難點之三：圓周運動的實例分析
一、難點形成的原因
1、對向心力和向心加速度的定義把握不牢固，解題時不能靈活的應用。
2、圓周運動線速度與角速度的關係及速度的合成與分解的綜合知識應用不熟練，只是瞭解大概，在解題過程中不能靈活應用；
3、圓周運動有一些要求思維長度較長的題目，受力分析不按照一定的步驟，漏掉重力或其它力，因為一點小失誤，導致全盤皆錯。
4、圓周運動的週期性把握不準。
5、缺少生活經驗，缺少仔細觀察事物的經歷，很多實例知道大概卻不能理解本質，更不能把物理知識與生活實例很好的聯繫起來。
二、難點突破
（1）勻速圓周運動與非勻速圓周運動
a.圓周運動是變速運動，因為物體的運動方向（即速度方向）在不斷變化。圓周運動也不可能是勻變速運動，因為即使是勻速圓周運動，其加速度方向也是時刻變化的。
b.最常見的圓周運動有：①天體（包括人造天體）在萬有引力作用下的運動；②核外電子在庫侖力作用下繞原子核的運動；③帶電粒子在垂直勻強磁場的平面裡在磁場力作用下的運動；④物體在各種外力（重力、彈力、摩擦力、電場力、磁場力等）作用下的圓周運動。
c.勻速圓周運動只是速度方向改變，而速度大小不變。做勻速圓周運動的物體，它所受的所有力的合力提供向心力，其方向一定指向圓心。非勻速圓周運動的物體所受的合外力沿著半徑指向圓心的分力，提供向心力，產生向心加速度；合外力沿切線方向的分力，產生切向加速度，其效果是改變速度的大小。
例1：如圖3-1所示，兩根輕繩同系一個質量m=0.1kg的小球，兩繩的另一端分別固定在軸上的A、B兩處，上面繩AC長L=2m，當兩繩都拉直時，與軸的夾角分別為30°和45°，求當小球隨軸一起在水平面內做勻速圓周運動角速度為ω=4rad/s時，上下兩輕繩拉力各為多少？
【審題】兩繩張緊時，小球受的力由0逐漸增大時，ω可能出現兩個臨界值。
【解析】如圖3-1所示，當BC剛好被拉直，但其拉力T2恰為零，設此時角速度為ω1，AC繩上拉力設為T1，對小球有：
①
②
代入數據得：
，
要使BC繩有拉力，應有ω>ω1，當AC繩恰被拉直，但其拉力T1恰為零，設此時角速度為ω2，BC繩拉力為T2，則有
③
T2sin45°=mLACsin30°④
代入數據得：ω2=3.16rad/s。要使AC繩有拉力，必須ωω2，故AC繩已無拉力，AC繩是松馳狀態，BC繩與杆的夾角θ>45°，對小球有：
T2cosθ=m ω2LBCsin θ ⑤
而LACsin30°=LBCsin45°
LBC=m ⑥
由⑤、⑥可解得
；
【總結】當物體做勻速圓周運動時，所受合外力一定指向圓心，在圓周的切線方向上和垂直圓周平面的方向上的合外力必然為零。
（2）同軸裝置與皮帶傳動裝置
在考查皮帶轉動現象的問題中，要注意以下兩點：
a、同一轉動軸上的各點角速度相等；
b、和同一皮帶接觸的各點線速度大小相等，這兩點往往是我們解決皮帶傳動的基本方法。
例2：如圖3-2所示為一皮帶傳動裝置，右輪的半徑為r，a是它邊緣上的一點，左側是一輪軸，大輪半徑為4r，小輪半徑為2r，b點在小輪上，到小輪中心距離為r，c點和d點分別位於小輪和大輪的邊緣上，若在傳動過程中，皮帶不打滑，則
A．a點與b點線速度大小相等
B．a點與c點角速度大小相等
C．a點與d點向心加速度大小相等
D．a、b、c、d四點，加速度最小的是b點
【審題】 分析本題的關鍵有兩點：其一是同一輪軸上的各點角速度相同；其二是皮帶不打滑時，與皮帶接觸的各點線速度大小相同。這兩點抓住了，然後再根據描述圓周運動的各物理量之間的關係就不難得出正確的結論。
【解析】由圖3-2可知，a點和c點是與皮帶接觸的兩個點，所以在傳動過程中二者的線速度大小相等，即va＝vc，又v＝ωR， 所以ωar＝ωc·2r，即ωa＝2ωc．而b、c、d三點在同一輪軸上，它們的角速度相等，則ωb＝ωc＝ωd＝ωa，所以選項Ｂ錯．又vb＝ωb·r＝ ωar＝，所以選項A也錯．向心加速度：aa＝ωa2r；ab＝ωb2·r＝（）2r＝ωa2r＝aa；ac＝ωc2·2r＝（ωa）2·2r＝ ωa2r＝aa；ad＝ωd2·4r＝（ωa）2·4r＝ωa2r＝aa．所以選項C、D均正確。
【總結】該題除了同軸角速度相等和同皮帶線速度大小相等的關係外，在皮帶傳動裝置中，從動輪的轉動是靜摩擦力作用的結果．從動輪受到的摩擦力帶動輪子轉動，故輪子受到的摩擦力方向沿從動輪的切線與輪的轉動方向相同；主動輪靠摩擦力帶動皮帶，故主動輪所受摩擦力方向沿輪的切線與輪的轉動方向相反。是不是所有
的題目都要是例1這種類型的呢？當然不是，當輪與輪之間不是依靠皮帶相連轉動，而是依靠摩擦力的作用或者是齒輪的齧合，如圖3-3所示，同樣符合例1的條件。
（3）向心力的來源
a．向心力是根據力的效果命名的．在分析做圓周運動的質點受力情況時，切記在物體的作用力（重力、彈力、摩擦力等）以外不要再添加一個向心力。
b．對於勻速圓周運動的問題，一般可按如下步驟進行分析：
①確定做勻速圓周運動的物體作為研究對象。
②明確運動情況，包括搞清運動速率v，軌跡半徑R及軌跡圓心O的位置等。只有明確了上述幾點後，才能知道運動物體在運動過程中所需的向心力大小( mv2/R )和向心力方向（指向圓心）。
③分析受力情況，對物體實際受力情況做出正確的分析，畫出受力圖，確定指向圓心的合外力F（即提供向心力）。
④選用公式F=m=mRω2=mR解得結果。
c．圓周運動中向心力的特點：
①勻速圓周運動：由於勻速圓周運動僅是速度方向變化而速度大小不變，故只存在向心加速度，物體受到外力的合力就是向心力。可見，合外力大小不變，方向始終與速度方向垂直且指向圓心，是物體做勻速圓周運動的條件。
②變速圓周運動：速度大小發生變化，向心加速度和向心力都會相應變化。求物體在某一點受到的向心力時，應使用該點的瞬時速度，在變速圓周運動中，合外力不僅大小隨時間改變，其方向也不沿半徑指向圓心。合外力沿半徑方向的分力（或所有外力沿半徑方向的分力的矢量和）提供向心力，使物體產生向心加速度，改變速度的方向；合外力沿軌道切線方向的分力，使物體產生切向加速度，改變速度的大小。
③當物體所受的合外力F小於所需要提供的向心力mv2/R時，物體做離心運動。
例3：如圖3-4所示，半徑為R的半球形碗內，有一個具有一定質量的物體A，A與碗壁間的動摩擦因數為μ，當碗繞豎直軸OO/勻速轉動時，物體A剛好能緊貼在碗口附近隨碗一起勻速轉動而不發生相對滑動，求碗轉動的角速度．
【審題】物體A隨碗一起轉動而不發生相對滑動，則物體做勻速圓周運動的角速度ω就等於碗轉動的角速度ω。物體A做勻速圓周運動所需的向心力方向指向球心O，故此向心力不是由重力而是由碗壁對物體的彈力提供，此時物體所受的摩擦力與重力平衡。
【解析】物體A做勻速圓周運動，向心力：
而摩擦力與重力平衡，則有：
即：
由以上兩式可得：
即碗勻速轉動的角速度為：
【總結】分析受力時一定要明確向心力的來源，即搞清楚什麼力充當向心力．本題還考查了摩擦力的有關知識：水平方向的彈力為提供摩擦力的正壓力，若在剛好緊貼碗口的基礎上，角速度再大，此後摩擦力為靜摩擦力，摩擦力大小不變，正壓力變大。
例4：如圖3-5所示，在電機距軸O為r處固定一質量為m的鐵塊．電機啟動後，鐵塊以角速度ω繞軸O勻速轉動．則電機對地面的最大壓力和最小壓力之差為__________。
【審題】鐵塊在豎直面內做勻速圓周運動，其向心力是重力mg與輪對它的力F的合力．由圓周運動的規律可知：當m轉到最低點時F最大，當m轉到最高點時F最小。
【解析】設鐵塊在最高點和最低點時，電機對其作用力分別為F1和F2，且都指向軸心，根據牛頓第二定律有：
在最高點：mg＋F1＝mω2r ①
在最低點：F2－mg＝mω2r ②
電機對地面的最大壓力和最小壓力分別出現在鐵塊m位於最低點和最高點時，且壓力差的大小為：ΔFN＝F2＋F1 ③
由①②③式可解得：ΔFN＝2mω2r
【總結】
（1）若m在最高點時突然與電機脫離，它將如何運動?
（2）當角速度ω為何值時，鐵塊在最高點與電機恰無作用力?
（3）本題也可認為是一電動打夯機的原理示意圖。若電機的質量為M，則ω多大時，電機可以“跳”起來?此情況下，對地面的最大壓力是多少?
解：（1）做初速度沿圓周切線方向，只受重力的平拋運動。
（2）電機對鐵塊無作用力時，重力提供鐵塊的向心力，則
mg＝mω12r
即 ω1＝
（3）鐵塊在最高點時，鐵塊與電動機的相互做用力大小為F1，則
F1＋mg＝mω22r
F1＝Mg
即當ω2≥時，電動機可以跳起來，當ω2＝時，鐵塊在最低點時電機對地面壓力最大，則
F2－mg＝mω22r
FN＝F2＋Mg
解得電機對地面的最大壓力為FN＝2（M＋m）g
（4）圓周運動的週期性
利用圓周運動的週期性把另一種運動（例如勻速直線運動、平拋運動）聯繫起來。圓周運動是一個獨立的運動，而另一個運動通常也是獨立的，分別明確兩個運動過程，注意用時間相等來聯繫。
在這類問題中，要注意尋找兩種運動之間的聯繫，往往是通過時間相等來建立聯繫的。同時，要注意圓周運動具有周期性，因此往往有多個答案。
例5：如圖3-6所示，半徑為R的圓盤繞垂直於盤面的中心軸勻速轉動，其正上方h處沿OB方向水平拋出一個小球，要使球與盤只碰一次，且落點為B，則小球的初速度v＝_________，圓盤轉動的角速度ω＝_________。
【審題】小球做的是平拋運動，在小球做平拋運動的這段時間內，圓盤做了一定角度的圓周運動。
【解析】①小球做平拋運動，在豎直方向上：
h＝gt2
則運動時間
t＝
又因為水平位移為R
所以球的速度
v＝＝R·
②在時間t內，盤轉過的角度θ＝n·2π，又因為θ＝ωt
則轉盤角速度：
ω＝＝2nπ(n＝1，2，3…)
【總結】上題中涉及圓周運動和平拋運動這兩種不同的運動，這兩種不同運動規律在解決同一問題時，常常用“時間”這一物理量把兩種運動聯繫起來。
例6：如圖3-7所示，小球Q在豎直平面內做勻速圓周運動，當Q球轉到圖示位置時，有另一小球P在距圓周最高點為h處開始自由下落.要使兩球在圓周最高點相碰，則Q球的角速度ω應滿足什麼條件？
【審題】下落的小球P做的是自由落體運動，小球Q做的是圓周運動，若要想碰，必須滿足時間相等這個條件。
【解析】設P球自由落體到圓周最高點的時間為t，由自由落體可得
gt2=h
求得t=
Q球由圖示位置轉至最高點的時間也是t，但做勻速圓周運動，週期為T，有
t=(4n+1)(n=0，1，2，3……)
兩式聯立再由T=得 (4n+1)=
所以ω=(4n+1) (n=0，1，2，3……)
【總結】由於圓周運動每個週期會重複經過同一個位置，故具有重複性。在做這類題目時，應該考慮圓周運動的週期性。
（5）豎直平面內圓周運動的臨界問題
圓周運動的臨界問題：
（1）如上圖3-8所示，沒有物體支撐的小球，在繩和軌道的約束下，在豎直平面做圓周運動過最高點的情況：
①臨界條件：繩子或軌道對小球沒有力的做用：mg＝mv臨界＝。
②能過最高點的條件：v≥，當v＞時，繩對球產生拉力，軌道對球產生壓力。
③不能過最高點的條件：v＜v臨界（實際上球還沒到最高點時就脫離了軌道）
（2）如圖3-9球過最高點時，輕質杆對球產生的彈力情況：
①當v＝0時，FN＝mg（FN為支持力）。
②當0＜v＜時，FN隨v增大而減小，且mg＞FN＞0，FN為支持力。
③當v＝時，FN＝0。
④當v＞時，FN為拉力，FN隨v的增大而增大。
如圖所示3-10的小球在軌道的最高點時，如果v≥此時將脫離軌道做平拋運動，因為軌道對小球不能產生拉力。
例7：半徑為R的光滑半圓球固定在水平面上，如圖3-11所示。頂部有一小物體甲，今給它一個水平初速度，則物體甲將（ ）
A．沿球面下滑至M點
B．先沿球面下滑至某點N，然後便離開球面作斜下拋運動
C．按半徑大於R的新的圓弧軌道作圓周運動
D．立即離開半圓球作平拋運動
【審題】物體在初始位置受豎直向下的重力，因為v0=，所以，球面支持力為零，又因為物體在豎直方向向下運動，所以運動速率將逐漸增大，若假設物體能夠沿球面或某一大於R的新的圓弧做圓周運動，則所需的向心力應不斷增大。而重力沿半徑方向的分力逐漸減少，對以上兩種情況又不能提供其他相應的指向圓心的力的作用，故不能提供不斷增大的向心力，所以不能維持圓周運動。
【解析】物體應該立即離開半圓球做平拋運動，故選D。
【總結】當物體到達最高點，速度等於時，半圓對物體的支持力等於零，所以接下來物體的運動不會沿著半圓面，而是做平拋運動。
（6）圓周運動的應用
a.定量分析火車轉彎的最佳情況。
①受力分析：如圖所示3-12火車受到的支持力和重力的合力水平指向圓心，成為使火車拐彎的向心力。
②動力學方程：根據牛頓第二定律得
mgtanθ＝m
其中r是轉彎處軌道的半徑，是使內外軌均不受側向力的最佳速度。
③分析結論：解上述方程可知
＝rgtanθ
可見，最佳情況是由、r、θ共同決定的。
當火車實際速度為v時，可有三種可能，
當v＝時，內外軌均不受側向擠壓的力；
當v＞時，外軌受到側向擠壓的力（這時向心力增大，外軌提供一部分力）；
當v＜時，內軌受到側向擠壓的力（這時向心力減少，內軌抵消一部分力）。
還有一些實例和這一模型相同，如自行車轉彎，高速公路上汽車轉彎等等
我們討論的火車轉彎問題，實質是物體在水平面的勻速圓周運動，從力的角度看其特點是：合外力的方向一定在水平方向上，由於重力方向在豎直方向，因此物體除了重力外，至少再受到一個力，才有可能使物體產生在水平面做勻速圓周運動的向心力．
實際在修築鐵路時，要根據轉彎處的半徑r和規定的行駛速度v0，適當選擇內外軌的高度差，使轉彎時所需的向心力完全由重力G和支持力FN的合力來提供，如上圖3-12所示.必須注意，雖然內外軌有一定的高度差，但火車仍在水平面內做圓周運動，因此向心力是沿水平方向的，而不是沿“斜面”向上，F=Gtgθ=mgtgθ，故mgtgθ=m。
b.汽車過拱橋
汽車靜止在橋頂與通過橋頂是否同種狀態？不是的，汽車靜止在橋頂、或通過橋頂，雖然都受到重力和支持力。但前者這兩個力的合力為零，後者合力不為零。
汽車過拱橋橋頂的向心力如何產生？方向如何？汽車在橋頂受到重力和支持力，如圖3-13所示，向心力由二者的合力提供，方向豎直向下。
運動有什麼特點？①動力學方程：
由牛頓第二定律
G－＝m
解得＝G－m-
②汽車處於失重狀態
汽車具有豎直向下的加速度，＜mg，對橋的壓力小於重力．這也是為什麼橋一般做成拱形的原因．
③汽車在橋頂運動的最大速度為
根據動力學方程可知，當汽車行駛速度越大，汽車和橋面的壓力越小，當汽車的速度為時，壓力為零，這是汽車保持在橋頂運動的最大速度，超過這個速度，汽車將飛出橋頂，做平拋運動。
另：
c．人騎自行車轉彎
由於速度較大，人、車要向圓心處傾斜，與豎直方向成φ角，如圖3-14所示，人、車的重力mg與地面的作用力F的合力作為向心力．地面的作用力是地面對人、車的支持力FN與地面的摩擦力的合力，實際上仍是地面的摩擦力作為向心力。
由圖知，F向=mgtanφ=m
2．圓錐擺
擺線張力與擺球重力的合力提供擺球做勻速圓周運動的向心力．如圖3-15所示，質量為m的小球用長為L的細線連接著，使小球在水平面內做勻速圓周運動．細線與豎直方向夾角為α，試分析其角速度ω的大小。
對小球而言，只受兩個力：重力mg和線的拉力T．這兩個力的合力mgtanα提供向心力，半徑r＝Lsinα，所以由F＝mrω2得，mgtanα＝mLsinα·ω2
整理得ω＝
可見，角速度越大，角α也越大。
3．雜技節目“水流星”
表演時，用一根繩子兩端各拴一個盛水的杯子，演員掄起杯子在豎直面內做圓周運動，在最高點杯口朝下，但水不會流下，如圖所示，這是為什麼？
分析：以杯中之水為研究對象進行受力分析，根據牛頓第二定律可知：F向＝m，此時重力G與FN的合力充當了向心力即F向＝G＋FN
故：G＋FN＝m
由上式可知v減小，F減小，當FN＝0時，v有最小值為。
討論：
①當mg＝m，即v＝時，水恰能過最高點不灑出，這就是水能過最高點的臨界條件；
②當mg＞m，即v＜時，水不能過最高點而不灑出；
③當mg＜m，即v＞時，水能過最高點不灑出，這時水的重力和杯對水的壓力提供向心力。
例8：繩繫著裝有水的水桶，在豎直面內做圓周運動，水的質量m＝0.5 kg，繩長L＝60 cm，求：
①最高點水不流出的最小速率。
②水在最高點速率v＝3 m/s時，水對桶底的壓力。
【審題】當v0=時，水恰好不流出，要求水對桶底的壓力和判斷是否能通過最高點，也要和這個速度v比較，v>v0時，有壓力；v=v0時，恰好無壓力；v≤v0時，不能到達最高點。
【解析】①水在最高點不流出的條件是重力不大於水做圓周運動所需要的向心力即mg＜，
則最小速度v0＝＝＝2.42 m/s。
②當水在最高點的速率大於v0時，只靠重力提供向心力已不足，此時水桶底對水有一向下的壓力，設為F，由牛頓第二定律
F＋mg＝m得：F＝2.6 N。
由牛頓第三定律知，水對水桶的作用力F′＝－F＝－2.6 N，即方向豎直向上。
【總結】當速度大於臨界速率時，重力已不足以提供向心力，所缺部分由桶底提供，因此桶底對水產生向下的壓力。
例2：汽車質量m為1.5×104 kg，以不變的速率先後駛過凹形路面和凸形路面，路面圓弧半徑均為15 m，如圖3-17所示．如果路面承受的最大壓力不得超過2×105 N，汽車允許的最大速率是多少？汽車以此速率駛過路面的最小壓力是多少？
【審題】首先要確定汽車在何位置時對路面的壓力最大，汽車經過凹形路面時，向心加速度方向向上，汽車處於超重狀態；經過凸形路面時，向心加速度向下，汽車處於失重狀態，所以汽車經過凹形路面最低點時，汽車對路面的壓力最大。
【解析】當汽車經過凹形路面最低點時，設路面支持力為FN1，受力情況如圖3-18所示，由牛頓第二定律，
有FN1－mg＝m
要求FN1≤2×105 N
解得允許的最大速率vm＝7.07 m/s
由上面分析知，汽車經過凸形路面頂點時對路面壓力最小，設為FN2，如圖3-19所示，由牛頓第二定律有
mg－FN2＝
解得FN2＝1×105 N。
【總結】汽車過拱橋時，一定要按照實際情況受力分析，沿加速度方向列式。
（7）離心運動
離心現象條件分析
①做圓周運動的物體，由於本身具有慣性，總是想沿著切線方向運動，只是由於向心力作用，使它不能沿切線方向飛出，而被限制著沿圓周運動，如圖3-20中B所示。
②當產生向心力的合外力消失，F＝0，物體便沿所在位置的切線方向飛出去，如圖3-20中A所示。
③當提供向心力的合外力不完全消失，而只是小於應當具有的向心力，，即合外力不足以提供所需的向心力的情況下，物體沿切線與圓周之間的一條曲線運動，如圖3-20所示。
圖3-20
在實際中，有一些利用離心運動的機械，這些機械叫做離心機械。離心機械的種類很多，應用也很廣。例如，離心乾燥（脫水）器，離心分離器，離心水泵。
例9：一把雨傘邊緣的半徑為r，且高出水平地面h．當雨傘以角速度ω旋轉時，雨滴自邊緣甩出落在地面上成一個大圓周．這個大圓的半徑為_______。
【審題】想象著實際情況，當以一定速度旋轉雨傘時，雨滴甩出做離心運動，落在地上，形成一個大圓。
【解析】雨滴離開雨傘的速度為v0＝ωr
雨滴做平拋運動的時間為t＝
雨滴的水平位移為s＝v0t＝ωr
雨滴落在地上形成的大圓的半徑為
R＝
【總結】通過題目的分析，雨滴從傘邊緣沿切線方向，以一定的初速度飛出，豎直方向上是自由落體運動，雨滴做的是平拋運動，把示意圖畫出來，通過示意圖就可以求出大圓半徑。
（8）難點突破⑧——圓周運動的功和能
應用圓周運動的規律解決實際生活中的問題，由於較多知識交織在一起，所以分析問題時利用能量守恆定律和機械能守恆定律的特點作為解題的切入點，可能大大降低難度。
例9：使一小球沿半徑為R的圓形軌道從最低點上升，那麼需給它最小速度為多大時，才能使它達到軌道的最高點？
【審題】小球到達最高點A時的速度vA不能為零，否則小球早在到達A點之前就離開了圓形軌道。要使小球到達A點（自然不脫離圓形軌道），則小球在A點的速度必須滿足
Mg+NA=m，式中，NA為圓形軌道對小球的彈力。上式表示小球在A點作圓周運動所需要的向心力由軌道對它的彈力和它本身的重力共同提供。當NA=0時，vA最小，vA=。這就是說，要使小球到達A點，則應該使小球在A點具有的速度vA≥。
【解析】以小球為研究對象。小球在軌道最高點時，受重力和軌道給的彈力。
小球在圓形軌道最高點A時滿足方程
根據機械能守恆，小球在圓形軌道最低點B時的速度滿足方程
（2）
解(1)，(2)方程組得
當NA=0時，VB=為最小，VB=
所以在B點應使小球至少具有VB=的速度，才能使它到達圓形軌道的最高點A。
【總結】在杆和管子的約束下做圓周運動時，可以有拉力和支持力，所以在最高點的速度可以等於零；在圓軌道和繩子的約束下做圓周運動時，只能有拉力，所以在最高點的速度必須大於。
（9）實驗中常見的圓周運動
綜合題往往以圓周運動和其他物理知識為背景，這類題代表了理科綜合命題方向，要在平日的做題中理解題目的原理，靈活的把握題目。
例10： 圖3-22甲所示為測量電動機轉動角速度的實驗裝置，半徑不大的圓形卡紙固定在電動機轉軸上，在電動機的帶動下勻速轉動．在圓形卡紙的旁邊垂直安裝一個改裝了的電火花計時器。
①請將下列實驗步驟按先後排序： ．
A．使電火花計時器與圓形卡紙保持良好接觸
B．接通電火花計時器的電源，使它工作起來
C．啟動電動機，使圓形卡紙轉動起來
D．關閉電動機，拆除電火花計時器；研究卡紙上留下的一段痕跡（如圖3-22乙所示），寫出角速度ω的表達式，代入數據，得出ω的測量值
②要得到ω的測量值，還缺少一種必要的測量工具，它是 ．
A．秒錶 B．毫米刻度尺 C．圓規 D．量角器
③寫出角速度ω的表達式，並指出表達式中各個物理量的意義：
．
④為了避免在卡紙連續轉動的過程中出現打點重疊，在電火花計時器與盤面保持良好接觸的同時，可以緩慢地將電火花計時器沿圓形卡紙半徑方向向卡紙中心移動．則卡紙上打下的點的分佈曲線不是一個圓，而是類似一種螺旋線，如圖3-22丙所示．這對測量結果有影響嗎？
【審題】因為這個題目用的是打點計時器，所以兩點之間的時間是0.02s，通過量角器量出圓心到兩點之間的角度，利用ω=θ/t。
【解析】具體的實驗步驟應該是A、C、B、D，量出角度應該用量角器D，，θ為ｎ個點對應的圓心角，ｔ為時間間隔；應該注意的一個問題是不能轉動一圈以上，因為點跡重合，當半徑減小時，因為單位時間內轉過的角度不變，所以沒有影響。
【總結】本題考查的是圓周運動中角速度的定義，ω=θ/t，實驗中θ是用量角器測量出來的，時間t的測量用的是打點計時器，應該充分發揮想象，不是打點計時器只能測量直線運動。
