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01 典型例题
7.如图1，已知数轴上有三点A、B、C，AB=60，点A对应的数是40．
（1）若BC：AC=4：7，求点C到原点的距离；
（2）如图2，在（1）的条件下，动点P、Q两点同时从C、A出发向右运动，同时动点R从点A向左运动，已知点P的速度是点R的速度的3倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒，点P、Q之间的距离与点Q、R之间的距离相等，求动点Q的速度；
（3）如图3，在（1）的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒、1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段PT的中点，点N为线段OR的中点．请问PT﹣MN的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由．
【分析】（1）根据AB=60，BC：AC=4：7，得出BC=80，利用点A对应的数是40，即可得出点C对应的数；（2）假设点R速度为x单位长度/秒，根据点P、Q之间的距离与点Q、R的距离相等，得出等式方程求出即可；（3）分别表示出PR，MN的值，进而求出PT﹣MN的值．
【答案】（1）解：如图1，∵AB=60，BC：AC=4：7，∴ BC/(BC+60)=4/7，解得：BC=80，
∵AB=60，点A对应的数是40，∴B点对应的数字为：﹣20，
∴点C到原点的距离为：80﹣（﹣20）=100
（2）解：如图2，设R的速度为每秒x个单位，则
R对应的数为40﹣5x，P对应的数为﹣100+15x，Q对应的数为10x+15，
PQ=5x﹣115或115﹣5x，QR=15x﹣25，∵PQ=QR，∴5x﹣115=15x﹣25或115﹣5x=15x﹣25
解得：x=﹣9（不合题意，故舍去）或x=7，∴动点Q的速度是9个单位长度/秒．
（3）解：如图3，设运动时间为t秒
P对应的数为﹣100﹣5t，T对应的数为﹣t，R对应的数为40+2t，PT=100+4t，
M对应的数为﹣50﹣3t，N对应的数为20+t，MN=70+4t
∴PT﹣MN=30，∴PT﹣MN的值不会发生变化，是30．
02 举一反三
9.数轴上A 点对应的数为﹣5，B 点在A 点右边，电子蚂蚁甲、乙在B分别以2个单位/秒、1个单位/秒的速度向左运动，电子蚂蚁丙在A 以3个单位/秒的速度向右运动．
（1）若电子蚂蚁丙经过5秒运动到C 点，求C点表示的数；
（2）若它们同时出发，若丙在遇到甲后1秒遇到乙，求B 点表示的数；
（3）在（2）的条件下，设它们同时出发的时间为t 秒，是否存在t 的值，使丙到乙的距离是丙到甲的距离的2倍？若存在，求出t 值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据电子蚂蚁丙 运动的速度和时间结合点A的坐标即可得出C点表示的数； （2） 设B表示的数为x， 则线段AB=x-（-5）=x+5,由时间=路程÷速度，根据甲丙相遇的时间与乙丙相遇的时间差为1列出方程
，解方程即可求出B点表示的数； （3）由应分两种情况： ①在电子蚂蚁丙与甲相遇前， 根据丙到乙的距离是丙到甲的距离的2倍 列出方程，解方程即可得出答案； ②在电子蚂蚁丙与甲相遇后，根据丙到乙的距离是丙到甲的距离的2倍 列出方程，解方程即可得出答案.
【答案】 （1）解：由题知： C：﹣5+3×5＝10，即C点表示的数为10；
（2）解：设B表示的数为x，则B到A的距离为|x+5|，点B在点A的右边，故|x+5|＝x+5，
由题得：
，即x＝15；
（3）解：①在电子蚂蚁丙与甲相遇前，2（20﹣3t﹣2t）＝20﹣3t﹣t，此时t＝ 10/3（s）；
②在电子蚂蚁丙与甲相遇后，2×5（t﹣4）＝20﹣3t﹣t，此时t＝ 30/7 （s）；
综上所述，当t＝ 10/3 s或t＝ 30/7 s时，使丙到乙的距离是丙到甲的距离的2倍．
03 巩固练习
13.甲、乙两车从A，B两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶．出发后经2小时两车相遇，已知在相遇时乙车比甲车多行驶了30千米．相遇后若乙车继续往前行驶，还需1.6小时才能到达A地．
（1）求甲，乙两车行驶的速度分别是多少？
（2）如果相遇后甲车继续前往B地（到达后停止行驶），乙车在相遇点休息了10分钟后，按原速度立即返回B地，问乙车重新出发后多长时间，两车相距5千米？
【分析】（1） 设甲的速度为每小时
千米，则乙的速度为每小时(x+ 30/2)千米 ，则甲车两小时所走的路程是2x千米，乙车1.6小时所走的路程为 1.6(x+ 30/2 ) 千米，根据甲车两小时所走的路程=乙车1.6小时所走的路程，列出方程，求解即可；
（2）此题实质就是一个追击问题， 设乙车重新出发后y小时两车相距5千米 ，甲车所走的路程为 60(y+ 1/6 ) 千米，乙车所走的路程为 75y ，此题需要分类讨论：①分追击前两车相距5千米，根据甲车所走的路程-乙车所走的路程=5，列出方程，求解即可；②追击后两车相距5千米，根据乙车所走的路程-甲车所走的路程=5，列出方程，求解并检验即可，综上所述即可得出答案。
【答案】 （1）设甲的速度为每小时 x 千米，则乙的速度为每小时(x+ 30/2 )千米
由题意可得2x=1.6(x+30/2 )，解得x=60，∴x+30/2 =75
答：甲的速度为60千米/小时，乙的速度为75千米/小时.
（2）设乙车重新出发后y小时两车相距5千米
乙车重新出发后，甲车到达 B 地还需要的时间为2×75/60-1/6=7/3 小时
若乙车在甲车后5千米，则75y+5=60(y+1/6 )，解得y= 1/3
若乙车在甲车前5千米，则75y-5=60(y+ 1/6 )，解得y=1
即乙车重新出发后经过 1/3 小时或1小时两车相距5千米.
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