連續複利法錯誤漫談十八篇(續二)---連續複利收益率，”連續複利”+”收益率”，從來沒弄懂其確切含義的概念
1 連續複利收益率是什麼?
連續複利是由兩個詞加成的，是在”複利”前面加了”連續”兩個字。在中文裡，連續複利收益率（Continuously compounded rate of return）是由兩個詞或者說是由三個詞加起來的，即”連續複利”+”收益率”或者”連續”+”複利”+”收益率”。
關於收益率，是上過小學的人都知道的概念，就是經過時間T後的值A(T)減初值A。之差與初值A。的比。張家投資100萬經營商店，一年後成了200萬，這投資的年收益率是100%；從另一方面說，張家投資100萬經營商店，這投資的年收益率是100%，一年後就成了200萬。這是上過小學的人都會計算的。這裡強調一下，計算一年的收益率，是計算一年的總收入，不涉及，也不用考慮具體哪幾個月是賠還是賺的問題。
計算收益率問題為什麼還要加上”連續複利”，對此有沒有怪怪的感覺?
對這為什麼，可以說，從來就沒有搞清楚。計算收益問題與計算利息的問題一樣，與計算資金增值問題一樣，這當就是構成”連續複利”+”收益率”的一個原因。
2 所謂的連續複利模型是錯誤的
連續複利模型構成的思路是:年利率是100%，經過1年，100元就成為200元；每年計算一次利息，半年的利率取為100/2=50%，按複利一年計算兩次，一年後本利和就是100(1+100/2)^2=225元；按此方法，一個月計算一次，月利息取成100%/12，一年後本利和就是261.3元；這樣一天計算一次，一年後的本利和就是271.64元；如果每秒，再短的時間計算一次 實現”立即存入，立即結算”，一年後的本利和就是271.83元。
用這種方法計算利息，借款一方是絕對不會同意的，這種計算利息的方法根本不存在。把這種方法用公式表示就是: 根據複利公式A。(1+r)^t (1)，將一年分成m次計算，每次利率取為r/m,這樣一年計算m次 ,t年計算mt次，就得複利分期計算公式A。(1+r/m)^(mt) (2) ，令m趨於無窮大，得到所謂連續複利計算公式A。e^(rt) (3)。
對於年利率r=100%，從(1)式和(2)式推導出(3)式，就是根據A。(1+100%)^t推導出A。e^(tx100%)=A。(1+171.28%)^t，比較一下式子結構，就是根據100%推導出了171.28%，這是用世界上任何知識都推不成的。
前面第三篇到第八篇從六個方面分析了這種計算方法的錯誤，這裡概說一點。錯誤的關鍵點是，(1)式(2)式和(3)式中的r是同一個數值 ，(2)是單調遞增函數，無論在銀行儲蓄中還是在其它任何領域，世界上沒有能利用(2)式靠增加計算次數就使事物數量變大變多的事物。
3 應用中構成指數函數A。e^(rt) 的三種方法
指數函數A。e^(rt)(3)有不同於(1)的用處，通常書中A。e^(rt)可由三種方法得出。
方法一，如上節 用(1)式A。(1+r)^t 推導出了(3)式A。e^(rt).
方法二，將(1)式變形得數學恆等式
A。(1+R)^t =A。e^(txln(1+R))=A。e^(rt)(4)
在計算複利時，其中的R為普通複利率，R的含義等同於(1)式中的r，這裡r=ln(1+R).
這裡的推導與方法一是兩回事。
再有就是，恆等式(4)兩端相同的字母含義必須是一致的，兩端的字母、時間變量或都只取整數，或都可取非整數。時間變量的取值範圍是根據事物需要、或由事物屬性決定的，不是由數學推導決定的。比如，某校今年招生10000人，今後每年招生增加10%，計算今後幾年的招生人數同樣可有恆等式10000(1+10%)^t =10000e^(0.9531t) ，時間變量只取整數。由此又可看到，從(1)到(3)的推導，從t的取值範圍上就是不成立的。
方法三，許多事物如細胞繁殖、樹木生長、鐳的衰變以及資金增值等事物的變化規律符合方程 (dA(t)/dt)/A(t)=r, A(0)=A。 (5)
解這方程得A。e^(rt).
4 在糊塗的錯誤思維中形成的概念---連續複利率
用複利公式A。(1+r)^t (1)式推導出了A。e^(rt)(3)式， (1)式中的r為普通利率(普通收益率)，於是就 稱A。e^(rt)中的r為連續複利率(Continuous compound interest rate)，也就稱由方法二得到的A。e^(rt)式子中的r為連續複利率 ；還有的書，如Bittinger M L編寫的《微積分及其應用》(第8版，中文譯本，2006年機械工業出版社出版)中混用參數r的含義，對同一r用這裡的方法一和方法二得出A。e^(rt)。連續複利率概念就是在這樣錯誤、混亂思維下形成的。
在這個問題上，國內外的書籍一樣，在講連續複利模型後，絕大多數書中是把普通複利率r當作連續複利率r使用，這就形成計算方法上的錯誤，對此，這裡不再舉例；少數書中先講連續複利模型，在後邊計算中改正了這一錯誤，但仍使用”連續複利率”這一概念，如英國人編寫的《核心金融概念：100條金融術語解讀與應用》就是這樣講這樣用的，前邊講連續複利模型，後邊在計算中應用的是方法二的推導，這就否定了方法一連續複利模型的推導，但又使用了這種模型基礎上形成的概念(連續複利率)，總之，也沒有能完全跳出連續複利模型的錯誤思維。
總之，構成連續複利率的基礎是錯誤的，對於這概念的數值使用是矛盾的，這概念的含義也是模糊的。
5 在糊塗的錯誤思維中形成的概念---連續複利收益率
收入率問題的計算類似複利問題的計算，於是就湊成了”連續複利”+”收益率”，形成了連續複利收益率這一概念。
一般來講，投資收益被認為是呈指數函數A。(1+R)^t =A。e^(rt)規律增值的，收益情況由參數R或r表達，除時間變量外，其它都是常數。對於未來的股票、期貨投資，其收益是隨機的，實際收益率是隨機的，不符合正態分佈，轉換成ln(1+隨機收益率)為正態分佈，用統一的概念才能計算，在相關應用中，用到的無風險利率R也必須做同樣的轉換，也是將複利公式A。(1+R)^t 轉換成A。e^(rt)，這種轉換與所謂的連續複利計算沒有任何關係，認識不到這一點就跳不出所謂連續複利計算的思維。
下邊是《百度百科》上關於連續複利收益率解釋的截圖。其中的數量關係是對的，就是上邊講的構成A。e^(rt)的方法二。
這解釋中的證明思路仍沒有跳出連續複利模型的錯誤，所以就有了解釋”以連續複利生息”。
構成A。e^(rt)方法三是，函數的變化率除以函數自身，得到的r是數量1的變化率，這是一很有意義的參數。可見《今日頭條》上的文章《連續複利錯誤漫談十八篇》第十四篇或中國知網上的文章《連續複利收益率探源》。
表達汽車勻速運動的公式是vt，即時速度是隨機的，期望值為v，時段[0，t]上的路程也是隨機的，期望值為vt.
對隨機收入表達式A。e^(rt)中的指數rt ，可類同於勻速運動中的公式vt理解，其概率分佈的正態性也當一樣，不再贅述。
有些書中是以取對數做差分定義連續複利收益率，從數學構成和應用上，這定義沒有問題，與本篇中講的構成A。e^(rt)方法二一致，用了連續複利收益率概念，實際與連續複利模型無關，這裡也不再詳述。
