今天給大家分享的是2019年海州區校及期末第26題，主要考察一次函數綜合題及圖形的翻折變換，有一定的難度，想要培優的同學可以嘗試一下。
【例題】
26.如圖，將一張邊長為8的正方形紙片OABC放在直角座標系中，使得OA與y軸重合，OC與x軸重合，點P為正方形AB邊上的一點（不與點A、點B重合）．將正方形紙片摺疊，使點O落在P處，點C落在G處，PG交BC於H，摺痕為EF．連接OP、OH．
初步探究
（1）當AP＝4時
①直接寫出點E的座標 ；
②求直線EF的函數表達式．
深入探究
（2）當點P在邊AB上移動時，∠APO與∠OPH的度數總是相等，請說明理由．
拓展應用
（3）當點P在邊AB上移動時，△PBH的周長是否發生變化？並證明你的結論．
圖1
【涉及考點】一次函數綜合題．
【專題】代數幾何綜合題；圖形的全等；
【解題分析】
（1）①設：OE＝PE＝a，則AE＝8﹣a，AP＝4，在Rt△AEP中，由勾股定理得：PE2＝AE2+AP2，即可求解；
②證明△AOP≌△FRE（AAS），則ER＝AP＝4，所以點F（8，1），就可以求出相應解析式；
（2）∠EOP＝∠EPO，而∠EPH＝∠EOC＝90°，故∠EPH﹣∠EPO＝∠EOC﹣∠EOP，即∠POC＝∠OPH，又因為AB∥OC，所以∠APO＝∠POC，就可以解決；
（3）證明△AOP≌△QOP（AAS）、△OCH≌△OQH（SAS），那麼CH＝QH，就可以解決．
【詳細解題過程】
解：（1）①設：OE＝PE＝a，則AE＝8﹣a，AP＝4，
在Rt△AEP中，由勾股定理得：PE2＝AE2+AP2，
即a2＝（8﹣a）2+16，解得：a＝5，
故點E（0，5），
所以答案為：（0，5）；
②過點F作FR⊥y軸於點R，
圖2
摺疊後點O落在P處，則點O、P關於直線EF對稱，則OP⊥EF，
∴∠EFR+∠FER＝90°，而∠FER+∠AOP＝90°，∴∠AOP＝∠EFR，
而∠OAP＝∠FRE，RF＝AO，
∴△AOP≌△FRE（AAS），
∴ER＝AP＝4，
OR＝EO﹣OR＝5﹣4＝1，所以點F（8，1），
將點E、F的座標代入一次函數表達式：y＝kx+b得：1=8k+b，b=5，解得：k=-1/2，b=5
所以EF的表達式為：y＝﹣x+5；
（2）證明：∵PE＝OE，
∴∠EOP＝∠EPO．
又∵∠EPH＝∠EOC＝90°，
∴∠EPH﹣∠EPO＝∠EOC﹣∠EOP．
即∠POC＝∠OPH．
又∵AB∥OC，
∴∠APO＝∠POC．
∴∠APO＝∠OPH；
（3）解：如圖，過O作OQ⊥PH，垂足為Q．
圖3
由（1）知∠APO＝∠OPH，
在△AOP和△QOP中，
∠APO＝∠OPH，∠A＝∠OQP，OP＝OP，
∴△AOP≌△QOP（AAS）．
∴AP＝QP，AO＝OQ．
又∵AO＝OC，
∴OC＝OQ．
又∵∠C＝∠OQH＝90°，OH＝OH，
∴△OCH≌△OQH（SAS）．
∴CH＝QH．
∴△PHB的周長＝PB+BH+PH＝AP+PB+BH+HC＝AB+CB＝16；
所以答案為：16．
【總結】
這道題主要考查了翻折變換的性質、正方形的性質以及全等三角形的判定與性質和勾股定理等知識，熟練利用全等三角形的判定得出對應相等關係解決這道題目的關鍵．
圖4
