拓撲學在20世紀數學中佔有核心的地位。布爾巴基學派的主將迪厄多內（J.Dieudonn）在1970年代中曾這樣概括：“代數拓撲學與微分拓撲學通過它們對於所有其他數學分支的影響，才真正應該名副其實地稱為20世紀數學的女王。”
拓撲：加速發展的滲透性學科
在拓撲學還是灰姑娘的時候，20世紀最偉大的數學家之一、規範理論的奠基者外爾（H.Weyl），已經多次強調抽象代數學和拓撲學是理解數學的兩種途徑，並論述拓撲學的奠基人黎曼和龐加萊工作的意義。但直到20世紀下半葉，通過本文介紹的12位菲爾茲獎獲得者以及其他一些大數學家的工作，拓撲學才真正脫穎而出，成為數學發展的領頭羊，把傳統的數學領域——數論、代數、幾何、分析加以改造，並推向一個全新的水平，而且還給理論物理、化學、生物科學、經濟學甚至心理學帶來意想不到的應用。這種成就是高斯的數學女王——數論與傳統的前沿——分析所達不到的。
20世紀下半葉獲獎的12位數學家正好反映了拓撲學的蓬勃發展及其影響的擴大。他們是1954年獲獎者塞爾（J.P.Serre），1958年獲獎者託姆 (R.Thom)，1962年獲獎者米爾諾(J.Milnor)，1966年獲獎者阿蒂亞 (M.Atiyah)、斯梅爾(S.Smale)，1970年獲獎者諾維科夫(S.Novikov)，1978年獲獎者奎倫(D.Quillen)， 1982年獲獎者瑟斯頓(W.Thurston)，1986年獲獎者弗裡德曼(M.Freedman)、唐納森(S.Donaldson)，1990年獲獎者瓊斯(V.Jones)、威滕(E.Witten)。
值得注意的是，他們雖都因拓撲學上的成就獲獎，但大都在其他數學領域乃至理論物理和哲學方面取得新的突破，而這正反映了拓撲學的地位。許多人是真正的數學大師，是當今數學界的領袖人物。
這12位獲獎者的工作顯示出20世紀拓撲學的發展軌跡。在上半世紀，不僅建立了一般拓撲學的基礎，還創立了拓撲學中相互關聯的四大領域：（1）同調論，特別是同調論的公理化，引入上同調及上同調運算；（2）同倫論；（3）纖維叢和示性類理論；（4）拓撲變換群和不動點理論以及連續映射、可微映射、莫爾斯（M.Morse）理論等。可是對至關重要的球面同倫群的計算，到1940年代末只計算出一兩個，算第三個同倫群時，前蘇聯著名數學家龐特里亞金（L.S.Pontrjagin）還出過錯（他由此離開拓撲學領域）。這時，法國學派領導世界新潮流，在韋伊（A.Weil）、嘉當（H.Cartan）、勒雷（J.Leray）等老一輩數學家的指引下，新一代數學家迅速成長，最突出的有塞爾、託姆、吳文俊等人，正是他們在1940年代末和1950年代初成就了拓撲學的輝煌時期，對於5維和5維以上的流形拓撲學取得重大突破。然而對於低維（特別是3維及4維拓撲學）卻無能為力。在1970年代中，拓撲學進入一個低潮。
不久，瑟斯頓、弗裡德曼分別在3維和4維拓撲學上取得突破，這與物理學有著不可思議的關係，拓撲學進入第二個黃金時期。這也從獲獎者獲獎時間明顯劃分出來，前7位主要研究高維拓撲，而後5位則研究低維拓撲。
高維拓撲學的輝煌成就
第一位因拓撲學方面的成就榮獲菲爾茲獎的是塞爾，他也是迄今為止最年輕的獲獎者，獲獎時還不滿28週歲。塞爾1926年9月15日生於法國南部巴熱，在七八歲時就喜歡數學，11歲到尼姆上中學，14歲開始看微積分。1944年參加中學會考，獲數學第一名。1945年考進高等師範學校，1948年畢業。1948—1953年在國家科學研究中心任實習研究員，1951年獲博士學位。1953年升任助理研究員，1954—1956年到南錫大學任數學系講師。1956年，30歲的塞爾成為法蘭西學院代數和幾何講座教授，1994年成為榮譽教授。
塞爾在1951年的博士論文裡把同倫論發展到新的高度，開拓了拓撲學廣泛的應用前景。他首先攻克球面同倫群計算的大難題，證明有限性定理，證明除了兩個無窮系列之外，其他同倫群都是有限阿貝爾群，還發展一些新方法來計算它們。在取得拓撲學的突破之後，他把拓撲學的方法成功應用到其他數學領域並取得一系列成就。首先是同嘉當在多複變函數論上利用勒雷的層的觀念取得劃時代的成果，證明定理A，B，發展斯坦因（K.Stein）空間理論。他獨立證明代數幾何和復解析幾何的相似性，他的論文以GAGA著稱。他還發展了同調代數學，簡單說就是應用拓撲方法來研究抽象代數。他取得同調代數學的首批重大結果，而這是用抽象代數方法得不到的。這又一次顯示拓撲方法的成功。最後，他的興趣轉向數論，也是引進一系列的拓撲方法，特別是伽羅瓦上同調，成為解決問題的有力工具。
塞爾的工作博大精深，在解決大問題上也毫不遜色。在1994年英國數學家懷爾斯（A.Wiles）成功證明費爾馬大定理的過程中，關鍵一步便是證明塞爾的ε猜想，這裡的ε表示塞爾大猜想的一個極小部分。他的論文在1986年已收集成《全集》3卷，1985—1998年的論文收集成第4卷於2000年出版，其中不乏經典之作。他獲得許多榮譽，包括法國科學院院士和美國科學院外籍院士，英國倫敦皇家學會外籍院士。他還榮獲2000年度沃爾夫獎和1985年巴爾贊（Balzan）獎。他出版十幾種論述性著作，論述清楚明白深入淺出，為此獲得美國數學會斯蒂爾（Steele）獎中的論述獎。
託姆於1923年9月2日生於法國蒙特利亞爾。1943年進入高等師範學校，1946年畢業後到斯特拉斯堡大學，跟隨嘉當和埃雷斯曼（C.Ehresmann）讀博士，在這裡他結識了吳文俊並受到吳的影響。1951年他寫出博士論文“球叢空間及斯廷羅德（Steernod）平方”，獲得國家博士學位，其後兩年去美國訪問，1953年回國後任格林諾布爾大學講師，1954年回斯特拉斯堡大學任講師，1957—1963年任教授。1964 年到巴黎高等科學研究院任數學教授，1988年退休。
託姆的獲獎工作主要是1954年發表的配邊理論。配邊是流形間的一個等價關係，兩個n維流形稱為配邊，如果它們共同構成一個n＋1維流形的邊。流形按配邊關係劃分成等價類，這些等價類構成一個阿貝爾群Nn。而各維的群構成一個分次環N。託姆的功績在於完全定出N的結構並定出其生成元。其中關鍵定理是Nn與託姆復形的同倫群同構。他還把配邊理論推廣到定向流形，並且得到相應的結果。這個漂亮的工作不僅引出一系列新配邊理論，而且對數學產生衝擊性的影響。
利用託姆的配邊理論，德國數學家希策布魯赫（F.Hirzebruch）證明了高維代數的黎曼－洛赫定理，米爾諾證明了7維球面上有多種微分結構，阿蒂亞和辛格（I.M.Singer）給出指標公式最早證明。託姆其後發展了奇點定理，並提出突變理論，引起了轟動。突變理論系統論述於1972年出版的《結構穩定性與形態發生》一書中。這時他的興趣轉向生物學、語言學和哲學，並建立“語義物理學”。1989年《語義物理學概要》出版，提出他的一套科學哲學體系。託姆是法國科學院院士。
米爾諾1931年2月20日生於新澤西州奧蘭治，中學時期就是數學競賽的優勝者。1948年進入普林斯頓大學學習，1951年畢業，1954年獲博士學位，後留校任教，1956年任教授，1962年任亨利?帕特曼講座教授。1968—1970年任麻省理工學院教授。1970年任普林斯頓高等研究院數學教授。1989年起任紐約州立大學石溪分校數學科學研究所所長。
米爾諾的工作繼續託姆對於定向配邊群的確定，並推廣到復配邊、酉配邊、自旋配邊等理論的研究。1956年他證明7維球面上存在多種微分結構而引起轟動，由此開創微分拓撲學的新紀元。接著他與瑞士數學家刻維爾（A.Kervaire）得出高維球面上微分結構群的結構，他提出的換球術成為研究高維流形的基本方法。1964年他證明微分流形的切叢和龐特里亞金示性類不是拓撲不變量。他在1961年首先舉出主猜想的反例，系統建立懷特海（J.H.C.Whitehead）擾元理論，同穆爾（C.C.Moore）建立的霍普夫（H.Hopf）代數是量子群的原型。其後，他的工作涉及微分幾何學、動力系統理論、代數K理論、二次型理論、代數數論等等，尤其在復超曲面理論、迭代映射等多方面有重大貢獻。他是美國科學院院士，曾獲美國國家科學獎章（1966），1989年獲沃爾夫獎。
阿蒂亞1929年4月22日生於倫敦。1949年入劍橋三一學院學習，1952年畢業，1955年獲博士學位，1954—1958年任研究員，1958— 1961年任講師。1961年去牛津大學任高級講師，1963—1969年任塞維爾幾何講座教授。1969—1972年任美國普林斯頓高等研究院數學教授。1973年回牛津任皇家學會研究教授。1990年回劍橋任三一學院院長。
阿蒂亞的最重大貢獻是同辛格在1963年證明了指標定理，把拓撲不變量通過解析不變量來表示。由這個定理可以推出許多數學上的重要定理，其證明也涉及數學上諸多領域，特別是偏微分算子和他參與建立的K理論。K理論是第一個重要的廣義上同調理論，有廣泛應用，英國拓撲學家亞當斯（J.Adams）曾用來解決球面上獨立向量場的數目問題。到1970年代阿蒂亞啟動新一輪研究，即規範理論和拓撲與幾何關係，進而導致20世紀最後25年低維拓撲及幾何和理論物理如量子場論與弦論的奇妙關係的發現，它把拓撲、幾何和物理都帶到一個全新的境界。
阿蒂亞是英國倫敦皇家學會會員，美國國家科學院和法國科學院外籍院士，1983年獲爵士稱號。1990—1995年任皇家學會會長，1990年他任新建牛頓數學科學研究所首任所長，在這些位置上對科學政策、教育與研究方向發揮重大作用。
斯梅爾1930年7月15日生於密歇根州弗林特。1948年入密歇根大學學物理，後轉為數學，1952年畢業，1953年獲碩士學位，1956年獲博士學位。其後在芝加哥大學任講師，並在普林斯頓高等研究院作研究，1961—1964年任哥倫比亞大學教授，1964年起任加利福尼亞大學伯克利分校教授， 1998年任香港市立大學教授。
斯梅爾早期工作是關於流形的浸入問題，特別是他發現了不弄破球面而把裡面翻到外面的方法。他最大的成就是證明5維及5維以上的龐加萊猜想，即一個與Sn（n維球面）具有相同同調群的單連通閉n維流形一定與Sn同胚（n≥5）。而原來n=3的龐加萊猜想至今尚未解決，成為21世紀最大難題之一(眾所周知，這個難題已經被Perelman所解決）。1960年以後他開始研究微分動力系統，通過拓撲方法奠定這門科學的理論基礎，這理論其後獲得飛速發展（如混沌理論）。他還研究數理經濟學、計算複雜性理論、非線性泛函分析以及在物理學、生物學等方面的應用，成為當代最有影響的數學家之一。他獲得過多種榮譽，如1965年獲美國數學會維布侖（Veblen）幾何學獎。1970年，他當選為美國國家科學院院士。
前蘇聯數學家諾維科夫1938年3月20日生於高爾基城，父母都是傑出的數學家。1955年進入莫斯科大學數學力學系學習，1960年畢業後到數學研究所當研究生，1964年獲副博士學位，1965年獲博士學位，其後回莫斯科大學任教授。1971年以後，他轉向理論物理，任科學院理論物理研究所數學室主任。到戈爾巴喬夫時代，他才獲准出國訪問，1992年後定期在美國馬里蘭大學任教。
諾維科夫在1970年獲獎之前工作方向主要是拓撲：研究穩定同倫群的計算以及復配邊理論，證明3維流形上餘維1的葉狀結構一定存在緊葉。他最大的貢獻是證明單連通流形有理龐特里亞金示性類的拓撲不變性（注意：龐特里亞金示性類不是拓撲不變的！），還對5維及5維以上單連通光滑流形進行微分同胚的分類。他引入高階符號差並提出諾維科夫猜想，推動了其後拓撲學的發展。1971年以後他研究數學物理學，特別是研究弧子解的週期性及其與黎曼曲面和θ函數的關係，完全可積系統的哈密頓力學，量子力學與量子場論中一些拓撲不變量等。諾維科夫早在1966年就當選為蘇聯科學院通訊院士，1981年當選為院士，1994年被選為美國科學院國外院士。
奎倫於1940年4月22日生於美國新澤西州奧蘭治。1961年大學畢業後到哈佛大學隨拓撲學家博特（R.Bott，也是斯梅爾的博士導師，2000年沃爾夫獎獲獎者）做博士論文，1964年獲博士學位。此後他一直在麻省理工學院任教，1971年起任教授。他是美國科學院院士。
奎倫的工作繼續前人的工作：首先在米爾諾和諾維科夫的復配邊理論中，發現其結構與形式群的關連，其後解決拓撲K理論的亞當斯猜想，在同倫理論中引入有理同倫理論及其重要工具，微分分次代數（DGA）以及極小模型。他的巨大貢獻在於運用拓撲思想解決代數及其他領域中的問題，其中最重要的是系統建立代數K理論，現在已成為龐大分支。另一個重要成就是證明塞爾的猜想：多項式環上的射影模必是自由模。正如前面幾位大師一樣，奎倫最近的研究也與物理有關，這涉及當前的熱門：黎曼曲面的參模空間，其上的向量叢等等，它們與規範理論***論有關。
低維拓撲學的振興
瑟斯頓於1946年10月30日生於華盛頓。1967年在佛羅里達州的薩拉索塔新學院獲生物學學士學位，後去加利福尼亞大學伯克利分校讀數學研究生， 1972年獲博士學位。在麻省理工學院工作一年，1973年任普林斯頓大學教授。1992—1997年任伯克利數學科學研究所所長，其後到加利福尼亞大學戴維斯分校任教授。
瑟斯頓的主要貢獻是閉3維流形的分類。他把3維流形分解為“素”流形的連通和，然後提出一個分類綱領，即每一種素流形都具有8種幾何結構的一種，他完成了這個綱領的大部分。他還對泰希米勒空間、克萊因群、動力系統等理論得出重大成果，在拓撲學方面對葉狀結構理論以及證明史密斯（P.Smith）猜想做出貢獻。他是美國科學院院士，獲得1976年美國數學會維布侖獎。
弗裡德曼1951年4月21日生於洛杉磯，1968年在伯克利分校讀一年之後，去普林斯頓大學讀博士，1973年獲博士學位，其後在伯克利任講師。1976年到加利福尼亞大學聖迭戈分校任助理教授、副教授，1982年起任教授。1984年當選為美國科學院院士，1987年榮獲美國國家科學獎章。
弗裡德曼的主要貢獻是打破4維流形的禁區，在1981年率先證明了4維龐加萊猜想，而且完成4維單連通流形的拓撲分類，他的主要結果是任何整係數公模二次型都是某4維流形的交截形式。他的工作直接影響唐納森進一步的結果。到1990年代，他的方向轉向應用拓撲學與物理學，特別是等離子體物理和磁流體力學。
唐納森於1957年8月20日生於劍橋。1976年入劍橋大學彭布羅克學院學習，1979年畢業。1980年到牛津大學伍斯特學院讀研究生，1983年獲博士學位，其後在牛津大學萬靈學院任初級研究員。1985年以後任牛津大學沃利斯（Wallis）數學講座教授。
唐納森的數學工作緊隨弗裡德曼。他證明光滑單連通4維流形如具有正定交截形式，則可以化為整數係數的對角形式。結合弗裡德曼的工作，由此得出驚人結果：4 維流形上可以存在不同的微分結構。尤其是4維歐氏空間上存在著不可數無窮多種微分結構。更令人驚異的是他的結果建築在拓撲與規範理論的奇妙的聯繫之上，這引發後來不可思議的發展。
瓊斯於1952年12月31日生於新西蘭吉斯伯恩。1970年入奧克蘭大學，1973年畢業。1974年到瑞士日內瓦進修，先學兩年物理，後來師從拓撲學家黑富利格爾（A.Haefliger）學數學，1979年獲博士學位。1975—1980年間同時任日內瓦大學助教。1980年赴美，1981年在賓州大學任教，1985年起任加利福尼亞大學伯克利分校教授。
瓊斯的重要貢獻在於引入分類紐結與鏈結的不變量——瓊斯多項式。從1928年美國拓撲學家亞歷山大（J.Alexander）得出分類紐結的亞歷山大多項式以來，這一領域50多年進步不大，直到1984年瓊斯得出他的多項式。有趣的是，他是通過馮?諾伊曼（J.von Neumann）代數來構造多項式的，這種聯繫完全難以想象。瓊斯多項式在一兩年內得到快速推廣，先後得出HOMFLY多項式和考夫曼（L.Kauffman）多項式，最後得到瓦希裡耶夫（V.Vassiliev）不變量。幾年之內，紐結理論成為一大熱門。瓊斯多項式的意義還不限於紐結理論，它與3維拓撲學以及物理領域有密切關係。
威滕於1951年8月26日生於馬里蘭州。他在布蘭迪斯大學學習歷史和經濟學，1971年畢業，曾參加1972年總統競選事務。其後到普林斯頓大學學習物理，1974年獲碩士學位，1976年獲博士學位。而後在哈佛大學作研究工作，1980年任普林斯頓大學物理教授。1987年起任普林斯頓高等研究院物理教授。
威滕物理學家的身份曾引起許多數學家對他數學工作的疑慮，但阿蒂亞據理力爭，他認為很少數學傢俱有威滕的數學能力。威滕的目標是建立大統一理論，他的方法很大程度是拓撲的，特別是他對莫爾斯理論、德?拉姆（de Rham）和霍奇（Hodge）理論，尤其是指標定理給出新的表述及證明。他給出威滕不變量，結果以瓊斯不等式、弗洛爾（A.Floer）不變量和唐納森不變量為其特殊情形。1990年代威滕的工作更為輝煌：一是在1994年同塞伯格（N.Seiberg）引入塞伯格－威滕不變量，這通過解線性方程可以計算的不變量使得過去許多不變量相形見絀。二是在1998年建立M理論、統一不同形式的弦論成為完整的框架。他已經發表200多篇論文，被譽為當代最有影響的物理學家之一。追根溯源，這些都來自拓撲學的威力。
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