本文是史宁中谈数学的七个问题的基础上扩充而成！史宁中，东北师范大学资深教授，博士研究生导师，国内著名数理统计学家和教育家，第五届国家级教学名师。1998年至2012年4月19日任东北师范大学校长.
数学简介
数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。借用《数学简史》的话，数学就是研究集合上各种结构（关系）的科学。可见，数学是一门抽象的学科，而严谨的过程是数学抽象的关键。
数学在人类历史发展和社会生活中发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。也就是说，数学在某种程度上是一个工具。通过数学，来研究别的事情。随着社会的发展，数学的应用就越来越广泛了，在我们的日常生活中几乎随处可见，而且学习其他学科的时候，也要更多地用到数学。
当然，数学的应用也会激起新的数学发现，并促成全新数学学科的发展。数学家也研究纯数学，也就是数学本身，而不以任何实际应用为目标。虽然有许多工作以研究纯数学为开端，但之后也许会发现合适的应用。
一、数学专业学些什么呢？
一类是分析类的，比如像在大学中学习的微积分、实变函数、泛函分析这样的一类课程；一类跟图形有关的，比如拓扑学、微分几何这样的一类课程；一类是研究随机现象的，比如概率论，就是一件事情可能发生，也可能不发生，发生的可能性有多大，比如今年的GDP增长，跟去年的GDP之间有什么关系，我们如何预测一件事情；还有，比如像卫星、反导弹，如果一个导弹过来，这个导弹怎么打上去，这样的一类课程。还有方程类课程、代数类与数值计算类课程，比如常微分、偏微分方程、高等代数、近世代数、矩阵论、数值分析等，用来解决变化类问题、计算机数值计算、模拟，算法类问题等.
二、数学思想主要有哪些？
数学思想，我认为有三个：抽象、推理和模型。数学是把现实生活中的一些东西抽象到数学内部来，而数学内部的发展则完全依赖假设和推理，然后再借助模型把数学的结果应用到外部世界。抽象只是针对两种情况，一是数量和数量关系；二是图形和图形关系。抽象之后的东西是如何存在的呢？这就是哲学问题，我称之为“抽象的存在”。我用这个道理来解析形而上和形而下。其中的“形”是什么？我认为就是抽象的存在。
什么是抽象的存在呢？就是当你看到了足球，看到了乒乓球，就会想到圆。但是，如果没有足球，没有乒乓球，你脑子里仍然有个圆，而且你能画出这个圆来。这个圆绝不是简单的复制，因为现实的圆是三维空间的，而在纸上画的圆是二维空间，所依赖头脑中圆的存在就是抽象的存在。我认为，古代先哲所说的形而上的“形”就是这种抽象的存在。为什么要在形而上和形而下之间构建一个“形”呢？因为形而上的“道”太遥远而不可及，形而的“器”太具体而不可信。
推理有两种，演绎推理和归纳推理。研究演绎推理时，我非常想知道中国古代先哲是如何思考问题的，他们思考的逻辑是什么。我苦思冥想老子的“道”是什么意思，孔子的“仁”到底指什么。后来，突然想到老子说的“道”，孔子说的“仁”，也许只是认识问题的出发点，即“道”就是好的，凡事需从“道”出发，与西方哲学一样，出发点本身是不用讨论的。这或许就是老子所说的“道可道，非常道。名可名，非常名”的真正含义。而对于具体的事物，就可以用这个出发点“道”来进行判断。
相比西方哲学，中国古代哲学中没有演绎推理，是一种更实用的哲学。演绎推理是从大命题走向小命题的推理，因此不能用于发现只能用于验证。那么，中国古代没有演绎推理，许多事情是怎么推理出来的呢？我认为是分类，借助的思维方法是归纳推理。《系辞》中说物以类聚。孔子说“仁”，把“仁”分为许多类。大概可以认为，中国古代哲学最高层次的是“道”，其次是“仁”或“德”，再往下是“礼”，“礼”都不在了，整个社会就崩溃了。
三、学习数学对一个人的发展有多大好处？
这个问题也就是：“数学有什么用？”面对这个问题，世界华人数学家大会主席、著名数学家、哈佛大学教授丘成桐举了很多例子：研究金融要学好数学，工程技术需要数学，生命科学研究需要数学，大数据的处理需要数学，与国家安全息息相关的密码科学等也需要数学。他说：“只有不懂数学的人，才会讲数学无用论。”
你不一定是一辈子都从事数学的研究，比如你从事经济学的研究，你习惯于定量分析的话，那你有较好的数学知识就很好；比如对于生物学的研究，如果你对基因的遗传规律感兴趣的话，那你可以学习数学知识；比如对于物理，物理中更多的量化的事情，要感兴趣的话，那你学习数学。数学是一个基础性的学科。
对于一般人来说，数学学习更多的是一种思维的训练！学习数学一方面学会了计算，一方面学会了比较理性、逻辑的思考问题。数学的思维是一种科学的思维。最重要的当然是逻辑思维。世界上没有无缘无故的爱，也没有无缘无故的恨，一件事情如果发生了，一定有其原因。在数学学习尤其是几何证明时，我们强调每一步的理由，每一个结论都是经严格推导得出的。逻辑严密的人是理性的，遇到问题，不会慌乱，而是冷静地思考其背后的逻辑关系。而当要完成一项任务时，也会列出需要达到的条件，并一一去落实。
接着是归纳思维。也就是找规律。我们以前常常做这样的题目：一个数列，告诉你前面几个数，让你写出后面的数。归纳是一种分析判断的能力。根据已经掌握的数据发现其背后的原因，根据一个人外表的行为分析其心理活动，根据一个人的态度分析自己哪些地方做得不好。归纳能力强的人比较善于反思。通常相同的错误犯了两次以上，绝对不会犯第三次。
然后是逆向思维。当完成题设推出结论的命题时，反过来想一想，结论能不能推出题设，这就是一种逆向思维。1+1＝2，那么，2是不是等于1+1呢？当然不一定，那么，2什么时候一定等于1+1呢？这就需要加一些条件。例如，把2分解成两个正整数的和。你和妈妈去商场，把车停在地下车库。停好车之后，你们去找电梯上楼。你发现地下车库很大，于是暗暗记住回来的路。结果购物回来，你妈妈不知道去哪里找车，你给她带路，这就是逆向思维能力强的表现。
多少个世纪以来，由于人们辛勤钻研、反复辩论，数学的各种公式与定理已经得到了千锤百炼，其与逻辑推理深深地紧密交织着，大大地增强了我们处理事务的能力。掌握了数学知识的人，就像戴了一副X射线眼镜一样，可以透过现实世界错综复杂的表面现象，看清其本质，并将其为己所用。
四、如何对数学产生兴趣？
布鲁纳说过：“学习的最好刺激乃是对学习材料的兴趣 。”无论你有多么和谐的教学气氛，幽默的教学语言，如果提供的教学材料枯燥无味，那也是徒劳无功的。
对数学产生兴趣，就得有贴近学生生活实际的有趣问题，使得在这个问题解决过程中，感觉到一些乐趣。当然产生兴趣的因素也不尽相同。作为引导者（教师），看到被引导者（学生）对什么样的问题感兴趣，比如喜欢音乐，那就探索音乐跟数学什么关系呢？这个时候，就有非常有趣的故事了！传说古希腊的一个叫做毕达哥拉斯，这么一个大数学家，他经过铁匠铺的时候，就发现有的铁匠铺敲的声音非常好听，有的铁匠铺不好听，他就进去研究，后来发现，锤子的重量之间成比例的就和弦，要不然就不和弦，然后他就创造了音乐，音乐就是这个弦拉的一样紧，这个弦之间成比例关系的话，敲出来的就（和弦），要不然就不（和弦），所以现在的胡琴什么的，都是这么样创造出来的，这就有很有趣了。
因此，根据具体情况，提出具体的问题，探索、引导，感兴趣的问题就出现了！从实用性的角度激发学习数学的乐趣. 数学是一种工具学科，不仅是学习其他学科的基础，同时还是提高人的判断能力、分析能力、理解能力的学科。这些能力是咱们能够在正确的时候，做出正确的决定的基础。
五、学数学要做大量的题目吗？
学数学不做题是不行的，但是大量做题也不一定是必须的。因为你做的每一道题是经过思考得到的是很重要的，而不是靠训练得到的，所以建议做一个题做的稍微难一点。只有稍微难一点的题，才能经过认真地去思考，不要做个题10分钟，20分钟都能做出来，有时候做一道题，用一天或者两天时间，做出来的时候，会突然感觉明白了很多事情。只有经过认真思考之后，学到的东西才是自己的，要不它永远是老师的。
有人认为，数学家整天计算做题。数学家不一定整天计算，不一定是做题，
他在很多时间是在思考，根据现实的情况来构造一个模型，来解释这个现象，这是很有趣的一件事情，然后在这个模型之后，求解的过程中才是做题。
当然做题刚开始还是要从基础题入手，简单的题可以增强自信，然后再找一些较难的习题，提高自己的解题能力，掌握一般的解题规律。对自己做错的题目要及时改正，而对自己一而再再而三的错题就要特别加以重视。
弄懂一道错题往往比做十几道新题有用。所以，在错题这方面，尤其需要重视，错题就是自己薄弱的地方，如果错题能够掌握牢固了，自己的数学解题能力一定会有大的提升。买一个活页本，作错题集。每一道错题，写下解题方法，然后在下面用不同颜色的笔，写下你的出错原因，这点很重要。回到课本，找到这个知识点，看看课本是怎么样论述的！这个知识点能够演化出来的类型题有几种。永远要记住一点，题目是做不完的，但题型是有限的，只有学会解题反思，才能抓住题型。解题反思不仅仅是对数学解题学习的一般性回顾或重复，而是深究数学解题活动中所涉及的知识、方法、思路、策略等，从中达到解决一类问题。
有问题在手的时候，学习知识的速度呈指数性增长，没有问题在手上的时候是线性增长。数学考试并不是仅仅在比谁掌握的知识有多好，还要比谁在考场上的失误最少。具体如何做题，可以参见如下推文(以下推文来自微信公众号：考研竞赛数学)：
- 怎样解题：四个步骤告诉你，求解数学题并不那么难！
- 你知道数学题做完以后还要干什么呢？
- 数学考试，你为什么老是丢分呢？
- 解《高等数学》题原来如同搭积木！
- 你真的，真的做了数学题吗？
- 你知道做数学题下手的套路是怎么锤炼出来的吗？
- 如何审题：
- 做好数学题的第一步
六、研究数学，最大的乐趣在于什么？
最大的乐趣，就是有时候研究一个没办法解决的事情，后来突然想出来一个办法，把它解决掉了以后，用起来很好用的时候，会感到非常高兴。就是前一段时间，来解决一个叫做市长公开电话，就是市民给市长打电话，打完电话之后呢，接听员听了之后，希望通过计算机自动分类，说这件事情是哪个区处理的，这个事情是公安局处理，这个事情是民政部处理……这样的事情。用计算机能不能处理这件事情。一开始觉得没有办法，后来想出来一个办法，把这件事情处理了。而且计算机会自动学习，原来分辨率是60%多，越来越好，越来越好，现在90%多了，这个时候你会感觉非常高兴。就是数学，刚才我们谈到了，数学是应用非常广泛，比如现在网页搜索，这些东西底下都是数学。
七、学习数学最重要的是什么呢？
我给学生们的建议有两个，一个是要有兴趣，在学习的过程中，特别是克服了困难过程中，你感到乐趣这是很重要，因为兴趣是学习的最根本的动力。还有一个学习数学要会思考，尤其刚才说的希望理性思维，这样的才适宜学数学。
另外要注重基础计算能力。计算能力是学习数学和其他学科的重要基础：数学中有些概念的引入需要通过计算来进行，数学中解决实际问题的解题思路、步骤、结果也要通过计算来落实。做习题帮自己理清头绪，帮助自己复习、思考、维持大脑运转。
数学的精随不是做题的数量，而是掌握思想。一题多解，多的是看问题的角度、分析的切入点、思考的层面，但这都是同一事物的不同侧面，最后都汇聚到统一真理结论上。要注重相互对比和借鉴的不同的思维方式，留意它，模仿它，琐碎的知识就会串成了一条项链。
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