AI 科技評論按：這個中秋，關心學術的小夥伴們看到的最多的消息大概就是英國數學家 Michael Atiyah 爵士宣佈自己證明了黎曼猜想。如果這是真的，Atiyah 爵士將不僅獲得由克雷數學研究所懸賞的一百萬美金獎勵，更是他個人的至高榮譽和整個數學界的狂歡。
然而，根據我們目前的瞭解，Atiyah 爵士極有可能是在自娛自樂逗大家玩……
黎曼函數和黎曼猜想簡介
大家這幾天應該被動惡補了不少黎曼函數和黎曼猜想的介紹了，這裡 AI 科技評論還是不厭其煩地再簡單說下。
首先有無窮級數 ζ(s)
當 s 取 1 時，它就是調和級數 1+1/2+1/3+1/4+...，算數意義上不收斂。s = 2 時，級數收斂於 π2/6。等等。
當 s 的取值為複數 s=x+iy 時，它會把複平面上的點 s(x,iy) 映射到另一點 s'(x',iy')。我們注意到這個級數要求 s 的實部大於 1（x>1），否則這個級數不收斂，也就沒有我們熟悉的數值和結果。
ζ(s) 在複平面上的圖像，Re(s) >1，此時圖像全部分佈在 Re(ρ)=1/2 線的右側。圖源 3blue1brown
黎曼函數是 ζ(s) 在整個複平面的解析延拓，將 s 的定義域擴展到整個複平面。
黎曼函數在整個複平面上的圖像。圖源 3blue1brown
黎曼在提出黎曼函數時輕鬆地發現，當 s 取負偶數整數時，函數值為零，那麼 s=-2n（n為自然數）就被稱為黎曼函數的平凡零點（平凡表示沒什麼難度的、很容易理解的）。（同時，在解析延拓後的方程中帶入 s=-1，得到 1+2+3+4+... = -1/12；帶入 s=-3，得到 1+23+33+43+... = 1/120。這樣的結果並不是我們熟悉的 1+1=2 那樣的算數和，它只是揭示了等號左邊和右邊的式子有某種我們還不完全理解的聯繫）
另一些零點就沒那麼普通了（非平凡零點），它們是複數，而且有耐人尋味的分佈規律。黎曼在 1859 年《論小於給定數值的素數個數》論文中謹慎地提出了三個命題：
命題一，認為非平凡零點都位於 Re(ρ)=0 到 Re(ρ)=1 的條狀區間內
命題二，認為幾乎所有非平凡零點都位於 Re(ρ)=1/2 的直線上，這條線也被稱為臨界線
命題三，黎曼謹慎地猜測有可能所有非平凡零點都位於 Re(ρ)=1/2 的直線上
Re(ρ)=1/2 經黎曼函數變換後的曲線的一部分。它彎彎曲曲無數次穿過了函數值為 0 的點 —— 通過圖像我們也可以直觀猜測黎曼函數有無窮多個非平凡零點在 Re(ρ)=1/2 的直線上。圖源 3blue1brown
大家應該還聽說過黎曼函數揭示了素數的精細分佈規律，限於學識這裡暫不介紹，有興趣的同學歡迎自行百度盧昌海的《黎曼猜想漫談》。
黎曼猜想證明的進度
黎曼的這篇論文發表於 1859 年。當時的數學家不怎麼喜歡發論文，他們發表的成果只是自己所有研究中的經過深思熟慮、有充足的論據支撐的一小部分。黎曼在當時也是領先於時代的數學家，以致於他的論文發表後，當時的許多數學家連他提出的命題一和二都認為只是黎曼的單方面幻想（黎曼在文中則是由非常肯定的語氣提出的）。由於黎曼猜想的難度之高，數學界做出進展的速度極為遲緩，甚至有觀點認為「如果黎曼是錯的，我們的日子反倒會好過一些」。論文發表 46 年後，數學界終於證明了命題一；73 年後，另一位德國數學家 Siegel 整理黎曼僅存的手稿，讓黎曼當時演算零點所用的公式重見天日（並命名為 Riemann-Siegel 公式），同時震驚了整個數學界，因為
這一公式比 73 年後數學家們所用的公式還要先進；數學界也更加為黎曼的思想以及猜想的前瞻性所折服。藉著這一公式，後來的數學家與計算機科學家們用計算的方法加以驗證，已經驗證了超過前 200 億個非平凡零點都在臨界線上——但數學畢竟不是經驗科學，這並不能證明第三個命題正確。第二個命題（幾乎都位於臨界線上）的證明則推進到「至少有 40% 的非平凡零點在臨界線上」，就再也沒有新的進展了。黎曼猜想，尤其是命題三，仍未得到證明。
一窺前 15 個非平凡零點
回過頭來想想黎曼給出三個命題時的態度，對命題一、二，是十分肯定的預期；而命題三，他也只敢謹慎地猜測。
160 年過去了，數學家們幾乎都相信黎曼猜想是正確的，但還沒有人拿出嚴格的證明。對於黎曼猜想，數學界有兩句調侃：「如果魔鬼與一位數學家做交易，允許他用靈魂交換一個命題的證明，那他大概率會選擇黎曼猜想的證明」，以及「如果 500 年後黎曼活過來了，他要問的第一件事就是『黎曼猜想證明了嗎？』」足見黎曼猜想的崇高地位。實際上，數學界已經有許多新的理論和公式是建立在假設黎曼猜想正確的基礎上的，黎曼猜想一旦證明也是對他們的莫大的鼓舞。
當今的數學家們直覺上就不相信 Michael Atiyah 爵士
經過剛才的背景介紹，大家想必對黎曼猜想證明的難度已經有所感受。簡單明瞭的證明方法如果存在，之前一百多年中的數學家，包括極具遠見的黎曼本人都有極大的可能直接發現它。以近幾十年來證明的重要數學猜想而言，Perelman 證明 Poincare 猜想，三篇論文用了將近 70 頁，而張益唐在給出孿生質數猜想的估計時也寫了將近 60 頁。
而 Atiyah 爵士展現出來的是：一篇長度為 5 頁的論文預印本，其中引用的介紹 Todd 函數的論文也只有 17 頁。以及，介紹自己證明過程的演講中，關於證明過程本身的 PPT 只有一頁。
Atiyah 爵士演講中用到的一頁 PPT
只憑證明長度， Atiyah 爵士就收穫了大多數數學家的質疑。
另一點也引起了直覺上的質疑的是，出生於 1929 年的 Atiyah 爵士如今已經 89 歲高齡。縱觀整個數學史，尚無一位數學家在如此高齡做出這種級別的成果。且 Atiyah 爵士雖然證明了 Atiyah-Singer 指標定理（被譽為上個世紀微分幾何中最重要的定理）並獲得了菲爾茲獎與阿貝爾獎，但一方面他是研究幾何/解析幾何的，黎曼猜想則屬於複分析與數論，處於不同的數學領域；另一方面，據數學博士、前浙大物理學博士後 @賊叉（新浪微博）回憶，「老頭在幾年前嚷嚷著自己證明了 6 維球面上沒有復結構最後卻不了了之」，他認為這次宣告的大新聞可能仍然是鬧笑話。（宣告大新聞在如今的數學界也不是稀罕事，前幾日尼日利亞一位數學教授也宣佈證明了黎曼猜想，浙江大學一位 YinYue Sha 發佈了一份一頁長度的黎曼猜想證明，而日本數學教授望月新一宣告證明 ABC 猜想直到現在也尚未令人信服）
這不是一份嚴謹的證明
除了直覺上對「Atiyah 爵士證明了黎曼猜想」的質疑，針對證明過程本身合理性的質疑也已經出現 —— 這才是真正致命的。
根據 @賊叉 介紹，閱讀 5 頁的預印本以及 17 頁的介紹 Todd 函數的引用論文後，他表示：
事實上，老頭證明的關鍵就是在於使用了一個他稱之為弱解析函數的 Todd 函數。
我們 follow 了他參考文獻中的第二篇論文：THE FINE STRUCTURE CONSTANT，粗粗讀完論文之後，我感覺：
這哪兒是論文啊，這就是一部數學史啊！
在整個 17 頁的論文中，涉及到 Todd 映射的核心內容在 3.4。從 Todd 映射的構造來看，這是一個從複數到複數的映射，並且是個高度的非線性映射。
他給出了一個希爾伯特空間上的 Clifford 代數的無限張量積的弱閉包，這個弱閉包取自兩個希爾伯特空間的張量積。這個希爾伯特空間上的 Clifford 代數的跡誘導出了閉包上的跡，這個閉包的中心通過兩個同構映射的複合能和複數域同構，這樣就完成了 Todd 映射的構造。
後面又介紹了 Todd 多項式的構造。
但是怎麼利用 Todd 映射和 Todd 多項式呢？
反正我是沒找到。
看到前面這一堆術語，估計已經有人想打我了，我就打個比方吧。
說：理論上青銅能做工藝品，你給我做個後母戊方鼎。
工具？略
怎麼做？略
。。。
老頭大概就是玩了這麼個把戲。
他把為什麼 Todd 映射能夠用於黎曼猜想的證明給。。。略了，我只能表示哭笑不得。
數學是一門及其注重嚴謹性的學科，推理過程的每一步都要給出嚴謹的證明，尤其不能越重要的地方越略過。在 @賊叉 看來，這個證明九成九是不行的……
另一位科學松鼠會的 @科普君XueShu（新浪微博） 也給出了自己的意見。根據他的解讀，Atiyah 爵士假定他提出的這個弱解析函數 Todd 函數的某種極限等同於物理學中精細結構常數 α 的倒數，相當於嘗試用這一描述光速、單個電子攜帶電荷數量、普朗克常數之間關係的物理學常數的取值解釋復解析函數的非平凡零點的存在規律 。雖然精細結構常數 α 確實有奇妙的性質，比如它的取值不依賴基本單位大小的選取，而且目前也沒有找到對它的取值 1/137.03599913 的好的理論解釋，另一方面之前也在其他問題中存在物理學方法和純數學方法存在聯繫的例子，但這種跨領域的強加聯繫，未免帶來一種「用量子糾纏得出小孩感冒了可以針灸扎他媽媽」的民科感。
@科普君XueShu 還補充道：
「（精細物理常數）上個世紀剛發現的時候，很多物理學家都想從數學角度給出一個解釋和推導，但後來種種證據表明這個想法完全不靠譜，早已經被扔進了歷史的垃圾堆，雖然目前依然是民科們放飛自我的重災區。
沒想到這次又被Atiyah給翻出來了，還作為一個著名數學猜想證明的重要基礎。
其實這也倒不奇怪，因為Atiyah本人是晚年才開始正式學習物理的，他的物理直覺是臭名昭著得差。他經常突發奇想自以為發現瞭解決某個物理學問題的關鍵，從物理學家的角度看，跟網上常見的民科言論基本沒什麼差別。但凡有點物理學素養的人都能看出其中的荒謬。不過作為他的學生的著名理論物理學家兼數學家愛德華威騰倒是每次都細心地列出一堆理由告訴他為什麼這些想法行不通。每條理由都直擊要害，奈何Atiyah至今仍執迷不悟。」
「數學大帝」丘成桐今天也在「數理人文」公眾號發表原創文章表示：「我問過一批專家，大家都說這篇文章沒有提供一般數學家要求的嚴格性的定理證明.……阿蒂亞教授的論點極為牽強，看不到它的物理或數學上的意義。……有時候不完備的證明也會帶有啟發能力，但是我還沒有看到這篇文章的啟發能力。」
幾乎確定的鬧劇
說到這裡，我們幾乎已經可以確定 Atiyah 爵士並沒能證明黎曼猜想，還惦記著那一百萬美金獎勵的同學可以先喘口氣了。但除了吃瓜和感到滑稽之外，相信很多同學都藉機重新溫習了複分析和級數的知識（比 AI 科技評論的編輯們自己），也對數學領域內許多有趣的方法和猜想有了新的認識；最棒的情況當然是重新發現學習數學的樂趣了。
Atiyah 爵士的名譽倒是不需要我們擔憂，他憑現有的成果和獎項就可以繼續名垂青史。而我們繼續一邊重新學習數學，一邊期待真正嚴謹的、經得起檢驗的黎曼猜想證明出現。
文末推薦兩個關於黎曼函數的科普讀物：
數學科普媒體 3Blue1Brown 的黎曼猜想介紹視頻：https://www.bilibili.com/video/av8726217
盧昌海《黎曼猜想漫談》系列博客。
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