在我国，公元前十一世纪，商朝数学家就提出“勾三、股四、弦五”的勾股定理。巴比伦有公元前1800年的文档书写了类似的勾股定律，而书写于公元前2000年的古埃及莎草书也记载了相关的内容。公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯提出并严格证明了这个定理，叫毕达哥拉斯定理。这个古老的几何定理，至今还具有持续的生命力，焕发它的无穷魅力。
1、什么是勾股定理？
勾股定理在西方称为毕达哥拉斯定理，即：在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。见下图，直角三角形两直角边分别为AC、BC，斜边为AB，那么AC2+BC2=AB2。或直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a²+b²=c²。这就是勾股定理的数学表达形式。
毕达哥拉斯是古希腊数学家、哲学家。他提出勾股定理的设想还是从一次应邀参加一位富有政要的餐会说起。这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着是正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言。这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形磁砖。
毕达哥拉斯（公元前约580年------公元前500~490年）
但毕达哥拉斯不只是欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和“数”之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线 AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和。
他很好奇，于是再以两块磁砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块磁砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和。至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和。那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面。
在西方有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。很遗憾，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，无从知道他的证法。公元前4世纪，希腊数学家欧几里得在《几何原本》中对勾股定理给出一个证明。
《几何原本》，是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作。它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设（从人们的经验中总结出的几何常识事实），被广泛的认为是历史上最成功的教科书。这本著作是欧几里得几何的基础，在西方是仅次于《圣经》而流传最广的书籍。
2、什么是勾股数？
勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，还知道许多勾股数组。
这些数组如：（3，4，5）、（5，12，13）、（6，8，10）、（7，24，25）、（8，15，17）、（9，40，41）、（11， 60，61 ）、（12，35，37）等。
耶鲁大学3D打印成功原大复制古巴比伦勾股定理粘土板，其上面的数字是勾股数，见下图。图中30、42、51是勾股数组（18，24，30）、（40，42，58）、（24，45，51）里的数。
耶鲁大学3D打印的复制品
在中国，《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”意为：当直角三角形的两条直角边分别为3（勾）和4（股）时，径隅（弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”，根据该典故称勾股定理为商高定理。
中国古代数学家商高
在埃及，礼拜堂的香堂一定要朝东建筑，那么这个“东”如何来测绘呢？传说，古埃及人为了确定这个方向，先观察地平线上星辰升降之地点，并在它们中间确定一个平面，从而得到南北线，再由专门的测量员，画出与南北线垂直相交的东西线。测量员沿南北线立两根桩，另立一根桩于较远的地方，使它与前两桩成直角三角形。用绳子围着这三个桩，如果这个三角桩的三边绳长之比为3：4：5，那么，最大边所对的角就是直角。有了直角，测量员根据南北线确定东西线就不困难了。
三边绳长之比为3：4：5
勾股定理创意画
3、勾股定理的作用
① 勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象--------数与形的千古第一定理。
② 勾股定理导致不可通约量（如正方形的边长与对角线的长度）的发现，从而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数”与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。
③ 勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。
④ 勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。
4、第一次数学危机
毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2的诞生。
小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击，对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。
更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。以致于有一段时间，他们费了很大的精力将此事保密，不准外传。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。
但是人们很快发现不可通约性（如分数与平方根相加）并不是罕见的现象。面积等于3、5、6、……17的正方形的边与单位正方形的边也不可通约。随着时间的推移，无理数的存在逐渐成为人所共知的事实。
√2的数值
同时危机的产生也刺激了数学和逻辑学的发展。第一次数学危机后出版了两本经典著作：一是关于数学的第一本经典著作------欧几里德的《几何原本》；二是关于逻辑学问题的第一本经典著作------亚里士多德的《工具论》。这两本经典著作标志着公理几何学和逻辑学的诞生，成为数学发展史上具有重大意义的事件。
另外介绍一个采用勾股定理作为会标的国际会议，这就是2002年在北京召开的第二十四届国际数学家大会。其会标取材于我国古代数学家赵爽（公元182----250年）用来证明勾股定理的弦图。它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，原大正方形去框、小正方形加大，并在此基础上加以装饰美化而成。
第二十四届国际数学家大会会标
赵爽弦图
或许你会问，商高比毕达哥拉斯早500提到勾股弦问题，为什么西方把勾股定理称为毕达哥拉斯定理？
回答是：商高提出的勾3股4弦5，只是勾股定理的一个特例，没有上升到普遍理论层面，严格证明也较晚（赵爽弦图在公元三世纪）。而毕达哥拉斯（公元前五世纪）不仅提出了勾股定理，而且作了严格的证明。这里有一个什么是科学方法和科学精神的问题。
5.精彩纷呈的勾股定理证明
勾股定理一共有多少种证明方法，说法不一，说300多种、400多种、500多种的甚至600多种的都有，总之是丰富多彩、精彩纷呈。不少证明简洁明了、别出心裁、妙趣横生、回味无穷。不少对勾股定理证明的爱好者趋之若鹜、废寝忘食、奔走相告、乐在其中。
想当初《美国数学月刊》在1894年开始创立这本杂志的时候，该杂志就专门开辟了一个有关问题求解的版块，这个版块就有勾股定理。但是让该杂志没想到的是，有关毕达哥斯拉定理的解法来了一个又一个，等到收到第一百个证明方法的时候，该杂志的编辑崩溃了：“你们是魔鬼吗？老子不干了！”并宣布：“该定理的证法是无穷无尽的，本刊今后将不再接受此类稿件”，结果不了了之。
动态图演示勾股定理
1、名人对勾股定理的证明
（1）总统证法
这是真实的故事，1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。
只见两个小孩，其中的一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。
于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。他用三个直角三角形拼接了一个梯形，这个梯形的面积与三个直角三角形加起在一起的面积相等，就得到勾股定理的证明，见下图。
1876年4月1日，加菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，加菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统证法”。
美国第二十任总统加菲尔德
（2）12岁爱因斯坦证法
爱因斯坦12岁时，在未学过平面几何的情况下，根据相似三角形的性质，独立的给出了勾股定理的一个证法，这一证法是勾股定理的证明方法中非常简单的证法。
证明开始，就是已知一个直角三角形，勾、股、弦的长度分别是a、b、c，要求证明a的平方加b的平方等于c的平方就算证明完毕。这一节的证明的格式不打算很规范，只要说明理由就行了，甚至有些作辅助线也不说了。如此叙述的目的在于，你把重点放在证明的思路方面。下图中上面的图是已知条件，已经包括了作辅助线。中间的两对图形都表示对应的相似三角形，证明的公式在下面。
（3）赵爽弦图证法
这个证明来自我国古代数学家赵爽的弦图，也是一种简明易懂的证法。
（4）欧几里得证法
欧几里得在《几何原本》上的证明，见下图。其思路是：作辅助线把大正方形一分为二，使①的面积等于勾正方形的面积，使②的面积等于股正方形的面积。要实现证明还得作其它的辅助线，并在证明过程中还要用到别的辅助定理。在众多证法中，这种证法属“阳春白雪”，这个证法的具体步骤就用图下面的动画代替了，要了解此证法更多的内容可去阅读其它参考资料。勾股定理的拼图证法形象直观、容易理解，下面有介绍。
欧几里德证明方法的思路
欧几里得证法的动态演示
2、用拼图法佐证勾股定理
（1）用两个结构不同但面积相等的拼图
左图与右图面积相等，两图都去了四个全等的直角三角形，剩下部分的面积肯定也相等，这样就证明了勾股定理。
（2）用五巧板拼图
至于五巧板，只是作为一种拼图证法介绍。
（3）在一个图形上，局部去了的再在别的对应的地方补上，也叫移出移入法。
下图中，上面的图中有勾正方形、股正方形。虚线正方形是将要拼接结果（弦正方形）。下图中的下面的图表示了具体移出移入的过程。
（4）一个图形同时有以a、b、c为边的正方形，通过拼图来证明勾股定理。
这个图同时隐含着重叠的边长分别是a、b，c的正方形。可把这个图找到与它对应的全等的两个图，一个图上有边长是a、b的两个正方形，另一个图上有边长为c的正方形。然后比较这两个全等的图形，就得到的勾股定理的证明了。
有人或许说，用三角函数（如余弦定理）就能很快证明勾股定理，为什么不能不能算做一个证明方法？
回答：说到这个，得回到勾股定理与余弦定理的关系上来。因为勾股定理是余弦定理得以证明的前提。用余弦定理证明勾股定理是属于循环论证，这是严密逻辑推理的大忌。因此凡是用“余弦定理”或“用余弦的平方加正弦的平方的和等于一”的公式，都不会列入证明方法的统计之中。
4、毕达哥拉斯树
毕达哥拉斯树是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形，又因为重复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”。根据所做的三角形的形状不同，重复做这种三角形的毕达哥拉斯树的“枝干”茂密程度就不同。具体建立毕达哥拉斯树的过程见下图。
建立毕达哥拉斯树的过程
不对称毕达哥拉斯树
对称毕达哥拉斯树
彩色毕达哥拉斯树
勾股定理开创了数形结合的先河，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休。”数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的。
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