在高等數學、數學分析課程學習中，極限既是整個課程內容的基礎，也是求解問題，構建數學模型重要的工具，當然也是課程相關內容考試的重點、難點、必考點！
那麼，在探索極限計算的過程中，如何知道咱們的思路探索的方向是正確的，過程、步驟是否是正確、有效的呢？又如何檢驗咱們極限計算得到的結果是正確的呢？
本文介紹兩個相對直觀的實現方法，其描述形式與咱們日常課程中學到的描述類似，簡單、直觀，有效，而且還可以對含有參數的極限對參數進行討論，對抽象函數極限的計算也能給出正確的結果，同樣對於多元函數也能計算多重極限並討論極限的存在性。
文章包含三個主題：
- 極限計算網頁或手機APP版WolframAlpha
在打開的網頁中實現一元函數、數列和多重極限的計算與極限存在性的判定，該方法也適用於手機WolframAlpha APP，APP程序可以在咱號配套的QQ群文件分享裡下載，也可以自行百度搜索下載！
- 電腦版數學軟件Mathematica
電腦數學軟件Mathematica中實現函數、數列極限的計算方法、選項設置實例演示。
- 二重極限不存在判定實例演示
【注】 基本運算符：Mathematica中的直接代碼輸入的運算符和C語言基本一致，分別為加法（+），減法（-），乘法（*，或空格），除法（/），乘方（^，【Shift】鍵+【6】輸入）。Mathematica中的表達式都是在半角英文狀態下輸入！
一、極限計算網頁或手機APP版：WolframAlpha
這個方法是藉助於Wolfram公司開發的計算搜索引擎WolframAlpha來實現極限的計算，具體操作步驟與實例如下。
打開瀏覽器，輸入網址：
http://www.wolframalpha.com
打開的WolframAlpha知識計算引擎頁面就一個搜索編輯框（或手機WolframAlpha APP），如下圖所示。
在搜索編輯框中直接以自然語言方式輸入需要計算的極限，點擊右邊的等號按鈕，或者直接按下回車鍵，執行計算，得到結果。注意，不要管語法，只要能夠表達涵義，既使有個別錯誤都沒關係，一般它都會自動糾正得到可能正確的結果。當然能夠描述準確更好，尤其是層次關係要用括號描述清楚，不然容易混淆，得不到理想的結果！
例1：計算函數極限
在上圖中的藍色框住的文本編輯框中輸入：
<code>limit (sqrt(1+x)+sqrt(1-x)-2)/(x^2) as x->0/<code>
按下回車，或者點編輯框右邊的等號鍵，則自動開始計算。計算後得到不僅得到極限結果，還會顯示極限式中函數的圖形，在下面還給出函數帶皮亞諾餘項的泰勒公式。如上圖所示。
例2：計算函數的單側極限
在搜索文本編輯框中輸入：
<code>limit e^(1/(1-x)) as x->1+/<code>
按下回車，或者點編輯框右邊的等號鍵，則自動開始計算。計算後的結果如下圖。不僅給出了右極限，同時在下面也給出了左極限，根據下面給出的函數圖形還可以直觀考察函數圖形的變化性態。
例3 ：計算抽象函數極限
在搜索文本編輯框中輸入：
<code>lim (f(x+h) - f(x) ) / h as h->0/<code>
按下回車，或者點編輯框右邊的等號鍵，則自動開始計算。計算後的結果顯示為f'(x).
例4：計算數列的極限
在搜索文本編輯框中輸入：
<code>limit (sum 1/(3k-2)+1/(3k-1)-2/(3k) from 1 to n) as n->infinity/<code>
按下回車，或者點編輯框右邊的等號鍵，則自動開始計算。計算後的結果如下圖。
這個結果比直接在數學軟件裡面計算顯示的結果更理想！參考以上實例，只要咱們的極限式不需要設置、討論更復雜的參數，一般都可以正確得到結果。
例5：計算二重極限
(1) 在搜索文本編輯框中輸入：
<code>limit ln(x+e^y)/sqrt(x^2+y^2) as (x,y)->(1,0)/<code>
按下回車，或者點編輯框右邊的等號鍵，則自動開始計算。計算後的結果如下圖，顯示極限結果為ln2。
(2) 在搜索文本編輯框中輸入：
<code>limit x y/(x^2+y^2) as (x,y)->(0,0)/<code>
按下回車，或者點編輯框右邊的等號鍵，則自動開始計算。計算後的結果如下圖。顯示計算結果為極限不存在，極限與路徑是相關的。
二、電腦版數學軟件Mathematica
直接在數學軟件Mathematica環境中計算與驗證極限。基本命令及使用格式：一元函數的極限：
<code>Limit[f[x],x->x0]/<code>
多重極限：
<code>Limit[f[x1,x2,…,xn],{ x1,x2,…,xn }->{ x10,x20,…,xn0}]/<code>注意Limit第一個字母必須大寫。用於求自變量x趨於x0的函數f[x]的極限，函數表達式中的其他符號為常數，其中變化過程可以設置為固定的值x0，也可以直接輸入+Infinity，正號可以省略，或-Infinity，其中Infinity也可以直接用快捷鍵輸入為無窮大符號 ，快捷鍵輸入方式兩種，一種是【Esc】inf【Esc】，一種是“\[Infinity]”。以上計算如果x趨於正無窮大也表示數列求極限。
可以設置的選項設置主要包括三個選項，分別為
- Direction：默認求雙側極限，可以更改它的值可以取為+1或-1，其中取為+則表示自變量增大的方向，所以取左極限，可以用參數值“"FromBelow"”(注意是英文狀態下的雙引號括起來的參數)代替；取-1表示自變量減小的方向變化，所以計算得到右極限，可以用參數值“"FromAbove"”代替。
- Assumptions：用來設置假設選項，即如果函數表達式中包含有參數時，設定參數所滿足的條件來執行極限計算。
- Analytic：以解析形式計算函數的極限，對於用抽象函數求極限。默認情況下不以解析形式計算極限，即該參數的值為False，則對於抽象函數的極限可能不會執行計算，而我們自己以傳統方式計算的話是可以求極限的，因此我們可能需要將其參數值設置為True。
【注】 如果計算結果顯示為Indeterminate，則表示不存在，如果計算後顯示的極限式，沒有極限值結果，則表示Mathematica計算不出來。畢竟軟件不是萬能的，對於有些極限式可能我們需要將計算式進行適當變換後才執行計算。
例1 計算以下7個極限：
在Mathematica中一次性輸入如下表達式，回車換行
按下電腦鍵盤主鍵盤區的【Shift】+【Enter】執行計算即可得到以上積分的結果。在Mathematica筆記本中顯示更直觀的輸入和結果如下圖。
【注】 以上輸入的表達式可以直接輸入到WolframAlpha知識計算引擎的搜索編輯框執行計算，得到的結果一樣，當然會附帶其他一些擴展性的結果。
例2 極限函數的極限
在Mathematica中輸入如下表達式並執行，得到極限值為2.
Mathematica中對應的文本輸入表達式為
<code>Limit[1/Sqrt[n] Integrate[Log[1+1/Sqrt[x]],{x,1,n}],n->Infinity]/<code>可以直接複製到Mathematica中執行得到結果。
例3：計算數列的極限
在Mathematica中輸入的表達式及計算結果顯示如下圖：
直接計算的結果為特殊函數描述的數值，為了轉換為常見函數描述的表達式並化簡結果，第二次輸入的後面加上了兩個函數，一個是FunctionExpand，將複雜表達式儘可能展開為簡單函數描述，Simplify的作用則是化簡計算結果，最終得到的結果才是之前WolframAlpha直接計算的結果ln3。
以上輸入在一定程度上還不夠貼近咱們的教材極限描述形式，藉助快捷輸入方式，咱也可以讓Mathematica中的極限式描述基本和教材完全一致。下面用文字描述說明最後一個極限式（如下為最終效果）描述的輸入過程：
按一下【Esc】鍵，輸入lim，再按一下【Esc】鍵，則輸入極限符號lim，然後按下【Ctrl】鍵不放，再按一下【4】，在lim下方創建一個輸入佔位符，輸入n->，按一下【Esc】鍵，輸入inf, 再按一下【Esc】鍵，輸入無窮大符號，按一下向右的箭頭鍵，將輸入位置移動到求極限符號的右邊，然後【Esc】鍵，輸入sumt，再按一下【Esc】鍵，輸入求和符號，用鼠標左鍵點擊各佔位符，或者按【Tab】鍵切換佔位符位置，在下面的兩個佔位符分別輸入k和1，在上面的佔位符輸入n，在右邊的佔位符中輸入()，然後在括號中輸入1，按下【Ctrl】不放，再按【/】，創建分式，1自動設置為分子，在分母中輸入3k-2，按一下向右箭頭，切換輸入位置，輸入+1，按下【Ctrl】不放，再按【/】，輸入3k-1，按一下向右箭頭，切換輸入位置，輸入-2，按下【Ctrl】不放，再按【/】，輸入3k，輸入完成後，按下主鍵盤區的【Shift】不放，按一下【Enter】，或者直接按一下小鍵盤區的【Enter】，執行即得到上面的結果，顯示效果如上。其中第二行的%為引用上一行的計算結果，然後執行簡化計算。
三、用數學軟件判定二重極限存在性實例演示
下面在Mathematica中演示判定二重極限的不存方法。
例 判斷以下函數當(x,y)趨於原點時二重極限的存在性.
【方法一】：直接判定。輸入的Mathematica表達式及執行結果如下：
第一行為定義函數，結果顯示為Indeterminate，極限不存在。
【方法二】：特殊路徑判定。分別選取, 計算極限，Mathematica表達式及計算結果為
具有不同極限，所以極限不存在。
【方法三】：由極座標方法。在Mathematica表達式及計算結果為
注意，求極限得加上條件選項GenerateConditions，並設置為True，這樣就將參數的所有不同取值都考慮到來計算極限，否則以上極限值計算得到為0，是不完整的結果。
更多操作與示例可以參見Mathematica的Limit幫助相應的主題，歡迎Mathematica愛好者投稿交流軟件使用和應用心得體會與分享使用經驗與應用案例。投稿是否採用一般一週內給予回覆，也可以通過郵箱或微信查詢！
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