矩形作為特殊的平行四邊形,它除了具有一般平行四邊形的性質外,還因為它的角及對角線的特殊性,它還有特殊的性質。在學習矩形性質時,學生應掌握以下四點。
一、理解矩形定義。
定義:有一個角是直角的平行四邊是矩形。
該定義中有兩個關鍵詞:直角、平行四邊形
它包括兩層含義:一是平行四邊形+一個直角可得矩形。二是矩形是特殊的平行四邊形,且有一個角是90°。
矩形的定義既說明了什麼是矩形,也是判斷四邊形是否為矩形的一種方法。
例1、將矩形ABCD沿對角線BD摺疊,點C落在點E處,BE與AD交於點F,已知∠BDC=62°,則∠DFE的度數為( )
A,31° B,28° C,62° D,56°
分析:解決該題的關鍵詞語有兩個:①矩形,圖中有90°的角,有平行線。②摺疊,圖中有重合的角,即相等的角。
然後在圖中標出先後求出的角即可求解。
∴∠DFE為56°
二、掌握矩形的性質,並能利用矩形性質解決問題。
1、邊:對邊平行且相等(與平行四邊形相同)
2、角:四個角都是直角(與平行四邊形不同)
3、對角線:相等,且互相平分(平行四邊形只有互相平分),兩條對角線把矩形分成四個等腰三角形。
例1(中考,荊門)如圖,在矩形ABCD中,(AD>AB),點E是BC上一點,DE=DA,AF丄DE,垂足為點F,在下列結論中,不一定 正確的是( )
A△AFD≌△DCE,B,AF=1/2AD
C,AB=AF , D,BE=AD-DF
解:∵四邊形ABCD為矩形。
∴DA//BC,∠C=90°
∴∠ADF=∠DEC
∵AF丄DE
∴∠AFD=90°
∴∠AFD=∠C,又∵∠ADF=∠DEC,DE=DA
∴△AFD≌△DCE
由A正確可得C,D都正確。
而B不一定正確。因為當AF=1/2AD時,∠ADF應等於30°,當題中所給已知條件無法求出度數。
例2、如圖,E,F分別是矩形ABCD的對角線
AC和BD上的點,且AE=DF,求證BE=CF
分析:①當圖中有對角線時,要想到矩形的對角線相等且互相平分。②證明線段相等最常用的方法是證兩線段所在的兩個三角形全等。
證明:∵四邊形ABCD為矩形
∴OB=OC=OA=OD
∵AE=DF
∴OE=OF
在△BOE和△COF中
OE=OF,∠BOE=∠COF,OB=OC
∴△BOE≌△COF
∴BE=CF
三、掌握直角三角形斜邊上的中線性質定理,並能運用該定理求線段的長度。
直角三角形斜邊上的中線性質:直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。
該定理的根據:根據矩形的對角線相等且互相平分,將矩形沿對角線切去一半後,可得直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。
如圖:O為Rt△ABC斜邊AC的中點,則斜邊上的中線OB=1/2AC
例1、(2019,黃石)如圖,在△ABC中,∠B=50°,CD丄AB於點D,∠BCD和∠BDC的平分線相交於點E,F為邊AC的中點,CD=CF,
則∠ACD+∠CED=( )
A,125° B,145° C,175° D,190°
分析:①讀已知條件時把圖中能直接求出的角標出來,可得∠CED=115°
②題中△ADC為直角三角形,F為斜邊AC中點,連接DF,則可得DF=CF=CD,
從而得∠ACD=60°,
所以∠ACD+∠CED=60°+115°=175°。
例2、(中考,綿陽)如圖,平行四邊形ABCD的周長是26cm,對角線AC和BD交於點O,
AC丄AB,E是BC的中點,△AOD的周長比△AOB的周長多3cm,則AE的長度為( )
A,3cm B,4cm C,5cm D,8cm
分析:由平行四邊形ABCD的周長是26cm
可得AD+AB=13cm,且OB=OD
由△AOD的周長比△AOB的周長多3cm
可得(OA+AD+OD)-(OA+AB+OB)=3
即AD-AB=3,又因為AD+AB=13解方程組可得AD=BC=8cm,AB=5cm。
又因為E是Rt△ABC斜邊上的中點,所以
AE=1/2BC=1/2×8=4cm。
四、矩形性質在實際中的應用。
因為矩形中有直角,常與勾股定理相結合求線段的長度。
例1:如圖:將矩形ABCD沿直線AE摺疊,頂點D恰好落在BC邊上的F點處,已知CE=3cm,
AB=8cm,求圖中陰影部分的面積
分析:①先在圖中標出已知線段、能直接求出的線段和相等的線段。
②要求陰影面積需求BF長,設BF長為xcm,則AF=AD=BC=(x+4)cm,再由勾股定理即可求解。
解:∵四邊形ABCD為矩形,
∴AD=BC,AB=DC,∠B=∠C=90°
∵AB=8cm,CE=3Cm。
由題意可得DE=EF=5cm,AD=BC=AF。
在Rt△ECF中,EF=5,EC=3
∴FC=√(EF²-EC²)=√(5²-3²)=4
設BF長為xcm,則AF長為(x+4)cm
在Rt△ABF中,AB=8,BF=x,則AF=x+4
由勾股定理得AB²+BF²=AF²
即:8²+x²=(x+4)²
解得x=6
所以陰影部分面積=(8×6+3×4)÷2=30cm²
答:陰影部分面積為30cm²
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