文氏電橋振盪電路及其限幅
本《正弦振盪雜談》系列帖，並非要把模擬電路教材中關於正弦振盪電路的內容重新講一遍，而是把模擬電路課程中因課時限制或者篇幅限制講不到的一些細節指出來，與模擬電路新手討論。
本《正弦振盪雜談》系列帖，引用的模擬電路教材主要是《電子技術基礎 模擬部分 康華光 第五版》和《模擬電子技術基礎 童詩白 第四版》，引用時只給出作者和頁碼。若有引用其他教材時將直接給出書名、作者和頁碼。
本系列帖儘量少用解析式，主要用曲線和圖形這樣比較直觀的方法來說明電路的本質，尤其是儘量使用力學模型與電路進行比較來說明。
絕大多數模擬電路教材都會講到LC正弦波振盪器和RC正弦波振盪器，也會指出產生正弦波振盪的條件。
講到LC振盪電路時，可能會講到多種LC振盪電路，例如變壓器反饋式振盪電路、三點式LC振盪電路、石英晶體振盪電路等等，講到RC振盪電路時，通常會講到文氏電橋振盪電路。
但是，不知道各位注意到沒有：講到RC正弦波振盪電路時，都會講到穩幅措施，但講到LC振盪電路時，無論是哪種教材中的典型LC振盪電路，都沒有特別的穩幅措施。這是為什麼？
幾乎所有教材，都沒有對這個問題詳細闡述。要說明這個問題，還是要從產生正弦振盪的基本理論說起。
我們來看看教材中是怎麼說的。
《電子技術基礎 模擬部分》康華光，第五版，434頁開始，是這樣說的。
圖(01)
這段話闡述了正弦波振盪電路的振盪條件。一共兩個條件，一是式(9.5.2)，一是式(9.5.3)。前者稱為振幅平衡條件，後者稱為相位平衡條件，缺一不可。這段話也特別說明這二者是“產生持續振盪的兩個條件”。這句話的意思，是說正弦波振盪電路在滿足式(9.5.2)和式(9.5.3)時，已經建立起來的正弦振盪將保持幅度和頻率不變，持續振盪下去。至於這個已經建立起來的正弦振盪是如何建立起來的，文中並沒有說。
如果在此電路保持振盪的過程中受到外界的某個擾動，例如受到一個電磁脈衝的干擾，使得振盪的幅度發生了變化，變得比原來小了一些，那麼脈衝過去之後，這個電路將在較小的幅度上維持振盪。而且，這個已經建立起來的正弦振盪是外部電路所產生，並非該電路自行產生。
要使AF=1即式(9.5.2)成立是非常非常困難的，即使手動調整到了AF=1，由於環境溫度的變化、電源電壓的變化、放大器中各元器件的參數老化等等，都會使得環路增益AF發生變化，變得稍稍大於1或者小於1。
由圖(01)中敘述可以知道：一旦環路增益AF小於1，已經建立起來的正弦振盪將會每個週期都比前一個週期幅度小一點，小多少則取決於AF比1小的程度，最終幅度將小到接近於零，即停止振盪。而一旦環路增益大於1，已經建立起來的正弦振盪將會每個週期都比前一個週期幅度大一點，大多少則取決於AF比1大的程度。
所以，無論是哪一種正弦波振盪電路，在AF=1時是不可能自行產生振盪的。因為無論是哪一種振盪電路，上電後開始工作時電路中正弦振盪幅度通常接近於零，那麼由前段敘述，AF=1的振盪電路中正弦幅度維持不變，在上電開始工作後總是保持為接近於零，不可能達到我們所需要的幅度。
這不符合我們的需要。我們要的是可以上電後自行產生，而且產生後幅度穩定、頻率穩定的正弦振盪。
但是，如果AF>1則完全不一樣。環路增益AF>1時，由前面的敘述，正弦振盪將會每個週期都比前一個週期幅度大一點，而電路中總存在一些噪聲，叫做熱噪聲，只要溫度沒有低到絕對零度，電路中的熱噪聲總存在。熱噪聲的頻譜是連續頻譜，其中必定存在滿足式(9.5.3)的頻率。在這個頻率上，熱噪聲中正弦振盪的幅度就會不斷增加，最終達到我們需要的可以使用的幅度。
所以，圖(01)中又說：“欲使振盪電路能自行建立振盪，就必須滿足AF>1的條件。這樣，在接通電源後，振盪電路就有可能自行起振，或者說能夠自激，最後趨於穩態平衡。”
問題就在於：AF>1的自行起振振盪電路，電路中正弦信號的幅度是不斷增加的，它如何“最終趨於穩態平衡”？
在前面我們已經知道，當環路增益AF>1時，正弦振盪將會每個週期都比前一個週期幅度大一點，幅度逐漸增加。但是，振盪幅度不可能無限制地增加下去，那會導致無窮大的功率。所以，電路中必定存在一個機制，限制幅度的增加，這個限制幅度增加的部分，在圖(01)中的圖(9.5.1)並未顯示出來。我們通常稱為振盪器的限幅電路或者幅度穩定電路。限幅電路在電原理圖中有時是沒有明確表示出來的。
最常見到的限制振盪幅度增加的機制，是由於電源電壓的限制，振盪幅度不能夠繼續增加。
圖(02)是一個文氏電橋振盪器電路。圖中波形是該文氏電橋振盪器上電後自行起振，已經達到穩態的波形。其中幅度較小的是運放同相輸入端的波形。
圖(02)
圖(02)中，如果認為運放的開環增益為無窮大(實際上運放的開環增益典型值200000倍，近似無窮大)，那麼圖中R6為20kΩ時恰滿足AF=1。現在R6為20.5kΩ，環路增益略微大於1。圖(02)波形是產生振盪後振幅已經達到穩定的波形。從圖(02)波形中我們看到，運放輸出波形的頂部從A點開始明顯有一段是水平的，其電壓絕對值大致為11V，顯然這是受到了電源電壓12V的限制，放大器脫離了線性工作區域而進入了非線性區域。在模擬電路工程師中這種波形通常稱為“切峰”或者運放進入了“飽和”而“限幅”。受其影響，運放同相輸入端的波形也變得不那麼正弦。
放大器“切峰”後為何幅度能夠達到穩定？請注意：“切峰”的那一段時間內，放大器輸入發生變化(波形圖中是在增加)，但輸出沒有變化，也就是說，放大器的增益在這段時間內為零！
那麼在一個週期的時間內，部分時間AF>1，部分時間(切峰時) AF=0，環路增益平均值可能恰為1，滿足振盪幅度不變的條件。
但是，此時振盪電路產生的可就不是正弦波了！“切峰”後的波形，由傅立葉分析我們知道，含有一定量的高次諧波。波形偏離正弦越遠，高次諧波的比例越大！
能不能減少一些高次諧波，讓波形儘量減少失真，接近正弦？顯然，應該讓放大器環路增益儘量接近於1，這樣輸出波形“切峰”部分(這部分電壓增益接近於零)就會短一些。
圖(03)
圖(04)
圖(05)
圖(03)到圖(05)就是逐漸減少環路增益的三個文氏電橋振盪器，圖(03)中R6為20.2kΩ，圖(04)中R6為20.1kΩ，圖(05)中R6更減少到了20.05kΩ。隨著R6的減少，該振盪電路的環路增益也越來越接近於1。我們看到，振盪波形“切峰”部分確實越來越短，波形確實越來越接近正弦，在圖(05)中粗略地看已經看不出“切峰”(仔細看還是看得出來“切峰”的)。
但是圖(05)電路因為環路增益僅稍稍大於1(約為1.00167)，所以從上電後每個振盪週期比前一個振盪週期的信號幅度僅增加很小一點點(千分之一左右)，所以從熱噪聲水平(微伏以下)逐漸上升到10V左右的水平，就需要很多個週期。圖(05)電路從上電到振幅穩定，實際電路需要大約10秒鐘。圖(05)電路仍然存在肉眼可見的諧波失真(切峰)，如果需要更低的失真，那就要再降低環路增益，當然也就需要更長時間來啟動並達到穩定，越是要求諧波失真小，啟動時間越要長，例如20秒、30秒甚至更長。這麼長的起振時間，是難以接受的。
我們看到，之所以啟動時間長，原因在於圖(02)中在A點環路增益從大於1突然降到接近於0，為使環路增益接近於0的這段時間儘可能短一些以避免失真，則環路增益必須儘量稍大於1而接近於1，致使啟動時間變得很長。
如果我們能夠在振盪幅度較小時讓環路增益比1大得較多，而振盪幅度大到一定程度環路增益自動變小直到等於1，那就可以縮短啟動時間，同時振盪電路輸出波形不被切峰。
具有這種特性的元件是存在的，其中之一就是熱敏電阻。如果熱敏電阻的電阻溫度係數為正值(溫度較高時電阻較大)，我們可以用它代替圖(02)中的R4，如果熱敏電阻的電阻溫度係數為負，我們可以用它代替圖(02)中的R6。
假定我們有一個室溫下電阻值小於10kΩ但溫度較高時電阻值大於於10kΩ的熱敏電阻，代替了圖(02)中的R4，如圖(06)中所示。
圖(06)
圖(06)中電路上電後，R4為室溫，電阻小於10kΩ，那麼環路增益大於1，該電路可以迅速起振。起振後運放輸出的交流電壓幅度從零迅速增加，R4和R6耗散功率增加，溫度上升，R4電阻值變大，但R6電阻值基本不變。當R4電阻因溫度升高變大到恰為10kΩ時，環路增益等於1，該電路滿足圖(01)中式(9.5.2)條件，振盪幅度不再增加而保持不變。這就實現了我們前面所說“縮短啟動時間，同時振盪電路輸出波形保持正弦”的要求。
在eeworld上面，經常介紹是德科技的產品。是德科技這家公司是於2014年11月從安捷倫公司分出來的，將化學分析、生命科學和癌症分析等業務留給安捷倫，是德科技則全力專注於電子和光信號的測試測量。而安捷倫是從惠普公司(HP)分出來的，計算機外部設備留給了惠普，安捷倫則專注於儀器儀表。惠普公司的第一個產品就是文氏電橋音頻振盪器。那時(1938年)晶體管還沒有出現，惠普公司的兩位創立者是用真空管構成的文氏電橋振盪電路，用普通的鎢絲白熾燈泡作為熱敏電阻(金屬鎢具有正的溫度係數，大約是溫度每升高1攝氏度電阻值增加千分之四)。
如今再也沒有人用體積大耗電多的真空管構成文氏電橋振盪器了，都是採用晶體三極管甚至集成電路。那麼，當然也就沒有人用鎢絲白熾燈作為熱敏電阻使用，而是使用體積小得多的半導體材料熱敏電阻。體積小顯然是為了降低熱容量，使溫度變化更快速一些。體積最小的熱敏電阻大約只有米粒那麼大，為了降低散熱，熱敏電阻放置在抽了真空的玻璃泡內。半導體材料熱敏電阻有正溫度係數的，也有負溫度係數的。半導體材料的熱敏電阻溫度係數絕對值通常比鎢絲要大得多，也就是說，同樣的溫度變化，其電阻變化更大。
顯然，採用負溫度係數熱敏電阻時，應該用熱敏電阻代替圖(02)中的R6，而且室溫下該熱敏電阻值應該大於二倍R4，但高溫時電阻值能夠降低到小於二倍R4。
使用熱敏電阻作為限幅電路的文氏電橋振盪器，如果熱敏電阻體積夠小，啟動後只需要一兩秒即可達到穩定，諧波失真可以達到0.1％甚至更低。
在正弦振盪電路中，除了熱敏電阻之外，還有其它形式的限幅電路。
如果我們能夠找到一種器件，其電阻隨兩端電壓變化，兩端電壓較小的時候電阻大，兩端電壓較大的時候電阻小，那麼我們就可以用這種器件代替圖(02)中的R6。顯然，這種器件代替R6後，文氏電橋輸出幅度較小的時候，該器件電阻較大，環路增益較大，啟動較快，文氏電橋輸出幅度較大時，該器件電阻較小，環路增益下降，最後穩定在環路增益為1的某個振幅上。
符合這個“電阻隨兩端電壓變化，兩端電壓較小的時候電阻大，兩端電壓較大的時候電阻小”條件的器件是有的，就是很簡單的晶體二極管。
圖(07)
普通硅二極管正向電壓-電流特性曲線大致如圖(07)。圖中橫座標是二極管兩端電壓，縱座標是通過二極管的電流，該曲線表示了二極管電壓-電流關係。
電壓為橫座標，電流為縱座標，這個平面以及平面上的直線和曲線表示什麼？
圖(08)
圖(08)中電壓-電流平面上有三條過原點的直線R1、R2和R3。直線R2上任一點例如A點，其縱座標iA和橫座標uA之比稱作直線R2的斜率。我們立即看到斜率的倒數uA/iA恰是一個電阻值。實際上，這個斜率的倒數uA/iA恰恰就是電阻R2。
既然斜率的倒數就是電阻，我們立即可以知道圖(08)中三條直線所表示的三個電阻R1、R2和R3中R1>R2>R3。斜率越是“陡峭”，電阻值越小，越是“平緩”，電阻值越大。直觀地看“陡峭”的斜率表示電壓(縱座標)不大但電流(橫座標)比較大，顯然電阻值較小，反之亦然。
現在我們可以看看普通硅二極管的正向電壓-電流特性曲線表示什麼了。
圖(09)中畫出了普通硅二極管特性曲線上A、B、C三點的切線KA、KB、KC。
圖(09)
我們看到，圖中KA的斜率小於KB的斜率，更小於KC的斜率，這表示該二極管在A點的電阻大於在B點的電阻，更大於在C點的電阻。這裡所說的電阻，是指電壓的變化與電流的變化之比Δu/Δi，並不是該點橫座標電壓與該點縱座標電流之比。這樣的電阻，通常稱為微變電阻或者動態電阻或者交流電阻。
那麼，如果我們用反並聯的兩支二極管(兩支二極管反並聯是為了一支在交流的正半週期工作，另一支在交流的負半週期工作)代替圖(02)到圖(05)電路中的R6，可以想像得到在振盪器輸出信號瞬時值較小時反並聯的兩支二極管微變電阻較大，開環增益較大，而振盪器輸出信號瞬時值較大時反並聯二極管微變電阻較小，開環增益較小。這樣，振盪器輸出幅度較小時，環路增益可以大於1而迅速起振；振盪器輸出幅度較大時，輸出信號的一個週期內平均環路增益就可能等於1，實現穩定幅度的作用。
圖(10)
圖(10)就是由這種想法而產生的文氏電橋振盪電路。其中圖(02)中電阻R6由18.2kΩ電阻R6和2kΩ電阻以及反並聯的二極管D1和D2代替。圖中波形是自行起振後已經達到穩定狀態的波形。
當振盪器輸出信號幅度較小時(例如運放輸出端信號峰值小於1V)，兩二極管電阻很大，R6和R3串聯後為20.2kΩ，與圖(03)中電阻R6相同，所以起振的快慢也相同。但振盪器輸出幅度較大時，兩二極管微變電阻變小。圖(10)中R6、R3和反並聯二極管的串並聯電路與電阻R4之比決定了在一個週期內環路增益平均值，所以該電路可以穩定振盪幅度。
從圖(10)中波形可以看出輸出穩定後峰值約7.5V，小於圖(02)中輸出信號峰值10.5V，可見限幅是靠反並聯二極管而不是靠運放輸出進入飽和。圖(10)中還可以看到輸出波形很接近正弦，比圖(05)中波形還要好一些。
反並聯二極管限幅電路所產生的輸出信號，諧波失真稍大於熱敏電阻限幅電路，這是因為熱敏電阻存在熱慣性，在振盪器產生信號的一個週期內電阻值實際上沒有變化，環路增益也就沒有變化，而反並聯二極管的電阻在振盪器產生信號的一個週期內就有變化，信號瞬時值較小時電阻較大，信號瞬時值較大時電阻較小，振盪電路的環路增益在一個週期內隨時變化，這個環路增益的變化會帶來諧波失真。圖(10)中與二極管並聯R3又串聯R6，是為了使反並聯的兩支二極管電阻變化範圍減小，從而使環路增益的變化帶來的諧波失真儘量小。
當然，還有多種利用不同元器件的限幅電路，圖(11)就是《電子技術基礎 模擬部分》康華光第五版440頁所介紹的一種利用結型場效應管構成的文氏電橋振盪器限幅電路，其工作原理在文中已經講得很清楚。
圖(11)
無論是熱敏電阻限幅、反並聯二極管限幅還是結型場效應管限幅，都是利用某種元器件的非線性來實現幅度的穩定。所以，某種意義上說，正弦波振盪器都是非線性的，這種說法是有道理的。實際上，謝嘉奎老師主編《電子線路》各版均分成“線性部分”和“非線性部分”兩冊，而將振盪電路放到“非線性部分”裡面，是很有道理的。
上面我們介紹了文氏電橋振盪電路中的限幅電路。在通用教材中，我們發現，只有RC振盪電路具有限幅電路，而教材中介紹的各種LC振盪電路均沒有限幅電路。LC振盪電路沒有限幅電路的原因，請看下一篇《正弦振盪電路雜談(二)》。
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