魔方是一個極具挑戰性的遊戲，主要是因為魔方的組合太多了。確切地知道有多少個組合不是很有趣嗎？如果你知道如何自己計算這個數字會更有趣。
基礎
假設我們有三個彈珠（玻璃球），每個彈珠都是不同的顏色。一個是紅色的，另一個是綠色的，第三個是藍色的。如果我們要把這些彈珠在我們面前的桌子上排成一排，我們要怎麼排列它們？
- 三個彈珠放在桌子上
我們所選擇的排序只是許多組合中的一個。我們本可以選擇把綠色放在前面而不是紅色。每個組合都是彈珠的排列。如果我們重新排列這些玻璃球，我們會找到另一個排列。
一組對象的排列是將這些對象按照特定的順序排列。——維基百科
為了計算魔方有多少個組合，我們首先要學習如何計算一組彈珠的排列。
排列
我們直觀地知道3個玻璃球的集合有幾種不同的排列方式，但究竟有多少種呢？計數的一種方法是重新排列桌子上的彈珠，直到我們找到每個排列。這樣做，我們可以看到我們有六個排列。
- 一組3個玻璃球有6種排列方式
當我們只有3個玻璃球的時候，把每一個排列都可視化是很有效的，但是如果我們想要計算一袋500個玻璃球的排列呢？我們需要一個不同的策略。
有一個很好的數學技巧我們可以用來計算排列的可能組合，叫做階乘。給定n個元素，n的階乘等於n的排列數。
一個非負整數n的階乘，用n表示！”，是所有小於等於n的正整數的乘積。——維基百科
因為我們有3個玻璃球，我們可以通過計算3的階乘來計算排列的總數。
- 一組3個玻璃球有3的階乘的排列。
玻璃球沒有方向。不管它是怎麼放在桌子上的，它看起來總是一樣的。當我們計算彈珠的組合數時，我們只關心它們的排列。
如果我們想計算一套三張撲克牌的總排列數會怎樣？
最初，問題看起來是一樣的。我們有三張牌，並且知道它們可以被排列成3的階乘不同的排列，就像玻璃球一樣。
- 我們三張牌的一個位置
然而，撲克牌是有方向的。我們可以翻轉這三張牌中的任何一張，我們會得到一個不同的組合。為了計算組合的總數，我們需要同時考慮每張牌的排列和方向。
- 當翻轉卡片時，會得到一個新的情況
我們已經學過如何計算排列的總數。接下來，我們將看到如何計算每個排列的方向總數。
我們有三張牌，每張牌有兩種可能的朝向，面朝上或面朝下。對於我們的三的階乘排列中的每一個，我們都能夠得到所有這些方向。
- 每個排列有八個可能的方向
一組三張牌的一個排列總共有多少個方向？我們可以用上面的圖來計算，但是這樣計算會更快。我們有三張牌，每張牌有兩個方向。一個排列紙牌的總方向數可以計算為2的三次冪。
- 每個排列都有八個可能的方向
三張牌的總組合
我們已經確定紙牌的排列總數是3的階乘，每種排列的方向總數是2的三次冪。
計算組合的數量是通過排列的數量乘以方向的數量來得到的。
- 排列和方向的乘積是組合
考慮到所有排列和方向，一套三張撲克牌有48種可能的組合。
瞭解魔方
現在我們已經掌握了計算魔方組合總數所需的所有知識。我們知道，給定一組有p個方向的n個物體，可以計算出這組物體的組合總數。
- 有p個方向的n個物體的總組合
一旦我們理解了魔方是如何構建的，我們就可以應用這個公式來計算組合的總數。
魔方的解剖圖
魔方有6條邊，每條邊都有9個方塊，但在計算組合數時，這不是一個思考魔方的好方法。相反，我們需要了解立方體是如何構建的，有哪些類型的塊，以及每個塊是如何圍繞軸移動的。
重要的是要理解魔方有三種類型的“棋子”。當我們轉動立方體的側面時，每個立方體的表現都不同。我們在計算時要記住這一點。
計算組合
魔方的組合總數可以通過分別觀察這三種類型的棋子來計算。
中心位置
魔方有六個中心棋子，它們位於魔方每個面的中心。正如我們所知，中心部分是固定軸的一部分，不動。所有其他的棋子都在中心移動。這意味著中心部分有一個排列和一個方向。
直覺上我們知道一個排列和一個方向的東西只有一個位置，但是我們可以通過把這些數字代入方程來驗證。
- 魔方中心的所有組合
頂角角
每一個三維立方體都有八個角，魔方也不例外。與中心不同，每個角塊都可以移動和旋轉。因為有8個角，所以這些塊的排列總數是8的階乘。
為了計算出一件物體的方向數，我們需要知道每個棋子著色面的數量。一個頂角角有三個面著色，所以它必須有三個方向。正如我們所學的，這意味著每個頂角的方位的總數是3的8次方。
根據這些數字，我們可以計算出頂角的組合總數。
- 魔方的各個頂角的組合
邊角
魔方有12個邊角，每個邊角都可以移動或翻轉。我們可以計算這些邊角的排列總數為12的階乘。
我們可以使用相同的方法，確定邊角有兩個方向（兩個著色面）。這意味著邊角的方向總數是2的12次方。
根據這些數字，我們可以計算出邊角的組合總數。
- 魔方邊角的總組合
把它們放在一起
我們已經計算了中心，頂角，邊角的組合數。要計算整個魔方的所有組合，最後一步是把這些數字相乘。
- 魔方的總組合
但是，還沒有結束
我們已經成功地計算了組合數量，但是做出了一個假設。我們的計算假設可以將魔方拆開，這是不可以的。那麼並不是魔方的每個位置都是可能的。
由於魔方的侷限性，每12個位置中只有1個可以通過轉動魔方的側面來實現。我們可以把這個因素代入我們的式子中，然後確定魔方的合法組合總數。
它有多大？
魔方有超過四十萬億個合法的組合。
如果你能以每秒1000次的速度來觀察每一個組合，那就需要1億3千萬年的時間。
如果我們把43萬億分之一的硬幣堆在一起，那麼這堆硬幣的高度足夠到達太陽並返回地球。
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