在我國，公元前十一世紀，商朝數學家就提出“勾三、股四、弦五”的勾股定理。巴比倫有公元前1800年的文檔書寫了類似的勾股定律，而書寫於公元前2000年的古埃及莎草書也記載了相關的內容。公元前六世紀，古希臘畢達哥拉斯提出並嚴格證明了這個定理，叫畢達哥拉斯定理。這個古老的幾何定理，至今還具有持續的生命力，煥發它的無窮魅力。
1、什麼是勾股定理？
勾股定理在西方稱為畢達哥拉斯定理，即：在一個直角三角形中，斜邊邊長的平方等於兩條直角邊邊長平方之和。見下圖，直角三角形兩直角邊分別為AC、BC，斜邊為AB，那麼AC2+BC2=AB2。或直角邊長分別為a、b，斜邊為c，那麼a²+b²=c²。這就是勾股定理的數學表達形式。
畢達哥拉斯是古希臘數學家、哲學家。他提出勾股定理的設想還是從一次應邀參加一位富有政要的餐會說起。這位主人豪華宮殿般的餐廳鋪著是正方形美麗的大理石地磚，由於大餐遲遲不上桌，這些飢腸轆轆的貴賓頗有怨言。這位善於觀察和理解的數學家卻凝視腳下這些排列規則、美麗的方形磁磚。
畢達哥拉斯（公元前約580年------公元前500~490年）
但畢達哥拉斯不只是欣賞磁磚的美麗，而是想到它們和“數”之間的關係，於是拿了畫筆並且蹲在地板上，選了一塊磁磚以它的對角線 AB為邊畫一個正方形，他發現這個正方形面積恰好等於兩塊磁磚的面積和。
他很好奇，於是再以兩塊磁磚拼成的矩形之對角線作另一個正方形，他發現這個正方形之面積等於5塊磁磚的面積，也就是以兩股為邊作正方形面積之和。至此畢達哥拉斯作了大膽的假設：任何直角三角形，其斜邊的平方恰好等於另兩邊平方之和。那一頓飯，這位古希臘數學大師，視線都一直沒有離開地面。
在西方有文字記載的最早的證明是畢達哥拉斯給出的。據說當他證明了勾股定理以後，欣喜若狂，殺牛百頭，以示慶賀。故西方亦稱勾股定理為“百牛定理”。很遺憾，畢達哥拉斯的證明方法早已失傳，無從知道他的證法。公元前4世紀，希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》中對勾股定理給出一個證明。
《幾何原本》，是古希臘數學家歐幾里得所著的一部數學著作。它是歐洲數學的基礎，總結了平面幾何五大公設（從人們的經驗中總結出的幾何常識事實），被廣泛的認為是歷史上最成功的教科書。這本著作是歐幾里得幾何的基礎，在西方是僅次於《聖經》而流傳最廣的書籍。
2、什麼是勾股數？
勾股數就是可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數。遠在公元前約三千年的古巴比倫人就知道和應用勾股定理，還知道許多勾股數組。
這些數組如：（3，4，5）、（5，12，13）、（6，8，10）、（7，24，25）、（8，15，17）、（9，40，41）、（11， 60，61 ）、（12，35，37）等。
耶魯大學3D打印成功原大複製古巴比倫勾股定理粘土板，其上面的數字是勾股數，見下圖。圖中30、42、51是勾股數組（18，24，30）、（40，42，58）、（24，45，51）裡的數。
耶魯大學3D打印的複製品
在中國，《周髀算經》中記錄著商高同周公的一段對話。商高說：“…故折矩，勾廣三，股修四，經隅五。”意為：當直角三角形的兩條直角邊分別為3（勾）和4（股）時，徑隅（弦）則為5。以後人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”，根據該典故稱勾股定理為商高定理。
中國古代數學家商高
在埃及，禮拜堂的香堂一定要朝東建築，那麼這個“東”如何來測繪呢？傳說，古埃及人為了確定這個方向，先觀察地平線上星辰升降之地點，並在它們中間確定一個平面，從而得到南北線，再由專門的測量員，畫出與南北線垂直相交的東西線。測量員沿南北線立兩根樁，另立一根樁於較遠的地方，使它與前兩樁成直角三角形。用繩子圍著這三個樁，如果這個三角樁的三邊繩長之比為3：4：5，那麼，最大邊所對的角就是直角。有了直角，測量員根據南北線確定東西線就不困難了。
三邊繩長之比為3：4：5
勾股定理創意畫
3、勾股定理的作用
① 勾股定理是聯繫數學中最基本也是最原始的兩個對象--------數與形的千古第一定理。
② 勾股定理導致不可通約量（如正方形的邊長與對角線的長度）的發現，從而深刻揭示了數與量的區別，即所謂“無理數”與有理數的差別，這就是所謂第一次數學危機。
③ 勾股定理開始把數學由計算與測量的技術轉變為證明與推理的科學。
④ 勾股定理中的公式是第一個不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引導到各式各樣的不定方程，包括著名的費爾馬大定理，另一方面也為不定方程的解題程序樹立了一個範式。
4、第一次數學危機
畢達哥拉斯定理提出後，其學派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發現這一長度既不能用整數，也不能用分數表示，而只能用一個新數來表示。希帕索斯的發現導致了數學史上第一個無理數√2的誕生。
小小√2的出現，卻在當時的數學界掀起了一場巨大風暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學派的數學信仰，使畢達哥拉斯學派為之大為恐慌。實際上，這一偉大發現不但是對畢達哥拉斯學派的致命打擊，對於當時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的衝擊。
更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。以致於有一段時間，他們費了很大的精力將此事保密，不準外傳。這就在當時直接導致了人們認識上的危機，從而導致了西方數學史上一場大的風波，史稱“第一次數學危機”。
但是人們很快發現不可通約性（如分數與平方根相加）並不是罕見的現象。面積等於3、5、6、……17的正方形的邊與單位正方形的邊也不可通約。隨著時間的推移，無理數的存在逐漸成為人所共知的事實。
√2的數值
同時危機的產生也刺激了數學和邏輯學的發展。第一次數學危機後出版了兩本經典著作：一是關於數學的第一本經典著作------歐幾里德的《幾何原本》；二是關於邏輯學問題的第一本經典著作------亞里士多德的《工具論》。這兩本經典著作標誌著公理幾何學和邏輯學的誕生，成為數學發展史上具有重大意義的事件。
另外介紹一個採用勾股定理作為會標的國際會議，這就是2002年在北京召開的第二十四屆國際數學家大會。其會標取材於我國古代數學家趙爽（公元182----250年）用來證明勾股定理的弦圖。它是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形，原大正方形去框、小正方形加大，並在此基礎上加以裝飾美化而成。
第二十四屆國際數學家大會會標
趙爽弦圖
或許你會問，商高比畢達哥拉斯早500提到勾股弦問題，為什麼西方把勾股定理稱為畢達哥拉斯定理？
回答是：商高提出的勾3股4弦5，只是勾股定理的一個特例，沒有上升到普遍理論層面，嚴格證明也較晚（趙爽弦圖在公元三世紀）。而畢達哥拉斯（公元前五世紀）不僅提出了勾股定理，而且作了嚴格的證明。這裡有一個什麼是科學方法和科學精神的問題。
5.精彩紛呈的勾股定理證明
勾股定理一共有多少種證明方法，說法不一，說300多種、400多種、500多種的甚至600多種的都有，總之是豐富多彩、精彩紛呈。不少證明簡潔明瞭、別出心裁、妙趣橫生、回味無窮。不少對勾股定理證明的愛好者趨之若鶩、廢寢忘食、奔走相告、樂在其中。
想當初《美國數學月刊》在1894年開始創立這本雜誌的時候，該雜誌就專門開闢了一個有關問題求解的版塊，這個版塊就有勾股定理。但是讓該雜誌沒想到的是，有關畢達哥斯拉定理的解法來了一個又一個，等到收到第一百個證明方法的時候，該雜誌的編輯崩潰了：“你們是魔鬼嗎？老子不幹了！”並宣佈：“該定理的證法是無窮無盡的，本刊今後將不再接受此類稿件”，結果不了了之。
動態圖演示勾股定理
1、名人對勾股定理的證明
（1）總統證法
這是真實的故事，1876年一個週末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當時美國俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德。
只見兩個小孩，其中的一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形。於是伽菲爾德便問他們在幹什麼？那個小男孩頭也不抬地說：“請問先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那麼斜邊長為多少呢？”伽菲爾德答到：“是5呀。”小男孩又問道：“如果兩條直角邊分別為5和7，那麼這個直角三角形的斜邊長又是多少？”伽菲爾德不假思索地回答到：“那斜邊的平方一定等於5的平方加上7的平方。”小男孩又說道：“先生，你能說出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時語塞，無法解釋了，心裡很不是滋味。
於是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經過反覆的思考與演算，終於弄清楚了其中的道理，並給出了簡潔的證明方法。他用三個直角三角形拼接了一個梯形，這個梯形的面積與三個直角三角形加起在一起的面積相等，就得到勾股定理的證明，見下圖。
1876年4月1日，加菲爾德在《新英格蘭教育日誌》上發表了他對勾股定理的這一證法。1881年，加菲爾德就任美國第二十任總統。後來，人們為了紀念他對勾股定理直觀、簡捷、易懂、明瞭的證明，就把這一證法稱為“總統證法”。
美國第二十任總統加菲爾德
（2）12歲愛因斯坦證法
愛因斯坦12歲時，在未學過平面幾何的情況下，根據相似三角形的性質，獨立的給出了勾股定理的一個證法，這一證法是勾股定理的證明方法中非常簡單的證法。
證明開始，就是已知一個直角三角形，勾、股、弦的長度分別是a、b、c，要求證明a的平方加b的平方等於c的平方就算證明完畢。這一節的證明的格式不打算很規範，只要說明理由就行了，甚至有些作輔助線也不說了。如此敘述的目的在於，你把重點放在證明的思路方面。下圖中上面的圖是已知條件，已經包括了作輔助線。中間的兩對圖形都表示對應的相似三角形，證明的公式在下面。
（3）趙爽弦圖證法
這個證明來自我國古代數學家趙爽的弦圖，也是一種簡明易懂的證法。
（4）歐幾里得證法
歐幾里得在《幾何原本》上的證明，見下圖。其思路是：作輔助線把大正方形一分為二，使①的面積等於勾正方形的面積，使②的面積等於股正方形的面積。要實現證明還得作其它的輔助線，並在證明過程中還要用到別的輔助定理。在眾多證法中，這種證法屬“陽春白雪”，這個證法的具體步驟就用圖下面的動畫代替了，要了解此證法更多的內容可去閱讀其它參考資料。勾股定理的拼圖證法形象直觀、容易理解，下面有介紹。
歐幾里德證明方法的思路
歐幾里得證法的動態演示
2、用拼圖法佐證勾股定理
（1）用兩個結構不同但面積相等的拼圖
左圖與右圖面積相等，兩圖都去了四個全等的直角三角形，剩下部分的面積肯定也相等，這樣就證明了勾股定理。
（2）用五巧板拼圖
至於五巧板，只是作為一種拼圖證法介紹。
（3）在一個圖形上，局部去了的再在別的對應的地方補上，也叫移出移入法。
下圖中，上面的圖中有勾正方形、股正方形。虛線正方形是將要拼接結果（弦正方形）。下圖中的下面的圖表示了具體移出移入的過程。
（4）一個圖形同時有以a、b、c為邊的正方形，通過拼圖來證明勾股定理。
這個圖同時隱含著重疊的邊長分別是a、b，c的正方形。可把這個圖找到與它對應的全等的兩個圖，一個圖上有邊長是a、b的兩個正方形，另一個圖上有邊長為c的正方形。然後比較這兩個全等的圖形，就得到的勾股定理的證明了。
有人或許說，用三角函數（如餘弦定理）就能很快證明勾股定理，為什麼不能不能算做一個證明方法？
回答：說到這個，得回到勾股定理與餘弦定理的關係上來。因為勾股定理是餘弦定理得以證明的前提。用餘弦定理證明勾股定理是屬於循環論證，這是嚴密邏輯推理的大忌。因此凡是用“餘弦定理”或“用餘弦的平方加正弦的平方的和等於一”的公式，都不會列入證明方法的統計之中。
4、畢達哥拉斯樹
畢達哥拉斯樹是由畢達哥拉斯根據勾股定理所畫出來的一個可以無限重複的圖形，又因為重複數次後的形狀好似一棵樹，所以被稱為畢達哥拉斯樹，也叫“勾股樹”。根據所做的三角形的形狀不同，重複做這種三角形的畢達哥拉斯樹的“枝幹”茂密程度就不同。具體建立畢達哥拉斯樹的過程見下圖。
建立畢達哥拉斯樹的過程
不對稱畢達哥拉斯樹
對稱畢達哥拉斯樹
彩色畢達哥拉斯樹
勾股定理開創了數形結合的先河，我國著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”數形結合，主要指的是數與形之間的一一對應關係。數形結合就是把抽象的數學語言、數量關係與直觀的幾何圖形、位置關係結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”，可以使複雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而實現優化解題途徑的目的。
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