中點策略：倍長構造8字型全等，構造中位線以及利用直角三角形斜邊中線性質。本期用兩種解法向同學們講述一道經典好題，再次領略如何巧妙的利用中點條件。
【例】（1）如圖①，△ABC,△DCE均為等腰直角三角形，∠BAC=∠EDC=90°，B,C,E在同一直線上，P為BE的中點，求證:AP=DP
（2）如圖，已知△ABC∽△DEC，∠BAC=∠EDC=90°，B,C,E在同一直線上，P為BE的中點，求證:AP=DP
（3）如圖，已知△ABC∽△DEC，∠BAC=∠EDC=90°，B,C,E三點不在同一直線上，P為BE的中點，求證：AP=DP
解法一：（添加斜邊中線）
（1）作AG⊥BE，DH⊥BC
∵G為BC中點，H為EC中點
∴GH=0.5BE
∵P為BE中點
∴BP=PE=GH
∴BG=AG=PH, EH=DH=GP
∴Rt△AGP≌Rt△PHD
∴AP=DP
（2）取BC中點G, EC中點H,連AG,DH
同（1）有AG=PH, GP=DH
∵∠AGP=2∠B，∠DHP=2∠E
又∵∠B=∠E
∴∠AGP=∠DHP
∴△AGP≌△PHD
∴AP=DP
（3）取BC中點G,EC中點H，連AG,GP,DH,PH
易證四邊形PHCG為平行四邊形
且PG=CH=DH, PH=CG=AG
同（2）有∠AGC=∠DHC
又∵∠CGP=∠CHP
∴∠AGP=∠DHP
∴△AGP≌△PHD
∴AP=DP
解法二：（倍長中線）
（1）延長DP到F，使DP=PF,連BF,AF,AD
易證△ABF≌△ACD
∴∠BAF=∠DAC
∴∠FAD=90°,△FAD為Rt△
∵P為FD中點
∴AP=DP
（2）延長DP到F，使DP=PF,連BF,AF,AD
∵△ABC∽△DEC
∴AB:AC=DE:DC
∵DE=BF
∴AB:AC=BF:DC
∵∠ACD=180°-∠DCE-∠ACB=180°-2∠ACB
∠ABF=∠ABC+∠CBF=2∠ABC=180°-2∠ACB
∴∠ACD=∠ABF
∴△ABF∽△ACD
∴∠BAF=∠CAD
∴∠FAD=90°，即△AFD為Rt△
∵P為FD中點
∴AP=DP
（3）延長DP到F，使DP=PF,連BF,AF,AD
與（2）同理，AB:BF=AC:CD
下面證夾角相等
∵∠ACD=360°-∠ACB-∠DCE-∠BCE
=360°-2∠ACB-（180°-∠CBE-∠CEB）
=360-2(90°-∠ABC）-180°+∠CBE+∠CEB
=2∠ABC+∠CBE+∠CEB
∠ABF=∠ABC+∠CBE+∠FBP
=∠ABC+∠CBE+∠DEP
=∠ABC+∠CBE+∠DEC+∠CEB
=2∠ABC+∠CBE+∠CEB
∴∠ACD=∠ABF
∴△ABF∽△ACD
∴∠BAF=∠CAD
∴∠FAD=90°，即△AFD為Rt△
∵P為FD中點
∴AP=DP
解題感悟：
本例較好的體現了中點的策略，方法一通過添加斜邊中線構造全等三角形，其中第（3）問還構造了中位線；方法二則通過倍長中線，構造全等或相似，其中相似的原理均為兩邊成比例且夾角相等。無論是方法一還是方法二，都是解答本例的通法，這也說明，在平時訓練中，倘若遇到的幾何綜合題具備本例體現的從特殊到一般，一題多變的氣質，只要找到合適的通法，解答它的若干小問會相對較輕鬆一些，思路也將更暢通一些。
見到中點有三法，一是倍長中線法，二是斜邊中線法， 三是兩邊中點相連法。
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