【例题】
24.如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作切线DE的垂线，垂足为D，且与⊙O交于点F，设∠DAC，∠CEA的度数分别是α，β．
（1）用含α的代数式表示β，并直接写出α的取值范围；
（2）连接OF与AC交于点O′，当点O′是AC的中点时，求α，β的值．
图1
【涉及考点】切线的性质．
【解题分析】
（1）首先证明∠DAE＝2α，在Rt△ADE中，根据两锐角互余，可知2α+β＝90°，（0°＜α＜45°）；
（2）连接OF交AC于O′，连接CF．只要证明四边形AFCO是菱形，推出△AFO是等边三角形即可解决问题；
【详细解答过程】
解：（1）连接OC．
∵DE是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴AD∥OC，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠DAE＝2α，
∵∠D＝90°，
∴∠DAE+∠E＝90°，
∴2α+β＝90°（0°＜α＜45°）．
（2）连接OF交AC于O′，连接CF．
∵AO′＝CO′，
∴AC⊥OF，
∴FA＝FC，
∴∠FAC＝∠FCA＝∠CAO，
∴CF∥OA，∵AF∥OC，
∴四边形AFCO是平行四边形，
∵OA＝OC，
∴四边形AFCO是菱形，
∴AF＝AO＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠FAO＝2α＝60°，
∴α＝30°，
∵2α+β＝90°，
∴β＝30°，
∴α＝β＝30°．
图2
【总结】
这道题考查切线的性质、垂径定理、菱形的判定．等边三角形的判定和性质等知识，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型之一．
图3
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