數字整除特性
舉例說明：老王家養了一群羊，其中 3/7 是小尾寒羊，問老王家共有多少隻羊？有小尾寒羊多少隻？ 我們可以抓住題目中的特徵符號——分數，老王家 3/7 是小尾寒羊，所以羊的總數能被 7 整除，小尾寒羊數量能被 3 整除。那麼哪些數具有能被 3 整除的特點？那麼哪些數具有能被 7 整除的特點？我們 就非常有必要掌握這些數字的整除判定。 （抓住題中關鍵數量關係，判斷未知量被某數整除或具體的餘數值，快速排除、甚至鎖定選項）
“數字整除特性法”是一種特殊的“代入法”，也是代入法中最重要的內容。這種方法通過正確答案所應該滿足的某種倍數或比例特性來直接鎖定答案。熟練運用本方法最關鍵的要點，就是牢牢掌握各種倍數關係的性質和判定方法：能被2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13整除的數字的判定法則
2、4、8 整除及餘數判定基本法則
1. 一個數能被 2（或 5）整除，當且僅當其末一位數能被 2（或 5）整除；
2. 一個數能被 4（或 25）整除，當且僅當其末兩位數能被 4（或 25）整除；
3. 一個數能被 8（或 125）整除，當且僅當其末三位數能被 8（或 125）整除。
3、9 整除及餘數判定基本法則
1.一個數能被 3 整除，當且僅當其各位數字和能被 3 整除；
2.一個數能被 9 整除，當且僅當其各位數字和能被 9 整除。
7 整除判定基本法則
1. 一個數是 7 的倍數，當且僅當其末一位的兩倍，與剩下的數之差為 7 的倍數；
2.一個數是 7 的倍數，當且僅當其末三位數，與剩下的數之差為 7 的倍數。
【示例】∵362 末一位“2”的 2 倍與“36”差“32”不能被 7 整除 ∴362不能被7整除
【示例】∵12047 末三位“047”與“12”差“35”能被 7 整除 ∴12047能被7整除
11 整除判定基本法則
1.一個數是11 的倍數，當且僅當其奇數位之和與偶數位之和做的差為11 的倍數；
2.一個數是 11 的倍數，當且僅當其末三位數，與剩下的數之差為 11 的倍數。
eg.∵7394奇數位之和“7+9＝16”與偶數位之和“3+4＝7”做的差“16-7＝9”不是 11 的倍數
∴7394不能被 11 整除
3．一個數字是11的倍數，則以此去掉末位，並減去該數字所得的新數字是11的倍數。
eg. 2629 à262-9=253 à25-3=22是11的倍數，所以2629是11的倍數
13 整除判定基本法則
1.一個數是 13 的倍數，當且僅當其末三位數，與剩下的數之差為 13 的倍數。
2. ：逐次去掉最後一個數字並加上末尾數字的 4 倍能被 13 整除。
eg. 364—> 36+4*4=52是13的倍數 ，所以364是13的倍數
（藍色部分的原因解析：7×11×13=1001）
推 論：
1、A和B是n的倍數，那麼A+/-B 也是n的倍數(A+/-B=N 是n的倍數)；
2、A是n的倍數，A+/-B=N，如果N不是n的倍數，那麼B也不是n的倍數；
3、連續n個自然數包含可以被n及比n更小的自然數整除的數字；
（eg. 連續的10個自然數必然包含可以被2，3，4，5，6，7，8，9，10整除的數字）
數字整除特性
（二）數字整除特性的考察
直接使用整除特性：
【例 1】（ 黑龍江 2015-58）小李某月請了連續 5 天的年假，這 5 天的日期數字相乘為 7893600，問他最後一天年假的日期是( )。 、
A.25日 B. 26 日 C. 27 日 D. 28 日
解析：7893600各位數字值和不能被9整除，所以日期裡不可能包含9因子的27日，排除CD，另外也不包括其7因子，排除A，答案選B
【例 2】（2011 年 424 聯考-43）某單位招錄了 10 名新員工，按其應聘成績排名 1 到 10，並用 10 個連續的四位自然數依次作為他們的工號。湊巧的是每個人的工號都能被他們 的成績排名整除，問排名第三的員工工號所有數字之和可能是多少?（ ）
A.9 B. 12 C. 15 D. 18
解析：第3名員工的各位數字值和可以被3整除，無法排除，進一步確認：+6以後可以被9整除，選B
【例3】（2018-北京）有一種電子鐘，每到整點響一次鈴，每走9分鐘亮一次燈，中午12時，它既響鈴又亮燈，那麼它下一次既響鈴又亮燈是下午幾點鐘？（ ） A.1點鐘 B.2點鐘 C.3點鐘 D.4點鐘
解析：整點就會響鈴，但只有分鐘數是9的倍數才會亮燈，分鐘數依次是60，120，180，240 選C
【例4】（2017-國家)某人出生於20世紀70年代，某年他發現從當年起連續10年自己的年齡與當年年份數字之和相等（出生當年算0歲）。問他在以下哪一年時，年齡為9的整數倍（） A．2006年B．2007年C．2008年D．2009年
解析：連續10個數字必然伴行一個數字可以被9整除，這一年年齡等於年份數字和，等於 該年份減掉掉出生年份，由此可知這年的年齡，這個年份都可以被9整除，要想某年年齡被9整除，那麼這個年份也要能被9整除，選項中只有2007滿足條件。
【例5】（2016-山東）高校的科研經費按來源分為縱向科研經費和橫向科研經費，某高校機械學院2015年前4個月的縱向科研經費和橫向科研經費的數字從小到大排列為20、26、27、28、31、38、44和50萬元。如果前4個月縱向科研經費是前3個月橫向科研經費的2倍，則該校機械學院2015年第4個月的橫向科研經費是多少萬元？
A、26 B、27 C、28 D、31
解析：八個月的數字之和可以被3整除，去掉的7個月的數字值和也是3的倍數，所以待求的月份的經費一定也是3的倍數，觀察數據只有27，選擇B
【例6】（2015-北京）四人年齡為相鄰的自然數列且最年長者不超過30歲，四人年齡之乘積能被2700整除且不能被81整除。則四人中最年長者多少歲（ ）
A．30 B．29 C．28 D．27
解析：能被2700=27×25×4整除 可知應該含有25，且不含有27以外的其他3因子。C
【例7】（2017-廣州）某批發市場有大、小兩種規格的盒裝雞蛋，每個大盒裡裝有23個雞蛋，每個小盒裡裝有16個雞蛋。餐廳採購員小王去該市場買了500個雞蛋，則大盒裝一共比小盒裝（ ）。 A.多2盒 B.少1盒 C.少46個雞蛋 D.多52個雞蛋
解析：23x+16y=500，x必為4的倍數，驗算得x=12、y=14，（23×12）-（16×14）=52，選D
【例8】（2015-江蘇）設a、b均為正整數，若11a+7b=132，則a的值為： A.3 B.4 C.5 D.6
解析：132是11的倍數，所以b是11的倍數b=11，a=5 選C
因子整除特性：在乘法運算中，如果涉及“小數”，那麼 2 和 5 的因子可能會隨著乘法而消失，而其 它的因子，譬如 3、7、9、11、13 等不會因為乘法而消失。
【例 1】（陝西 2013-81）學校組織學生舉行獻愛心捐款活動，某年級共有 3 個班，甲班 捐款數是另外兩個班捐款總數的2/5，乙班捐款數是丙班的1.2倍，丙班捐款數比甲班多300 元，則這三個班一共捐款（ ）元。 A.6000 B.6600 C.7000 D.7700
解析：總數=（乙班+甲班）×7/5=2.2×丙班×7/5 含有7和11因子 選D
【例 2】（天津 2014-10）王明抄寫一份報告，如果每分鐘抄寫 30 個字，則用若干小時 可以抄完。當抄完 2/5 時，將工作效率提高 40%，結果比原計劃提前半小時完成。問這份報 告共有多少字？（ ）
A.6025 B.7200 C.7250 D.5250
解析：總字數應該含有3因子排除AC和7因子排除B，只有選項D滿足
【例3】（2019-國家）有100名員工去年和今年均參加考核，考核結果分為優、良、中、差四個等次。今年考核結果為優的人數是去年的1.2倍。今年考核結果為良及以下的人員佔比比去年低15個百分點。問兩年考核結果均為優的人數至少為多少人？
A.55B.65 C.75 D.85
解析：假設去年優的人數為x，今年為2.2x，2.2x-100 = least least+100=2.2x 是11的倍數
通過比例關係確定整除特性：
【例 1】（上海 2015A-71）公司四名促銷員某月共推銷新產品 100 件，甲與丁共推銷 64 件，甲與乙推銷量的比例為 5∶3，丙與丁推銷量的比例為 1∶2，則甲該月推銷了( )件。
A. 20 B. 28 C. 38 D. 40
解析：甲：乙=5：3 甲的銷量應該是5的倍數，所以排除B，C，帶入驗證，可確定答案為 D
【例 2】（北京 2015-84）甲、乙兩個班各有 40 多名學生，男女生比例甲班為 5：6，乙 班為 5：4。則這兩個班的男生人數之和比女生人數之和（ ）？
A.多 1 人 B.多 2 人 C.少 1 人 D.少 2 人
解析：根據比例關係，可以確定甲班人數是11的倍數，乙班人數是9的倍數，44人（20男，24女）45人（25男，20人），所以男生總共45人，女生總共44人，選A
【例3】(2015河南)某旅遊公司有能載4名乘客的轎車和能載7名乘客的麵包車若干輛，某日該公司將所有車輛分成車輛數相等的兩個車隊運送兩支旅行團。已知兩支旅行團共有79人，且每支車隊都滿載，問該公司轎車數量比麵包車多多少輛？ A. 5B. 6C. 7D. 8
解析：假設轎車為x，麵包車數量為y，則4x+7y=79 ，4x為偶數，7y只能為奇數，y為奇數，通過枚舉法可以確定答案為B；
【例4】（2017北京）某企業共有職工100多人，其中，生產人員與非生產人員的人數之比為4：5，而研發與非研發人員的人數之比為3：5，已知生產人員不能同時擔任研發人員，則該企業不在生產和研發兩類崗位上的職工有多少人? A.20 B.30 C.24 D.26
解析：根據描述總人數是9（4：5）的倍數，也是8（3：5的倍數），所以總人數一定是72的倍數，100多人，同時是72的倍數，可以確定總人數是144，所以非生產人員80人，減去研發人員54人，D正確；
參考答案：B、D、
