π 的來源與計算
數學中，幾乎沒有哪一個常數能像 π 一樣擁有豐富的研究歷史。早在兩千多年以前，人們就在對圓的研究中發現了 π，因此 π 又稱為圓周率。在求圓的面積和周長的過程中，人們遇到了兩大難題：如何求圓的面積與半徑平方之比；如何求圓的周長與直徑之比。當時人們並不知道它們是相等的。直到公元前 3 世紀，古希臘數學家阿基米德才在其手稿《圓的測量》中給出了它們的關係：
任何一個圓的面積都可以等於一個直角三角形的面積，這個直角三角形的一條直角邊為圓的半徑，另一條直角邊為圓的周長。
通過上面的命題，阿基米德便將圓的周長、面積和半徑聯繫起來，從而可以推出圓的面積與半徑平方之比和圓的周長與直徑之比是相等的。正是這一命題，讓 π 的概念懷胎形成，他將人們遇到了兩大難題合二為一。在上述命題的基礎之上，阿基米德證明了:
在《九章算術》中，我國數學家也對 π 進行了估計。文中有這樣一個問題：設有一圓形土地，其周長為 181 步，其直徑為 60+1/3步，求其面積。《九章算術》的解法為：“取周長之半乘以半徑，即得圓之面積，以步記之。”這些描述與阿基米德的命題幾乎如出一轍。《九章算術》也給出了 π 的估計：π = 3。
到了公元 3 世紀（約東漢年間），劉徽在點評《九章算術》時指出：π = 3 是不對的，因為正六邊形的周長與直徑之比為 3, 而正六邊形的周長顯然小於對應圓的周長。劉徽這樣寫道：“圓與正多邊形之間的差別正如弓與弦之間的差別，兩者永遠不會重合，然而這樣一個錯誤卻被代代相傳，誰也沒有花心思加以檢查。”劉徽正式將 π 稱為圓周率，並用內接正 96 邊形的周長來近似圓的周長，從而得到了圓周率的估計：
顯然，這一估計與阿基米德的估計 (1.40) 非常吻合。劉徽和阿基米德，兩位偉大的數學家，儘管時隔百年，天各一方，但卻有著完全相同的想法，這是多麼令人吃驚的事實啊！
劉徽求取 π 的辦法稱為“割圓術”。在圓內做正多邊形，邊數越多，它的周長就和圓的周長越接近，從而得到更精確的圓周率。劉徽可謂數學痴才，他並沒有像阿基米德一樣就此止步，竟然做到了正 3072 邊形，得到了如下結果：
而 3.1416 正式我們現在使用的 π 的標準近似值。或許劉徽就是使用標準近似值的第一人。
在祖沖之（429-500）面前，劉徽的正 3072 邊形或許只是小兒科，祖沖之推廣了劉徽的“割圓術”，做到了圓的內接正 49152 邊形，得到了著名的圓周率估計：在 3.1415926 和 3.1415927 這兩個數之間。祖沖之是世界上第一個計算圓周率精確到小數點後 7 位的人，比歐州人早了 1000 多年，這是多麼了不起的貢獻啊！
時至今日，我仍然想不出祖沖之計算圓周率的動力何在，或許他們都是數學痴才。他們都為數學而痴狂，這麼做僅僅是出於對數學的痴愛吧。歷史上類似的痴才還有很多，英格蘭有個業餘數學家 William Shanks(1812-1882) 可謂當之無愧的數學痴人，他竟然計算了 π 的 707 位數值。然而悲催的是這哥們在計算第 527 位時犯了悲劇性錯誤，因此後面的一百多位數全錯了。當時還沒有計算機，能算到如此多位數，究竟是什麼動力在支持他做如此巨量的數學計算呢？這實在令人費解。現在，藉助於計算機，計算 π 的位數已經突破一萬億大關。
神秘莫測的 π
“割圓術”僅僅是計算 π 的一個小技巧，遠遠沒有觸及 π 的奧妙。大約在1500 年以前印度有位佚名數學家發現了一個優美的公式，掀開了 π 的神秘一角。
π 可以看作是一個幾何概念，來源於圓的面積和周長的計算；π 還是一個重要的常數，在數論中有重要的地位；而 (1.43) 還用到了級數這個數學工具。因此公式(1.43) 是如此之優美，三條浩瀚的數學支流在這裡匯合：幾何，數論和分析學。從不同的數學分支來看這一公式，會有不同的體會。可謂橫看成嶺、側看成峰、優美至極！看到這樣的公式之後，阿基米德，祖沖之和劉徽想必會目瞪口呆！
微積分發現之後，尋找 π 的類似於 (1.43) 的表達式變的相對容易了。歐拉在 1734 年證明了：
等式 (1.44) 的右端正是大名鼎鼎的黎曼猜想中 ζ 函數在 x = 2 處的值，即
誰能知道 π 之後是否隱藏著打開黎曼猜想的鑰匙呢！對於每一個大於 1 的正整數 k, 如何具體地求出 ζ(k) 是極其困難的，至今仍未徹底解決。萊布尼茲和貝努利等數學家都曾經嘗試求 ζ(2)，但都沒有成功。
即使在數學已經高度發達的今天，π 仍然還有很多不為人們所知的事實。1995 年，貝利 (David Bailey,1948-)，波溫 (Peter Borwein,1953-) 和普勞夫 (Simon Plouffe, 1956-)發現了一個關於π 的全新公式，它或許有資格和歐拉發現的(1.44)相媲美。這個公式的奇妙之處在於它具有“自我修正”功能。也就是說，當你像前文那個被催數學家 William Shanks 一樣在計算 527 位出錯時，你後面的計算仍然有效。就像 GPS 導航一樣，當你某一步走錯時，導航還會把你糾正到正確的軌道上來。這一點真的讓人匪夷所思。
π 的無理性和超越性
除了上面的討論之外，數字 π 還隱藏著更深層次的秘密。它不但是無理數而且還是超越數[註記1]。 古代數學家們對 π 是無理數的事實失之交臂，因此失掉了完備化實數的機會。1761 年德國數學家蘭伯特 (Lambert, 1728-1777) 證明了 π 確實是無理數。林德曼 (Ferdinand Lindermann,1852-1939) 證明了 π 是超越數。這樣，林德曼解決了古希臘人提出的化圓為方的問題，即：是否能夠僅僅通過簡單的幾何操作花出一個正方形，使其面積恰好等於一個已知圓。
下面我們給出 π 是無理數的一個簡潔而又巧妙的證明。讓我們通過這個證明來體會數學的優美和巧妙吧。
我們用反證法. 如果 π 為有理數, 令 π = a/b, 其中 a,b 均為整數且 b > 0. 對任意正整數 n, 構造多項式
我們先來研究該多項式的各階導數在 x = 0 以及 x = π 處的值.為此, 先回憶一下一個多項式的係數與其各階導數的關係. 假設
讀者可能會感到這個證明太有些突發奇想甚至於不可思議了, 怎麼就會想到構造那麼一個多項式 f(x) 呢? 我們要說的是, 這個所謂過於靈巧的證明, 實際上也是經過了幾代數學家的集體努力和共同探索, 最後才找到和定型的, 它是集體智慧的結晶.
[註記1]實數可以分成有理數和無理數兩大類, 但每個無理數是否都能由有理數的代數運算而得到,亦即每個無理數是否都是有理係數多項式的根這樣一個基本問題直到 19 世紀中葉仍然沒有得到解決. 如果一個數能是某個整係數多項式的根, 則稱該數為代數數, 否則就稱為超越數.
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