朝云伴雾
量子力学有两种形式，一个是薛定谔建立的波动力学，一个是海森堡、玻恩等建立的矩阵力学。前者理解起来比较直观，毕竟把电子想象成是一种波动，甚至干脆想象为是电子在空间中的几率分布（对应波函数绝对值的平方）对初学者来说更方便。
但矩阵力学在真正科研中的地位越来越重要，毕竟能严格求解的量子力学问题是很少的。比如我们在初学量子力学的时候都会求解，一维无限深势井，一维有限深势井，一维线性谐振子，和三维的库伦势……
氢原子中电子的径向部分波函数，s波。
能够通过求偏微分方程严格解的量子力学问题真是十个手指数都数的清。对于大量的无法严格求解，但更有实际意义的物理问题，比如分子问题怎么求解？这时候我们发现矩阵力学的形式更适合表述这类问题并发展近似方法。
换句话说，当你入了量子力学的门之后，在学习近似方法，或用量子力学做研究，读文献的时候将主要碰到矩阵力学而非波动力学。
但作为教学，我认为和科研还不一样，教学的目的首先是掌握基本概念，对还没有入门的同学来说波动力学还是必须学的，其中的术语和概念对我们今后的学习和研究工作都很重要。
用波动力学的图像很容易理解为什么束缚态的能级一定是分立的。
我认为波动力学和矩阵力学（还有狄拉克记号和表象变换）是同等重要的，关键是要入门，能用量子力学的概念思维。
从时代发展的角度，我们今天的学生要学的东西太多了，或者说在有限的大学四年里我们也许有更多更重要的东西要学，我们的课程体系应该与时共进。
传统上，初等量子力学会在介绍完波动力学之后，让大家求解用偏微分方程可以严格求解的各种模型，最复杂的当然是氢原子问题（三维库伦势），从课程设置的角度，也许我们可以稍微削减一些课时。
我的意思不是不介绍，而是说把重点放在掌握概念和思路上，比如理解球谐函数可以用来展开各种角度分布的函数就比会解偏微分方程重要。而且如果真的微积分和数理方法很好的话，这部分其实并不难，我们可以在这里少布置几道习题，甚至布置学生回去自学。
用好Mathematica比会做几个积分更重要。
个人认为今后物理系的很多习题课，数学课应该尽早与计算物理结合，以前的算功体现在算积分，解微分方程上，今后可能要体现在计算物理，编程序用软件上了。
物理思维
虽然从理论上来说，偏微分方程和线性代数是同样重要的，两种表述的方法也完全等价，但最适合的入门途径无疑还是线性代数。我个人认为，在大学量子力学课程的教育中，可以尝试将一些偏重微分方程的量子力学内容与大学化学（或者量子化学）和近代物理学（普通物理学基础课之一）合并，而在物理系的「量子力学」课中，重点集中讨论线性代数表述的量子力学。
之所以建议初学量子力学从线性代数入手，主要原因如下：
（1）以「偏微分方程」为中心的学习方式容易让学生变成以习题为中心，特别关注几类特殊问题（无限有限深势阱、有心力场、谐振子、周期势……）的求解，注重求解中的一些细节，而忽视了量子力学的一些基本思路和整个思想体系的建立。
（2）以线性代数为起点的话，很多思路其实非常顺畅，叠加原理（线性可加）、对易关系、本征值的求解、微扰论……都可以轻松地把握，这不管是从理解量子力学的角度还是未来从事科研的角度都会是很有帮助的。
如果要推荐教材的话，其实只有 Sakurai 的《现代量子力学》是推荐的，当然 Dirac 的量子力学无疑是经典名著，但如果要快速入门量子力学，还是用 Sakurai 的书更好，可以一开始只看书中的开头部分，反复看，熟悉自旋和谐振子的升降算符，把这个就像当成一种游戏，然后在这种游戏中渐渐搭建起对量子力学基础的理解。
傅渥成
偏微分方程和线性代数两者缺一不可，同等重要，切不可顾此失彼。
量子力学建立时有两种相互等价的表现形式，一个是1925年海森堡、玻恩、约当建立的“矩阵力学”，另一个是1926年薛定谔建立的“波动力学”。
矩阵力学顾名思义，核心是矩阵，即完全用线性代数来描述。海森堡发现的非对易关系正是矩阵的特点。首先要在希尔伯特空间（线性空间）中定义量子态，然后要把算符针对各个量子态变成矩阵形式，还必须是厄米矩阵。矩阵力学采用的是海森堡表象（Heisenberg picture），其中力学量随时间变化，而量子态（希尔伯特空间中的基矢）不随时间变化，所以用矩阵可以写出海森堡运动方程。
波动力学的核心是薛定谔方程，是一个非常典型的偏微分方程。因为那个年代之前物理学家们对偏微分方程的掌握普遍比矩阵好，所以薛定谔方程受到了更广泛的欢迎，直到现在量子力学教材也都以讲授薛定谔方程为主。波动力学的采用的就是薛定谔表象（Schrodinger picture），其中力学量不随时间变化，而量子态随时间变化。薛定谔很快证明了薛定谔表象和海森堡表象是等价的，因此薛定谔方程和海森堡运动方程也是等价的。
后来狄拉克发明了取薛定谔表象和海森堡表象各自优点的“相互作用表象”（interaction picture），当然也是和两者是等价的，并且求解具体模型时用起来更方便。现在无论是量子场论里的粒子散射，量子光学里的光与原子相互作用模型，量子化学计算，还是凝聚态物理里的量子多体理论模型等，大多用的是相互作用表象，这就要求你对线性代数和偏微分方程都要非常熟悉，并熟练运用。
九维空间
这是个相当专业的问题。是的，在某种意义上，初学量子力学应该以线性代数为主，而不是微分方程（更不用说偏微分方程）。
这里说的线性代数，指的是量子力学中这些要点：
一个体系的全部信息，都包含在它的量子状态中（这话的意思是，任何一个可测量的物理量，都可以通过对这个量子状态做一系列计算得到）；
一个量子状态，对应于一个态空间中的矢量；
两个矢量可以进行相加运算，也可以把一个矢量乘以一个常数，加法和乘法的结果仍然是这个态空间里的矢量；
两个矢量可以进行点乘（dot product）运算，得到一个数，称为它们的内积；
每一个可测量的物理量，都对应于一个算符（operator），更具体地说，是一个厄米（Hermitian）算符，意思就是对这个算符做转置再做复共轭，就会回到这个算符自身。为什么可测量的物理量对应的都是厄米算符呢？因为物理量的测量值必然是实数，而厄米算符的本征值（eigenvalue）也必然是实数，这样两者才能对应上；
每一个厄米算符，都对应着一系列本征矢量（eigenvector）和相应的本征值，这些本征矢量构成这个态空间的一组基，也就是说，态空间中的每一个矢量都可以表示成这些本征矢量的线性叠加；
对一个量子状态测量某个物理量时，得到的结果必然是这个物理量对应的某个本征矢量，而得到这个本征矢量的几率等于最初的量子态与最终的本征态之间的内积的绝对值平方……
所有这些要点，都是非常基本而革命性的，思维方式和经典力学或者日常直觉完全不同。
而学量子力学的一个常见的毛病，就是一头扎进薛定谔方程的求解当中。那你有无穷的细节可以推敲了，一时半会出不来：一维无限深方势阱怎么求，一维有限深方势阱怎么求，球形势阱怎么求，势阱中间加个delta函数怎么求，氢原子怎么求，氢分子离子怎么求，氦原子怎么求，氢分子怎么求，一般性的分子体系怎么求……
问题在于，你干嘛要一上来就知道这么多数学技巧？！如果你不会解这些微分方程，难道你对量子力学就一无所知了吗？常有的一种情况是，解起具体的方程来一套一套的，说到量子力学的整体框架反而错误百出。当然，更常见的情况是，直接被微分方程吓跑了，量子力学根本学不下去。
既然如此，何不先把用线性代数语言表示的量子力学基本框架搞清楚？在这方面，狄拉克的名著《量子力学原理》就非常值得推荐。
《量子力学原理》
