圓是高中範圍內接觸最早的二次曲線。在高考範圍內，做圓相關的解析幾何題很少用到聯立求解等複雜的代數運算，通常通過數形結合即可解決問題，比如可行域等圓的最值問題，可參考《【代數思維繫列】圓的最值問題》。
由於圓具有很多好用的幾何性質，接下來我們通過圓的解析幾何方法來推導一些關於圓的結論。
曲線系--一個神奇的解析幾何工具
曲線系（也稱：曲線簇、曲線束）是指具有某種共同性質的曲線的集合。比如：
y-1=k(x-2)，表示恆過(2,1)，斜率任意的直線系；
y=2x+b，表示斜率為2，截距任意的平行直線系；
(x-1)²+(y-2)²=r²，表示圓心為(1,2)，半徑任意的同心圓系；
(x-a)²+(y-2a)²=a²，表示圓心在y=2x直線上，且與y軸相切的圓系……
等等。
類似橢圓、雙曲線、拋物線等也可以寫出很多曲線系，都可以運用於解決實際問題。
圓系的運算
曲線系運算有多種組合，在這裡我們只討論線性組合。
設圓C1：x²+y²+D1x+E1y+F1=0；圓C2：x²+y²+D2x+E2y+F2=0
則這兩個圓的線性組合為k1C1+k2C2=0，設組合後的曲線為C3。
- 當k1+k2≠0時
顯然由於C3的x²項和y²項的係數相等，故C3也是圓（特殊情況下C3只表示一個點，或不存在）
1.如果兩個圓有兩個交點，A（x1,y1）、B（x2,y2），則
（1）因為A、B兩點座標代入k1C1+k2C2=0，也能使等式成立，故C3同樣過A、B兩點。
（2）C3圓心在C1和C2圓心的連線上，特別的，當k1=k2時，C3圓心在C1和C2圓心的中點。
2.如果兩個圓相切與點A（x1,y1），則
（1）因為A點代入k1C1+k2C2=0，也能使等式成立，故C3同樣過A點。
（2）C3圓心在C1和C2圓心的連線上，特別的，當k1=k2時，C3圓心在C1和C2圓心的中點。
（3）因為C1、C2、C3的圓心與點A都在同一條直線上，故C1、C2、C3都相切於點A，特別的，當C3圓心位於A點時，C3僅表示一個點。
3．如果兩個圓沒有交點，則C3有可能不存在，暫不討論。如果存在，其圓心也在C1和C2圓心的連線上。
- 當k1+k2=0時
則C3表示一條直線，且C3是圓C1和圓C2的根軸，滿足等冪性。
1.當兩個圓有兩個交點時，C3為兩個圓的公共弦所在直線。
2.當兩個圓相切時，C3為共兩個圓切點的公切線。
3.特別的，因為同心圓沒有根軸，顯然，當C1和C2為同心圓時，C3也不存在。
利用圓系推導對稱點公式
圓系應用很多，在此不再祥舉。接下來嘗試利用圓系的運算推導對稱點公式。
我們知道，當圓的方程：(x-a)²+(y-b)²=r²中，r=0時，該方程僅表示點（a,b），且當兩圓半徑相同時，其根軸即為兩圓圓心連線的中垂線。利用該性質，則：
①式減②式，即為兩點對稱軸。
相減後方程為：
顯然，上述方程即為Ax+By+C=0
於是有 ：
這個方程組有兩個未知數（x2和y2）和三個方程，該方程組很可能無解。但已知定點關於定直線的對稱點一定存在，那麼問題出在哪呢？
問題出在：Ax+By+C=0與Akx+Bky+Ck=0，表示的是同一條直線，即我們忽略了參數k的存在。於是上述方程組應改寫為：
由④、⑤得：
將⑦、⑧代入⑥式，解得：
將⑨式代入⑦、⑧，即有：
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