很多資料或題目講到關於數的整除性質，但是性質怎麼來的很少介紹，在此"簡單舉例"推導以助理解掌握，方法多樣的只舉其中之一，有些數字類似的情況也不重複，以免佔用大家寶貴的時間。
一般地，若整數b除以非零整數a，商為整數，且餘數為零， 我們就說b能被a整除（或說a能整除b），
記為：a|b（"|"是整除符號），讀作"a整除b"或"b能被a整除"
一、我們先看幾個基本的性質
1、 若a|b，a|c，則a| (b±c)
- 運用除法與分數的關係解釋
- 通俗地講，如果兩個數能被同一個數整除，那麼它們的和、差也能被這個數整除（積當然也可以）
2、 若a|b，b|c，則a|c
- 通俗地講就是一個數倍數的倍數是它的倍數。
3、 若a|bc，且(a,c)= 1，則a|b
4、 a|b，c|b，且a、c互質（a,c）=1，則bc|a
這個性質可以推廣到多個兩兩互質的數的情況，非常有用；
例：2、3、5兩兩互質，如果一個數m能同時被這三個數整除，那麼m能被30整除；
二、結合位值原理常見數的整除特徵歸納說明
1、個位上是0、2、4、6、8的整數都能被2整除。
2、 個位上是0或者5的整數都能被5整除(方法同上)。
3、 若一個整數各位數字之和能被3（或9）整除，則這個整數能被3（或9）整除。（3與9判斷方法一樣）
請注意：從這裡我們也可以得出一個整數除以9的餘數等於它各數字之和除以9的餘數。
4、 若一個整數末兩位數能被4(或25)整除，則這個數能被4(或25)整除。（方法同2，找整百）；
5、若一個整數末三位數能被8(或125)整除，則這個數能被8(或125)整除。（方法同2，找整千）；
6、 若一個整數末四位數能被16(或625)整除，則這個數能被16(或625)整除。（方法同2，找整萬）；
7、 一個三位以上的整數能否被7（或11、13）整除，從右往左三位斷開，奇數段與偶數段分別相加再作差（以大減小）能否被7（或11、13）整除 ，（右往左－三位斷－奇偶分組－求和－再作差）；
8、 一個整數的奇數位數字和與偶數位數字和的差（大-小）如果是11的倍數,那麼這個整數也是11的倍數(比上面方法簡單一點點)；
9、判斷一個整數能否被99、999、9999....整除，可以“從右往左”按照兩位、三位、四位斷開再求和。
- 其實所有關於“9”的整除原理都一樣
10、若一個質數能整除兩個自然數的乘積，那麼這個質數至少能整除這兩個自然數中的一個；
11、 特別地：1與0的特性
1是任何整數的因數，即對於任何整數a，總有1|a.
0是任何非零整數的倍數，a≠0,a為整數，則a|0.
三、關鍵
數的整除概念、性質及特徵為我們解決一些實際問題帶來了很大方便，應用廣泛。需要在理解其來源的基礎上掌握。
我們可以用上面的性質去判斷能否被給定的數整除，反過來也可以用相關的性質去解決問題，比如結合平方數我們以前提到過的"n²+2"一定不是5的倍數。
四、經典例題
[例1]已知七位數" 1287xy6" 是72的倍數，求出所有符合條件的七位數（江蘇競賽題）
[思路導航]
因為72＝8*9(8、9互質)
所以只需滿足七位數能同時被8、9整除即可
如果先從8入手是考慮三位情況較多，所以從9入手
例2、已知a、b是正整（a>b）對於如下兩個結論：①在a+b、ab、a-b這三個數中必有2的倍數，②a+b、ab、a-b必有三的倍數，其中正確的是（ ）
A 都正確 ，B 都不正確；
C只有①正確 ， D 只有②正確；
[思路導航]因為數字不確定，但可以結合奇偶性及餘數的情況進行"分類討論"得出結果，注意利用倍數與因數的關係。
[例3]如果把1－1997這1997個自然數依次寫下來，我們可以得一個多位數12345678910111213…1994199519961997，試求這個多位數除以9的餘數。
[思路導航]
根據前面推導能被9整除的數的特徵我們知道：
"一個自然數除以9的餘數，等於這個自然數各個數位上數字和除以9的餘數"
所以求這個多位數除以9的餘數問題，可以先轉化為求1至1997這1997個自然數中所有數字之和是多少，然後就很好解決了
方法一：因為1至9這9個數字之和為45
所以10至19，20至29……90至99
這十個組的各位數位上的數字和分別為：
45+10，45+20……45+90。
所以：1至99這99個自然數各位數字之和為：
45+55+65+…+125+135=900
同理可得
1至999這999個自然數各位上數字之和為：
900+1000+…+1700+1800=13500
同理可得
1000至1999這1000個自然數各數位上的數字和為
13500+1000=14500
則1至1999這1999個自然數各數位的數字和為：
13500+14500=28000。
1998、1999這兩個數各數位上的數字和為：27、28。
28000－27－28=27945，
9能整除27945
所以多位數除以9餘0
方法二：
將1至1996這1996個自然數配成如下的998組：
（1，1996），（2，1995），……
每組兩數之和為1997
998組所有數字之和等於：
（1+9+9+7）×998=25948
25948+1997＝27945
所以多位數除以9餘0
方法三：根據整特性
由任意連續9個自然數所組成的多位數，
一定能被9整除；
而從1至1997一共有1997個數；
從1開始按9個一組分；
1997÷9=221(組)……8(個)；
1990、1991、1992、1993、1994、1995、1996、1997；
我們看這8個數所有數位上的數字和為：
19+20+21+22+23+24+25+26=180；
180能被9整除，所以多位數除以9餘0。
（因為任意連續的9個自然數的各數位上的數字和除以9的餘數，必定是0，1，2…，7，8這9個數，而這9個數的和為36，36能被9整除，所以任意依次寫出的9個連續自然數組成的多位數一定能被9整除。）
