引言
通常，資產定價模型有兩種檢驗方式，一種是Fama和MacBeth(1973)的橫截面迴歸方法，一種是以Gibbons、Ross和Shanken(1989)的GRS檢驗為中心的時間序列迴歸方法。本文的目標是討論兩種方法的不同之處以及相對優勢。
時間序列測試——基礎框架
Sharpe(1964)和Lintner(1965)的CAPM是一個簡單的框架，其結果可以移植到多因子模型中。Sharpe-Lintner的CAPM，存在以無風險利率Rf進行的無限制無風險借貸，而value-weight (VW)市場組合M是平均方差有效(MVE)切向組合，當與無風險借貸相結合時，產生了一組MVE組合。M為切線投資組合意味著任何資產(證券或投資組合)i的預期收益為：
（1）
在這個方程裡，RM是市場收益率，βi是Ri對於RM迴歸的斜率，而M是MVE組合意味著RM的期望減去Rf大於0。這一模型的另一層含義是βi就可以解釋資產橫截面上的收益，在βi以外加入額外的變量並不會增加對於期望收益的解釋程度。
在實證式(1)模型的時間序列迴歸中，我們將Rf移到了方程左側，並對所有的資產i進行了估計，
（2）
(1)式的預測值是基於所有資產的截距項αi為0，Gibbons, Ross, 和Shanken(1989)的GRS統計的P值為這一假設提供了一個檢驗方式。對於RMt-Rft樣本均值的t檢驗檢驗了E(RM)a-Rf>0的假設。
GRS測試的吸引力在於它的P值考慮到了來自(2)式的協方差矩陣以及βiM抽樣誤差的估計值。在多因子模型中，他還考慮了各個因子的協方差矩陣。該測試假設左手邊(LHS)的收益和右手邊(RHS)因子的分佈是多元正態的，但是可以使用bootstrap模擬(例如Fama和French於1993年)得到考慮非正態性的P值。
式(2)的零截距假設是包含在CAPM中市場組合M為MVE切向組合這一事實內的。相反，如果(2)中的截距對於某些LHS資產是非零的，M就不是MVE切向組合。Bons, Ross和Shanken(1989)表明，對截距的GRS檢驗相當於使用LHS投資組合以及無風險資產和市場投資組合來構建MVE切向投資組合，這對市場投資組合是切向投資組合的假設產生了最強的否定。
GRS測試是針對一個未指明的備擇假設，其中沒有明確指出哪些LHS資產可能違反零截距假設。此外，RMt-Rft是(2)式唯一的解釋變量，因此沒有對於額外的變量是否會違反CAPM中βi足以描述預期回報這一問題的質疑。它的通用性很有吸引力，但它也存在一些漏洞——這是一個多重比較的問題，而這會降低測試的測試能力。GRS還有另一種解釋可以更好地說明這一點，這個測試發現LHS資產的組合產生了有最大t統計量的截距，拒絕了所有截距的期望值為零的假設。要給結果分配一個拒絕的p值，必須要考慮到這個檢驗是針對所有截距組合的，這種多重比較問題降低了測試的測試能力。
LHS資產的數量越大，多重比較問題就越嚴重，因為更多的LHS資產意味著需要考慮更多可能的資產組合。為了增強GRS測試的測試能力，LHS資產通常是少量的投資組合。例如，Fama和French(1993)使用了25個多樣化的LHS投資組合，這些組合由各種股票按規模(市值)和賬面市值比(B/M)分成五等分。使用多樣化的LHS組合通過增加回歸截距估計的精度來增加測試的能力。
使用少數多元化的LHS組合來測試一個模型有一個缺點，它可以掩蓋個別資產模型的缺陷。通過使用不同的LHS組合對模型進行測試，可以解決這個問題。但是會出現另一個多重比較問題，因為時間序列迴歸方法適用於許多組LHS組合，但是每個GRS測試通常被評估為唯一的一個。
GRS測試是針對一個不確定的資產，然而，測試的結果是針對特定LHS資產的。CAPM的GRS檢驗的問題是，市場投資組合是否是可以使用它構建的投資組合集合中的MVE切向投資組合、無風險資產和LHS投資組合。答案是基於使用的特定LHS投資組合的。該模型可能通過一組LHS資產的測試，但其他測試則不一定。
截面測試——基礎框架
在CAPM的Black(1972)版本中，沒有無風險資產，但風險資產的賣空不受限制這一中心假設意味著市場組合是MVE，這表示任何資產i的預期回報率為
（3）
其中E(R0M)是收益與市場收益不相關的資產的預期收益，沒有E(RM)- E(R0M)這一限制市場的溢價，式(3)只意味著M是一個最小方差投資組合，在給定預期收益的情況下，其可能的收益方差最小(Fama, 1976)。Black模型表示M也是MVE，即給定其收益方差，其期望收益最大，即E(RM) - E(R0M) > 0。
如果我們知道E(R0M)，我們就可以使用時間序列迴歸方法來檢驗Black模型。我們只需用E(R0M)替換(1)和(2)中的無風險利率。Fama和MacBeth的橫截面迴歸方法並不要求我們知道E(R0M)。
FM方法對式(3)的測試有兩個步驟。第一種方法是估計LHS每種資產的市場模型時間序列回
（4）
這樣的第一步為βi產生了對應的估計量bi，作為第二步橫截面迴歸的解釋變量
（5）
對於每個週期我們對式(5)進行估計，通常是以月為單位，對LHS資產以及Rit，β的估計量bi進行橫截面迴歸。
Fama(1976)表明(5)式的截距γ0t是b=0的LHS資產基準組合的收益。從LHS資產權重之和為1的意義上說，投資組合是標準的，斜率γ1t是一個b=1.0的零投資組合(LHS的權重組合為0)的收益。然而估計量bi是存在誤差的，因此真正對於γ0t以及γ1t的β值並非0與1。為了調整這一誤差，Shanken(1992)將其修正為令γ0t以及γ1t的平均值的標準差，這一現象在時間序列測試中並不存在，因為GRS測試考慮到了βi估計量的誤差。
在Black的CAPM模型中，β=1的任何零投資組合的預期回報率都是正的。用於測量γ1t均值的t統計量是標準的t。Sharpe-Lintner版本的CAPM(無風險借貸)認為市場組合M是MVE切向組合，這意味著Β=0的標準組合的期望收益率是無風險利率，用於γ0t以及Rft的t統計量提供了檢驗依據。
FM方法的一個重要吸引力在於，像式(5)那樣逐週期(通常為月度)的截面迴歸估計實際上是重複抽樣，而逐週期迴歸係數的時間序列波動性反映了迴歸殘差協方差的影響。在具有多個解釋變量的橫截面迴歸中，逐週期系數的波動性也反映瞭解釋變量協方差(多重共線性)的影響，事實上這就是逐週期迴歸方法的出發點，但Fama和MacBeth(1973)或Fama(1976, ch.9)中沒有討論。
式(2)的時間序列迴歸以及式(5)的截面迴歸在解釋變量的選取上是不同的。式(2)的時間序列迴歸中解釋變量是超額市場收益RMt-Rft，在這裡我們對Βi進行了估計，在式(5)的截面迴歸中，解釋變量是bi，我們利用這個迴歸構建的零投資組合的收益γ1t，其期望是基於bi的風險溢價，因此，時間序列迴歸將市場溢價RMt-Rft作為已知以估計Βi，而第二個截面迴歸用Βi的估計量來生成一個代表市場溢價的指標。
在Sharper-Lintner CAPM測試的時間序列迴歸方法中，GRS測試M是否為MVE切向組合。而式(5)的橫截面迴歸假設M為最小方差(MV)，僅檢驗其是否也為MVE。在這裡，如果我們用了式(5)的預期值而不考慮bi是Βi的一個估計量，我們將得到式(3)，在這裡組合M的MV條件是Black模型中隱含的。式(5)的橫截面迴歸因此將組合M為MV作為了一個已知條件。在Black模型中，M位於MV邊界的MVE部分，即E(RM)-E(R0M)>0，而對於Γ1t的t統計量提供了另一種檢驗形式。
為了使用橫截面迴歸來檢驗M是否為MV，標準的方法是在式(5)中添加解釋變量。例如，Fama和French(1992)表6中的其他變量是規模(市值的對數，MC)和賬面市值比(B/M)，其逐月橫截面迴歸為，
（6）
式(3)中市場投資組合的MV條件意味著添加額外的變量不會降低Βi提供的預期收益，因此，如果CAPM是完全正確的模型，則(6)中MCi和B/Mi的斜率的期望值為零，Γ2t以及Γ3t的t統計量會對其進行檢驗。
像式(6)中的對CAPM的多元截面迴歸測試是針對一個特定的被擇假設的，我們用像是MCi和B/Mi這樣特定的變量來檢驗Βi是不是能充分解釋截面上的LHS期望收益。這與時間序列方法下的GRS檢驗形成了一個對比，GRS檢驗與一個未指明的被擇假設相對：GRS檢驗了是夠存在任何LHS資產的組合與資產定價模型相排斥，然而，這兩種方法的推論都是特定於所使用的LHS資產的。
我們之前提到，為了增強GRS檢驗的能力，在資產定價模型的時間序列迴歸檢驗中，LHS資產通常是相對較少的多元化投資組合，這可以掩蓋個股資產定價模型的問題。在這一點上，原則上講橫截面方法是更好的。橫截面迴歸中的附加變量通常是MCi和B/Mi等特徵，這些特徵可以精確地用於單個股票。bi的橫截面和迴歸中的附加特徵在個股中也更加分散，這在原則上提高了檢驗的能力。另外重要的一點是當LHS資產是成千上萬的個股時，FM橫截面迴歸能夠在不需要協方差矩陣估計的情況下捕獲剩餘協方差的影響。而缺點在於Βi的估計量上的誤差在個股上比在多樣化組合中更加嚴重。如果其他變量與真正的Βi截面迴歸，它們可能會產生一些邊際解釋能力，而這可能會導致模型出現問題。
在橫截面迴歸方法中，如果只使用一個附加變量來檢驗Βi足以解釋全部的預期回報率的假設，需要觀察的主要是附加變量對應的t值。如果使用多個附加變量，則可以對所有附加變量的平均斜率進行T^2檢驗，判斷它們是否共同不為零。
T^2檢驗解決了CAPM橫截面迴歸測試中存在多個額外變量時出現的多重比較問題。但還有一個更嚴重的多重比較問題。在檢驗週期中，為了測試Βi是解釋期望收益唯一需要的解釋變量，有很多變量都經過了測試。在判斷給定附加變量的結果時，我們希望能夠考慮包括為採用的和已發佈的已經完成的所有測試結果。由於這一難以解決的的多重比較問題，FM迴歸中關於平均斜率的精確概率表達幾乎是不可能的。
相反，前文我們提到了時間序列迴歸方法的GRS統計量測試了對於一個未指定的備擇假設M是否為MVE切向組合。測試的結果是一個多重比較問題，它降低了測試的能力，但由於其p值解釋。另一個多重比較問題的出現與橫截面迴歸方法中的數據挖掘問題類似，是因為隨著時間的推移，在有些論文中，在給定資產定價模型的時間序列迴歸測試中使用了多組LHS投資組合。而這種多重比較問題很少被承認。
由於人們普遍傾向於挖掘數據，我們很難說在資產定價模型測試的橫截面或時間序列迴歸方法中，類似的的多重比較問題是否更為嚴重。而在時間序列測試中，有關LHS資產和RHS因素的決策受早期橫斷面測試結果的制約讓這個問題更加複雜了。
綜合問題
對CAPM測試的時間序列和橫截面迴歸方法之間差異的討論被我們直接應用於多因子模型。例如，Fama和French(1993)的三因子模型在CAPM的市場因素上增加了一個規模因子SMB和一個價值因子HML。在這個三因子模型中，任何資產i的預期收益為，
（7）
式(7)表示，在時間序列迴歸中模型如下
（8）
在這裡，截距αi對於所有資產i均為0，對於特定的LHS資產，可以由GRS統計檢驗。該測試針對的是一個未指定的備擇假設，因此它與CAPM的時間序列迴歸測試面臨相同的多重比較問題。
像式(2)的CAPM但因子模型一樣，式(8)的三因子模型用了可觀測的溢價RMt-Rft，SMBt以及HMLt作為解釋變量以估計斜率和截距。相對地，在橫截面迴歸方法中，我們首先對式(8)中的斜率進行估計，然後將其作為橫截面迴歸的解釋變量。
（9）
和CAPM一樣，式(9)採用了式(8)斜率的估計量以估計溢價。同樣地，式(9)的假設也是同樣的模式，從式(7)的迴歸中獲取估計值，以γ1t，γ2t，γ3t作為單位bi，si與hi的溢價。如果我們想通過橫截面迴歸方法產生一個三因素資產定價的測試，我們需要給式(9)添加額外的解釋變量，隨後對於額外變量的特定備擇假設進行檢驗。
生成更多因子的測試
在有多個RHS因子的資產定價模型中，我們想知道是否所有的因子都有助於描述平均收益。例如，在股利折現模型的激勵下，Fama和French (FF 2015a,b)在FF 1993的三因子模型(7)的基礎上，提出了一個增加盈利和投資因素的五因子模型，RMW和CMA。模型的期望收益方程為，
（10）
由式(10)可以得到時間序列的迴歸方程
（11）
其中對於所有資產i截距αi為0.
FF使用因子生成迴歸檢驗式(11)中的額外因子。如果式(11)中的因子對模型其他四個因子的時間序列迴歸中的截距為零，證明這個因子對於描述平均收益講是多餘的。從直覺上講很簡單，如果生成迴歸中的截距為零，則該因子的平均收益將完全由模型的其他四個因子捕獲，因此包含該因子並不會增加對平均收益的描述程度。其證據就在Fama(1998)或Barillas and Shanken(2015)兩篇文獻中。
FF在對五因子模型中各因子的生成迴歸進行估計時，發現RM - Rf、SMB、RMW和CMA具有較強的邊際解釋能力，即因子生成迴歸的截距在經濟上和統計上都較大程度且可靠地不為零。然而，在HML的迴歸中，截距是-0.04 (t = -0.47)。FF證實，五因子模型和降低HML的四因子模型在不同的LHS組合的時間序列迴歸測試中解釋了基本相同程度的平均收益。
FM的橫截面迴歸也為因子冗餘提供了一種檢驗方法。在FM方法中，首先估計式(11)中一組LHS資產的斜率。將這些估計值稱為bi、si、hi、ri和ci。然後逐月進行橫截面迴歸。
（12）
對於γ1t，γ2t，γ3t，γ4t以及γ5t均值與0差別的檢驗與各因子在時間序列迴歸中的截距對其他四個因子的截距問題均解決了相同的因子冗餘問題。例如式(12)重的γ3t是式(11)中HML斜率為1且RM-Rf、SMB、RMW和CMA斜率均為0的零投資組合的收益，即Γ3t與RM-Rf、SMB、RMW和CMA是不相關的。Γ3t均值的t檢驗，由此提出了HML是否包含有未被5因子模型其它因子暴露涉及的信息。這一問題也在對HML，RM-Rf，SMB，RMW和CMA的時間序列迴歸中截距的檢驗中得到了回答。
橫截面迴歸的因子冗餘檢驗在時間序列方法中存在不足。例如，式(12)中的截面迴歸並運用的解釋變量是五因子的估計值而不是真實值，在構建γ1t，γ2t，γt，γ4t以及γ5t時做的歸零處理也是基於五因子斜率的估計量。Shanken(1992)提出了一個修正γs的標準差的方法來解決這一問題，而時間序列因子冗餘迴歸並不需要修正。
僅將模型的因子斜率作為解釋變量的橫截面迴歸可用於因子冗餘檢驗。但是如果沒有額外的解釋變量，它們就不能測試基本模型的有效性。例如，式(12)的橫截面迴歸假設了式(11)的五因子模型描述了預期收益切近對於每個因子鞋履提供了溢價，想要通過橫截面迴歸來測試模型，我們添加了額外的解釋變量觀察其對於模型是否有貢獻。
結語
本文到目前為止的討論可能會給讀者產生一種印象，那就是對於資產定價模型的檢驗，時間序列分析和橫截面迴歸是兩種不同的途徑。但事實上，他們二者是互為補充的，都有許多各自的優點與缺點。例如在前文中提到的，FF（1992）使用橫截面迴歸來證明時，MC和B/M變量是用來表示平均收益的變動，而沒有被CAPM的市場斜率所測度。FF（1993）三因子模型中的規模因子SMB和價值因子HML就是上述例子觀點的證據。平均收益變量和盈利能力與投資能力是相關聯的，而這一觀點在三因子模型中是缺失的。五因子模型也是對這一來自時間序列分析和橫截面迴歸的事實的一個補充與響應。
文獻來源
Eugene F. Fama
SSRN-id2685317：Cross-Section Versus Time-Series Tests of Asset Pricing Models.
Posted: 2015
查看更多內容，歡迎關注我們的公眾號（聚寬量化實驗室）~
