所有 Re(s)>1 的複數 s 都成立。 讀者們想必認出來了， 這個公式的左邊正是我們在 上文 中介紹過的 Riemann ζ 函數在 Re(s)>1 時的級數表達式， 而它的右邊則是一個純粹有關素數 (且包含所有素數) 的表達式， 這樣的形式正是 Riemann ζ 函數與素數分佈之間存在關聯的徵兆。 那麼這個公式究竟蘊涵著有關素數分佈的什麼樣的信息呢？ Riemann ζ 函數的零點又是如何出現在這種關聯之中的呢？ 這就是本節及未來幾節所要介紹的內容。
Euler 本人率先對這個公式所蘊涵的信息進行了研究。 他注意到在 s=1 的時候， 公式的左邊 Σn n-1 是一個發散級數 (這是一個著名的發散級數， 稱為調和級數)， 這個級數以對數方式發散。 這些對於 Euler 來說都是不陌生的。 為了處理公式右邊的連乘積， 他對公式兩邊同時取了對數， 於是連乘積就變成了求和， 由此他得到：
ln(Σnn-1) = -Σp ln(1 - p-1) = Σp(p-1 + p-2/2 + p-3/3 + ... ...)
由於上式右端括號中除第一項外所有其它各項的求和都收斂， 而且那些求和的結果累加在一起仍然收斂 (有興趣的讀者不妨自己證明一下)。 因此右邊只有第一項的求和是發散的。 由此 Euler 得到了這樣一個有趣的漸近表達式：
Σp p-1 ~ ln(Σnn-1) ~ lnln(∞)
或者， 更確切地說：
Σp 這個結果——即 Σp lnln(N) ~ ∫N x-1/ln(x) dx 而左端通過引進一個素數分佈的密度函數 ρ(x)——它給出在 x 附近單位區間內發現素數的幾率——也可以改寫為一個積分表達式： Σp 將這兩個積分表達式進行比較， 不難猜測到素數的分佈密度為 ρ(x)~1/ln(x)， 從而在 x 以內的素數個數——通常用 π(x) 表示——為： π(x) ~ Li(x) 其中 Li(x) ≡ ∫ 1/ln(x) dx 是對數積分函數 (logarithmic integral function)[注一]。 這個結果有些讀者可能也認出來了， 它正是著名的素數定理 (prime number theorem)——當然這種粗略的推理並不構成對素數定理的證明。 因此 Euler 發現的這個結果可以說是一扇通向素數定理的暗門。 可惜 Euler 本人並沒有沿著這樣的思路走， 從而錯過了這扇暗門， 數學家們提出素數定理的時間也因此而延後了幾十年。 提出素數定理的榮譽最終落到了另外兩位數學家的肩上： 他們是德國數學家 Friedrich Gauss (1777-1855) 和法國數學家 Adrien-Marie Legendre (1752-1833)。 Gauss 對素數分佈的研究始於 1792 到 1793 年間， 那時他才十五歲。 在那期間， 每當“無所事事” 的時候， 這位早熟的天才數學家就會挑上幾個長度為一千的自然數區間， 計算這些區間中的素數個數， 並進行比較。 在做過了大量的計算和比較之後， Gauss 發現素數分佈的密度可以近似地用對數函數的倒數來描述， 即 ρ(x)~1/ln(x)， 這正是上面提到的素數定理的主要內容。 但是 Gauss 並沒有發表這一結果。 Gauss 是一位追求完美的數學家， 他很少發表自己認為還不夠完美的結果， 而他的數學思想與靈感猶如浩瀚奔騰的江水， 洶湧激盪， 常常讓他還沒來得及將一個研究結果完美化就又展開了新課題的研究。 因此 Gauss 一生所做的數學研究遠遠多過他正式發表的。 但另一方面， Gauss 常常會通過其它的方式——比如書信——透露自己的某些未發表的研究成果， 他的這一做法給一些與他同時代的數學家帶來了不小的尷尬。 其中 “受災” 較重的一位便是 Legendre。 這位法國數學家在 1806 年率先發表了線性擬閤中的最小平方法， 不料 Gauss 在 1809 出版的一部著作中提到自己曾在 1794 年 (即比 Legendre 早了十二年) 就發現了同樣的方法， 使 Legendre 極為不快。 有道是： 不是冤家不聚首。 在素數定理的提出上， 可憐的 Legendre 又一次不幸地與數學巨匠 Gauss 撞到了一起。 Legendre 在 1798 年發表了自己關於素數分佈的研究， 這是數學史上有關素數定理最早的文獻[注二]。 由於 Gauss 沒有發表自己的研究結果， Legendre 便理所當然地成為了素數定理的提出者。 Legendre 的這個優先權一共維持了五十一年。 但是到了 1849 年， Gauss 在給德國天文學家 Johann Encke (1791-1865) 的一封信中提到了自己在 1792 至 1793 年間對素數分佈的研究， 從而把塵封了半個世紀的優先權從 Legendre 的口袋中勾了出來， 掛到了自己那已經鼓鼓囊囊的腰包之上。 幸運的是， Gauss 給 Encke 寫信的時候 Legendre 已經去世十六年了， 他用最無奈的方式避免了再次遭受殘酷打擊。 無論 Gauss 還是 Legendre， 他們對於素數分佈規律的研究都是以猜測的形式提出的 (Legendre 的研究帶有一定的推理成份， 但離證明仍相距甚遠)。 因此確切地說， 素數定理在那時還只是一個猜想， 即素數猜想， 我們所說的提出素數定理指的也只是提出素數猜想。 素數定理的數學證明直到一個世紀之後的 1896 年， 才由法國數學家 Jacques Hadamard (1865-1963) 與比利時數學家 Charles de la Vallée-Poussin (1866-1962) 彼此獨立地給出。 他們的證明與 Riemann 猜想有著很深的淵源， 其中 Hadamard 的證明所出現的時機和場合還有著很大的戲劇性， 這些我們將在 後文 中加以敘述。 素數分佈與素數定理 素數定理是簡潔而優美的， 但它對於素數分佈的描述仍然是比較粗略的， 它給出的只是素數分佈的一個漸近形式——即小於 N 的素數個數在 N 趨於無窮時的分佈形式。 從有關素數分佈與素數定理的圖示 (即右圖) 中我們也可以看到， π(x) 與 Li(x) 之間是有偏差的， 而且這種偏差的絕對值隨著 x 的增加似有持續增加的趨勢 (所幸的是， 這種偏差的增加與 π(x) 及 Li(x) 本身的增加相比仍是微不足道的——否則素數定理也就不成立了)[注三]。 那麼有沒有一個公式可以比素數定理更精確地描述素數的分佈呢？ 這便是 Riemann 在 1859 年想要回答的問題。 那一年是 Gauss 去世後的第五年， 三十二歲的 Riemann 繼德國數學家 Johann Dirichlet (1805-1859) 之後成為了 Gauss 在 Göttingen 大學的繼任者。 同年的 8 月 11 日， 他被選為了柏林科學院 (Berlin Academy) 的通信院士 (corresponding member)。 作為對這一崇高榮譽的回報， Riemann 向柏林科學院提交了一篇論文——一篇只有短短八頁的論文， 標題是： 論小於給定數值的素數個數。 正是這篇論文將 Euler 乘積公式所蘊涵的信息破譯得淋漓盡致， 也正是這篇論文將 Riemann ζ 函數的零點分佈與素數的分佈聯繫在了一起。 這篇論文註定要把人們對素數分佈的研究推向壯麗的巔峰， 併為後世的數學家們留下一個魅力無窮的偉大謎團。 
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