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邁克爾 • 阿蒂亞爵士（Sir Michael Atiyah, 1929-），英國數學家，主要研究領域為幾何學，被譽為當代最偉大的數學家之一。1966 年獲菲爾茲獎；2004 年獲阿貝爾獎。曾任英國皇家學會會長。
給年輕數學家的忠告
--邁克爾 • 阿蒂亞
動機
一個數學家做研究，就像一個充滿創造力的藝術家一樣，必須對所研究的對象極其感興趣，全神貫注。如果沒有強烈的內在動機，你就不可能成功。即使你只是一名數學愛好者，你從解決困難問題中得到的滿足感也是巨大的。
研究的頭一兩年是最為困難的。有那麼多的東西要學習，甚至有一些小問題你都無法解決，這樣你就會非常懷疑自己證明新定理的能力。在我從事研究的第二年，我順利度過了這一艱難 的時期。塞爾 (Jean-Pierre Serre) 也許是我們這一代數學家中最傑出的一位，就是他也曾經跟我 講過，他在一段時間裡認真地想過是否要放棄數學。
只有凡夫俗子才最相信自己的能力。你越是出色，你為自己定的標準就越高——你可以預見那些不在你目前力所能及範圍內的更遠目標。
許多有可能成為數學家的人也具有從事其他行業的能力與興趣，他們可能都會面臨著非常艱難的選擇：是準備成為一名數學家還是做其他的什麼職業。據說偉大的高斯就曾在數學和語言學之間來回搖擺，帕斯卡早年為了研究神學曾經放棄數學，而笛卡爾和萊布尼茨同樣也是著名的哲學家。一些數學家後來成了物理學家（例如戴森 (Freeman Dyson)），而另一些人正好相反（例如 錢德拉 (Harish Chandra)、博特 (Raoul Bott)），他們從物理學家變成了數學家。你不能將數學看成一個封閉的系統，數學與其他學科之間的相互作用不論對個人還是對社會來說都是健康的。
心理方面
由於在數學中需要精神高度集中，由此產生的心理壓力是相當大的，即使是在研究比較順 利的時候也是如此。這個問題是大是小主要看你的性格，不過可以採取措施來降低緊張的情緒。 與同學的交流——聽講座、參加討論班和會議等——都有利於開拓視野和獲得很重要的群體支持。過分的孤獨與深思可能是比較危險的，有時候表面上看來是散漫的閒談其實並不是在浪費時間。
一開始的時候，與同學或者導師進行合作研究有許多好處，並且與別人的長時段合作會使人感到特別有信心，無論是在數學方面還是在個人交往方面。當然，個人獨自安靜的思考總是需要的，不過同朋友們的思想交流與討論會更有助於這種思考，所以也是不可缺少的。
解決問題還是創建理論
數學家們有時可以被分為“問題解決者”或者“理論創建者”。雖然確實有比較極端的例 子顯示了這種差別（例如愛爾迪希（Paul Erdös）與格羅滕迪克（Alexande Grothendieck）就 是一對），但是絕大多數的數學家都處於他們中間的某個位置，他們同時在解決問題和發展某 個理論。實際上，如果一個理論沒有導致具體的有趣問題的解決，那麼就不值得去建立它。反過來，對於任何真正意義上的深刻問題，在解決它們的過程中總能刺激相關理論的發展（費馬大定理就是一個經典的例子）。
這對一個初學者來說有什麼啟示？雖然人們不得不去讀那些書本和論文，以吸收通常的概念與理論方法，但是實際上初學者必須學會去關注一個或更多個具體的問題。這些問題可以讓人深思，可以磨礪人們的勇氣。一個經過人們仔細研究和理解透徹的特定問題也是檢驗一個理論是否有效的非常有價值的試金石。
根據研究過程的不同，最後形成的博士論文可能會拋開絕大多數理論的外衣而聚焦於一些本質上的具體問題，也可能是建立一個較為寬廣的理論框架使得具體問題納入其中。
好奇心的作用
驅使人們進行研究的原始動力就是好奇心。一個特定的結論什麼時候成立？那是一個最好的證明抑或還有更自然、更簡潔的證明？使得結論成立的最一般的情形是什麼？
如果你在閱讀論文或在聽講座時，總是問自己這樣的問題，那麼或早或遲答案會隱約浮現——包括一些可能的探索路徑。每當這種情形出現時，我就會抽出時間努力追蹤這種想法， 看它會引到哪裡，或者是否經得起仔細琢磨。儘管通常來說十有八九會進入死衚衕，但偶爾一 次會發現金子。困難在於我們不知道什麼時候該停止，有些起初看起來是有效的想法實際上根 本沒用。這時就應該果斷脫身，回到主要的道路上來。人們常常會很猶豫作出這樣的決定，事實上我就是經常回到先前已經丟棄了的想法上來，嘗試用另外一種方法來解決問題。
令人想象不到的是，好的想法也會產生於一個不好的講座或討論班。在聽報告的時候， 我經常發現，結果很漂亮，但是證明卻很複雜和煩瑣。此時我就不會再跟著黑板上的證明， 而是在接下來的時間裡去構思一個更簡潔的證明。雖然這通常來說不太成功，但至少我更好 地度過了我的時間，因為我已經用我自己的方式努力地想過這個問題。這遠勝過被動地跟隨 別人的思考。
例子
如果你像我一樣，喜歡宏大的和強有力的理論（我雖然受格羅滕迪克的影響，但我不是他 的信徒），那麼你就必須學會將這些理論運用到簡單的例子上，以檢驗理論的一般性結論。多年以來，我已經構造了一大批這樣的例子，它們來自各個分支領域。通過這些例子，我們可以進行具體的計算，有時還能得到詳盡的公式，從而幫助我們更好地理解一般性的理論。它們可以讓你腳踏實地。
非常有意思的是，雖然格羅滕迪克排斥例子，但是很幸運地是他和塞爾有著非常緊密的合作關係，而後者能夠彌補他在例子方面的不足。當然在例子與理論之間也沒有一條明確的分界線。我喜歡的許多例子都是來自於我早年在經典射影幾何中所受到的訓練 ：三次扭曲線、二次曲面或者三維空間中直線的克萊因（Klein）表示等。
再沒有比這些例子更具體和更經典了，它們不僅都可以同時用代數的方式和幾何的方式來進行研究，而且它們每一個都是一大類例子中開頭的一個（例子一多慢慢就變成了理論），它們中的每一個都很好地解釋了以下這些理論 ：有理曲線的理論、齊性空間的理論或者格拉斯曼流形 (Grassmannians) 的理論。
例子的另一個作用是它們可以指向不同的研究方向。一個例子可以用幾種不同的方式加以 推廣，或用來說明幾種不同的原理。例如一條經典的二次曲線不僅是一條有理曲線，同時又是 一個二次超曲面（quadric），或者是一個格拉斯曼流形等。
當然最重要的是，一個好例子就是一件美麗珍寶。它光彩照人，令人信服。它讓人洞察和理解。它是（我們對數學理論）信仰的基石。
證明
我們所受到的教育告訴我們，“證明”是數學中最重要的事情，用公理和命題小心編織起來的歐幾里得幾何體系提供了自文藝復興以來現代思想的基本框架。相比於其他自然科學家們做實驗的檢驗方法，數學家們為他們絕對準確無誤的定理而感到自豪，更不要說在其他領域裡那些模模糊糊的思維方式了。
但是自從哥德爾（Kurt Gödel）（發現不完全性定理）以來，數學的絕對真理地位確實發生了動搖，此外繁複冗長的計算機證明的出現也使數學家們的態度變得更謙卑一些。但是不管怎樣，證明還是保持著它在數學中的主要作用，如果在你的論文中，你的證明有一個比較嚴重的漏洞，那麼將直接導致退稿。
然而，如果將數學中的全部研究工作僅僅等同於不斷作出各種證明的過程，那麼你就錯了。實際上人們可以說，數學研究中真正帶有創造性的那部分工作在寫證明的階段之前就已經完成了。對於後面這個“證明階段”，我們可以打一個比方 ：就好比你是在寫劇本，必須要從事先的構想出發，發展情節，寫出對話，包括給出舞臺指導等。最後形成的劇本就可以看成是“證明”： 它是事先構想的具體實現。
在數學中，一般是先有思想和概念，然後再提出問題。接下來就開始對問題解答的探尋，人們尋找某種方法或者策略。一旦你自己相信這是一個恰當的問題，並且你又有對此問題合適的工具，那麼你接著就會開始努力思索證明的具體技術細節。
但不久你會意識到（也許是通過反例發現）問題提出的方式不對。有時候，在初始的想法 與最終的結論之間有較大的反差。你沒有注意到一些隱含的假設，或忽略了某個技術細節，或者你考慮的情形太一般。然後你不得不回過頭來，重新修改提出你的問題。如果有人說數學家們總 是控制他們提出的問題，以便他們得到答案，這是不公平的誇大其詞，但也不是完全沒有道理。 能夠提出一些既有趣又可以被解決的問題，是數學中一種高超的藝術，數學本身其實就是一種藝術。
證明實際上是創造性想象和不斷反思推理之間長期相互作用的最終結果。如果沒有證明，數學的研究是不完整的，反之，如果沒有想象，則研究無從談起。在這裡人們可以看到和其他領域中創造性藝術家（例如作家、畫家、作曲家或建築師）工作的一個相似情形。先有一個幻象，然後發展成一個思路，再不斷試驗展開，最後便是漫長的藝術品總裝完成的技術性過程。技術與幻象之間必須保持接觸，各自按照自己的方式不斷地修正另外一方。
策略
在上一節中，我討論了對於證明的看法，以及它在整個創造性過程中的作用。現在讓我們轉向一個對於年輕的數學家們來說最實際的問題。人們應採取什麼策略？你怎樣做，才能夠找到一個證明？
這個問題如果泛泛而談的話，沒有多大意義。就像我在前面說過的那樣，每一個好問題都有它的起源 ：它來自於某個背景，它有自己的根。為了使問題能夠得到進展，你必須要透徹地理解這些根源。這就是為什麼發現你自己的問題、提出你自己的想法總是比從你導師那裡得到問題要好的緣故。如果你知道一個問題是從哪裡來的，為什麼要問這個問題，那麼你就已經成功了一半。實際上，問一個正確的問題常常和解決這個問題一樣困難。找到正確的問題背景是首要的一步。
因此，簡要地說，你需要對這個問題的歷史有一個很好的瞭解。你應當知道解決類似的問題是採用什麼方法，以及這些方法的侷限性又在哪裡。
當你被一個問題完全吸引時，應該立即全力以赴地思考這個問題。為了得到解答，除了全力投入外別無他法。你應當考察特殊的情形，以便確定主要困難出現在什麼地方。你對問題的背景和先前的解決方法瞭解得越多，你能夠嘗試的技巧與方法也就越多。另一方面，有時候對 問題與方法的無知也是一件好事情。
曾有報道說李特爾伍德 (J. E. Littlewood) 讓他的每一個研究生都分別做一個將黎曼猜想裝扮起來的問題，直到他們在六個月之後，才知道了真相。他的理由是學生們不會有自信去直接攻克這麼有名的難題，但是如果他們不知道他們的對手是大名鼎鼎的黎曼的話，也許他們會獲得進展！儘管這種策略不大可能產生一個黎曼猜想的證明，卻能夠產生一批生氣勃勃、敢於攻堅克難的學生。
我自己的方法是儘量避免直接攻擊，努力尋找間接的途徑。這是因為，將你的問題與各個不同領域中的思想與方法聯繫起來，可能會帶來令人意想不到的結果。如果這個策略成功的話， 它將會導致一個非常漂亮的簡單證明，同時也“解釋”了為什麼事情能夠成立的原因。實際上我相信 ：努力地去尋找這樣一種解釋和理解，是我們真正應該達到的目標。證明可以看成是這個過程的一部分，有時也是這個過程的結果。
拓展你的視野也是你尋找新方法任務中的一部分。與人交談會提升你的數學素養水平，並 且有時會給你帶來新思想和新方法。你很有可能由此而獲得關於你自己研究的一個有價值的想 法，甚至是一個新的方向。
如果你需要學習一個新的課題，除了學習文獻之外，最好是能找到這方面的一個比較友善的專家，“從他的嘴裡”獲取教益——口頭的講解更簡潔明快。
在向前看並經常注意新發展的同時，你也不應該忘記過去。在過去的年代中，有許多非常有價值的數學成果被塵封和遺忘了，它們只有被重新發現的時候才顯露出光芒。這些結果不容易被發現，部分原因是因為數學的術語和風格改變了，但是它們確確實實是金礦。如果你遇到這樣的金礦，你應該要感到非常幸運，你必須報答那些開拓者。
獨立或合作
在開始你的研究之前， 你與你導師之間的關係是至關重要的， 因此要小心地選擇你的導師，包括他所研究的方向、 人品以及以往的研究工作等都要考慮。 當然很少有導師在這三個方面都令人滿意。接下來，如果事情在頭一兩年進行得並不順利，或者你的興趣發生了明顯轉移，則應該毫不猶豫地調換你的導師，甚至是你的大學。這不會冒犯你的導師，或許也是他的解脫！
有的時候，你可能是比較大的研究小組中的一個成員，並且與其他成員也有交流的機會，所以實際上你有不止一個的導師。這可以提供其他的思想來源，以及另外不同的工作方式，這些都是有幫助的。在這樣一些大的群體中，你也可以從你的同學那裡學到許多，這就是為什麼選擇一個包含有大的研究生院的數學系是一個好主意的緣故。
當你一旦完成了你的博士論文後，你的研究就進入了一個新的階段。儘管你可以繼續與你的導師進行合作， 待在原來的研究群體中，但是為了你以後進一步的發展，比較健康的做法是用一年或更多的時間去另外的一個地方。這可以讓你接受新思想的影響，並獲得更多的機會。
現在是這樣一個時代：你可以有機會在大千數學世界中為自己找到一個位置。一般來講，在一個相當長的時間裡，繼續太緊密地停留在你博士論文的課題上不是一個好的主意。你必須要“另立門派” ，以顯示你的獨立性。這不必在研究的方向上作劇烈的改變，只是應該要有確確實實新穎的地方，而不是你博士論文的簡單的常規延續。
風格
在你寫論文的時候， 你的導師通常會指導你如何安排文章的結構和呈現的方式。 然而在你的數學研究中也非常需要你自己的個人風格。 雖然對於各種類型的數學來說， 這方面的要求有所不同， 但還是有許多方面的要求適用於所有的數學分支學科。 以下便是對怎樣寫出一篇好論文的幾點提示。
(1) 在你開始寫作之前， 先通盤考慮好整個論文的邏輯結構。
(2) 將很長的複雜證明分成比較短的中間步驟（ 如引理、 命題等）， 這會幫助讀者閱讀。
(3) 寫通順簡明的英語（ 或者你選擇的語言）。 請記住數學也是文學的一種表現形式。
(4) 儘可能地簡明扼要， 同時又要敘述清楚。 要保持這樣的平衡是很困難的。
(5) 儘量將論文寫成和你所喜歡閱讀的論文一樣， 並模仿它們的風格。
(6) 當你已經完成了你論文的主要部分後， 回過頭來認真地寫一篇引言， 在其中要清楚地解釋論文的結構和主要結果， 以及一般的來源背景。 要避免不必要的含糊深奧， 要面向一般的數學讀者， 而不只是少數的專家。
(7) 試著將你的論文初稿讓一個同事閱讀， 並留意任何的建議或評論。 如果你最親近的朋友與合作者都無法理解你的論文， 那麼你就已經失敗了， 你需要加倍地努力。
(8) 如果不是非常急著出版， 那麼將你的論文丟在一邊幾個星期， 做其他的事情。 然後再以一種新鮮的視角重新來閱讀你的論文， 會有一種全然不同的感覺， 你將知道怎樣去修改它。
(9) 如果你相信重寫論文會更加清楚、 更容易閱讀， 那麼你就不要吝嗇將論文重新寫一遍，也許站在一個全新的角度看得更清楚。 寫得好的論文將成為“經典” ， 被將來的數學家們廣泛閱讀。
本文摘自：《數學教育》
譯 者：陳躍
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