今天要講的是宋元數學四大家的第三位--南宋數學家--楊輝。我們對於楊輝的瞭解主要來自於以他命名的二次項係數--楊輝三角，然而楊輝的貢獻遠不止於這一個。他是我國傑出的數學家和教育家，在很多方面都做出過重大的貢獻，且聽科普君一一道來。
楊輝
楊輝的生卒年我們並不是很清楚，根據他的作品的時間來推測他生活的年代大概是在南宋中後期，他出生在錢塘一帶。楊輝一生著述甚多，共有數學著作五種二十一卷。其中包括《詳解九章算法》十二卷、《日用算法》二卷、《乘除通變本末》三卷、《田畝比類乘除算法》二卷和《續古摘奇算法》二卷。其中《詳解九章算法》現在只有殘本，而《日用算法》已經完全散佚，後三本書現在總稱為《楊輝算法》，還保存得比較完善。
楊輝在《詳解九章算法》中畫了一張表示二項式展開後的係數構成的三角圖形，稱做"開方做法本源"，現在簡稱為"楊輝三角"。楊輝三角最本質的特徵是，它的兩條斜邊都是由數字1組成的，而其餘的數則是等於它肩上的兩個數之和。
利用計算機程序輸出的楊輝三角
在《乘除通變本末》中，楊輝在總結民間對等算乘除法的改進上作出了重大貢獻。他提出了以加減代乘除、求一、九歸等各種計算方法。在楊輝生活的南宋時代，商業貿易發達，因此對於如何快速進行算術運算產生了實質性的要求。因此，楊輝在前人的基礎上總結出了"相乘六法"：一曰"單因"，即乘數為一位數的乘法；二曰"重因"，即乘數可分解為兩個一位數的乘積的乘法；三曰"身前因"，即乘數末位為一的兩位數乘法，比如257×21=257×20+257，實際上，身前因就是通過乘法分配律將多位數乘法化為一位數乘法和加法來完成。四曰"相乘"，即通常的乘法；五曰"重乘"，就是乘數可分解為兩因數的積，作兩次相乘，比如15×12=15×3×4；六曰"損乘"，是一種以減代乘法，比如，當乘數為9、8、7時，可以10倍被乘數中，減去被乘數的1、2、3倍。楊輝還進一步發展了唐宋相傳的求一算法，總結出了"乘算加法五術"、"除算減法四術"。求一實際上就是通過倍、折、因將乘除數首位化為1，從而用加減代乘除。楊輝的"乘算加算加法五術"，即"加一位"、"加二位"、"重加"、"加隔位"、"連身加"。乘數為11至19的，用加一位；乘數為101至199的，用加二位法；乘數可分為兩因數的積，且可用加一或加二時，稱為重加；乘數為101至109時，用隔位加；乘數為21至29、201至299時，用連身加。
楊輝的著作
在《續古摘奇算法》中，楊輝提出了"縱橫圖"的概念。所謂的"縱橫圖"就是幻方，從東漢開始就存在的一種圖形，比如註明的九宮格，實際上就是三階幻方。因為跟河圖洛書等東西結合在了一起，所以一直覆蓋著一種神秘的色彩。楊輝在書中給出了從3階一直到10階的幻方13個，其他的縱橫圖6中，還給出了一些圖的變換和構造之法，徹底打破了幻方的神秘性，為後世算學家關於幻方的研究開創了一條道路。
8階幻方
楊輝的另一個重要成果就是"堆垛術"，在《田畝比類乘除捷法》和《乘除通變本末》中都講到了"堆垛術"。所謂的"堆垛術"就是在沈括"隙積術"的基礎上發展而來的關於高階等差數列的求和算法問題。
堆垛術
另外，楊輝還在《田畝比類乘除捷法》中提出了高次方程的解法問題。在書中，他提到了幾個具有開創性的成果：解有一次項的二次方程的詳細過程；解二次項係數為負的二次方程；解一次項係數為負的二次方程；解四次項係數為負的四次方程的正根。楊輝還在書中給出了二次方程的"演段"，即對解方程各部分算法或列方程過程所作的幾何解釋，這個十分重要。由於中國古代數學著作中，一般不會列出方程過程或者解法的證明，所以這種"演段"就使得方程的解法顯得十分的形象。
楊輝不但是一個數學家，更是一個教育家，他一生致力於數學教育和數學普及，其著述有很多是為了數學教育和普及而寫。《算法通變本末》中載有楊輝專門為初學者制訂的"習算綱目"，它集中體現了楊輝的數學教育思想和方法。
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