這一次,終於把數學和刷題的關係搞清楚了!

早在去年,率美國奧數隊二次奪冠的羅博深教授,在接受我們採訪時就明確表示“不反對刷題”,當時很多媒體家長還頗感詫異,因為大家通常都會將刷題等同於大量機械做題。六月初,羅教授再次來到#中國數學教育# ,錄製專門為中小學生準備的暑期數學思維訓練營課程。在錄課間隙,就“刷題”問題與羅教授有了一次長聊,也終於搞清楚了刷題與數學學習之間的關係:做題是學習數學的重要方法,刷題並沒有錯,關鍵是刷題的方式。

《從課堂到奧數—初中數學培優競賽講座》(朱華偉)

這一次,終於把數學和刷題的關係搞清楚了!

“刷題”,似乎已經變成了中國的特色詞彙。今年的高考剛剛結束,被稱為“高考工廠”的毛坦廠中學和衡水中學再次成為眾矢之的,這些“超級中學”遭到聲討的原因不外乎其教學制度僵化落後、教學方法上提倡全面題海戰術,也就是我們常說的“刷題”。

沒錯,“刷題”這個詞,起初只是學生們對大量做習題這件事的無意調侃,如今卻已經與“僵化、落後的教學制度”緊緊捆綁在了一起,甚至成為了它們的代名詞。以至於大眾和學生們都對“刷題”避之不及,看到它彷彿看到了一隻早該在十年前就滅絕的怪物。

但是,一個不爭的事實是,在許多中小學裡“刷題”現象依然普遍存在。而如果去採訪中小學生們,哪一門學科是他們“刷題”最多的,數學絕對位列榜首。這些孩子們談“數”色變,主要原因就是源源不斷湧來的數學習題讓他們苦不堪言。

然而,美國著名數學家保羅·哈爾莫斯(Paul Halmos)卻說,學習數學的唯一方法是做數學題

。中國現代數學之父華羅庚在一次與中學教師關於“怎樣學好數學”的講話中也提到,“要儘可能多做些習題”。與外灘教育合作過多次的美國奧數隊總教練、卡內基梅隆大學數學教授羅博深在我們之前的專訪中更是直接說“我不反對刷題”。

這些數學大家們的話讓我不禁思考,也許錯的不是“刷題”,而是我們“刷題”的方式?

六月初,羅博深教授再次來到了外灘教育的演播室,錄製專門為中小學生準備的暑期數學思維訓練營課程。在羅教授即將飛回美國的前幾個小時,我逮住機會,就“刷題”和學好數學這件事,與羅教授聊了聊。

我們的數學教育忽略了“為什麼”

去年7月,羅博深作為美國奧數隊總教練帶領著美國奧數隊衛冕了世界冠軍,對他進行了專訪,也因此與羅教授結緣。隨後,針對中國中小學生最為缺乏的數學思維,我們與他共同開發了一系列在線課程。

《奧林匹克小叢書初中卷》

這一次,終於把數學和刷題的關係搞清楚了!

在製作這一列課程的過程中,羅教授與不同年齡段的中國學生都有了深入的接觸。作為美國大學的數學教授,我很好奇,在他眼裡,這些中國孩子與他以往接觸的美國學生有什麼不同?

他們確實比美國的學生早知道很多數學公式和定理,當然,我認為這是件好事。但是當我問他們對這些公式的原理了解多少時,他們卻說不出什麼,也覺得這是沒有必要去了解的。但當我把原理一一剖析給他們聽,你會發現他們其實非常享受學習原理的過程。”

的確,我們的數學教育似乎一直都把重點放在了“how(怎麼樣)”上,也就是怎樣去解題上。學生們瞭解和掌握諸多解題技巧和套路,並且在大量的習題裡反覆鞏固之。而事實上,在數學教育裡常被我們所忽略的“why(為什麼)”,也許是更為重要的。

羅教授說,在學習數學的初期,這種重視“how”的數學教育模式也許的確可以提升孩子的解題速度,幫助他們在考試中拿到一個不錯的分數。但是到了後期,如果孩子需要學習更多更高級的數學知識,搞清楚“為什麼”才能讓孩子的數學層層積累,層層躍升。

這些中國學生們掌握瞭如此多解題方法,我真的感到很驚歎。而我想要做的,就是把他們原本相互割裂的數學知識串連起來,讓他們發現數學的本質,並從中探尋到為什麼。這也是培養和鍛鍊孩子們數學思維極其重要的一部分。”

學習數學的唯一方法是做數學題

數學不僅是一門重要的學科,還是學習眾多其他學科的基礎。然而,一提到數學,很多孩子都會立刻露出恐懼的神情。我與羅教授開玩笑說,中國的許多孩子面對數學,彷彿“老鼠見了貓”。羅博深笑了笑:“數學其實是最容易學的學科,因為它並沒有太多需要記憶和背的東西,你要做的只是去思考。”

羅博深的回答讓我陷入了深思,因為我知道,對於許多中國學生來說,相比於“思考和探索”,“記憶和重複”似乎才是一件更為容易的事,或者說,是他們更擅長的事。

但其實,這也不能全怪學生們。不少老師在數學課上,會跳過引導孩子思考的過程,直接傳授解題思路。而在之後為了應付考試,讓學生做大量重複的習題,羅教授認為“這是意義不大的”。

人的思考可以分為主動思考和被動思考。而主動思考的效益,是遠遠大於被動思考的。當孩子面對一道數學題,並想辦法解開它的時候,實際上就是沉浸在了主動思考裡,這也是為什麼眾多數學大家們都提倡要多做數學題。

想學好數學是一定要做題的,我並不反對刷題,問題是如何去刷。”羅教授說。

中國式刷題,其實是在記憶和重複

“我來了中國見了很多學生,我發現一些學生好像可以非常快地做題,但是如果他們見到一種題是他們從來沒見過的,他們就說跳過去,換一道。”這是羅教授觀察到的中國式刷題的成果。

想要學好數學,計算能力、邏輯能力、以及抽象能力是缺一不可的。而“中國式刷題”,其實只是在大量地重複已有的邏輯和思維模式,鞏固的只是學生的“計算能力”,而邏輯能力和抽象能力,在這種“刷題”方式下,並沒有辦法得到培養和鍛鍊。

如何正確地“刷題”呢?

羅博深打了個有意思的比方,如果你是一個想健身的人,每天都練習舉20斤的鐵,會使你練成自己滿意的體魄嗎?答案當然是不會。即使你每天做1000遍,也毫無意義。相反,你應該循序漸進,先從20斤開始,然後25斤、30斤、35斤,逐漸增加。

羅博深認為,學習數學也是一樣。刷題的正確姿勢應該是做需要花費一些時間才能解出的題,而非一味地重複做那些做對幾率達到90%以上的題目,因為這就跟每天都舉20斤的鐵一樣意義不大。“你應該做那些只有25%~75%的可能性做對的‘難題’,並花足夠多的時間去思考。這樣即使你最後沒有做出那道題,也比重複做簡單的題有收穫得多。”

在剛錄製完的“暑期數學思維訓練營”的課程裡,羅博深就是這樣做的。“在這次訓練營裡,我精心挑選了二十道‘難題’,孩子們需要獨自花時間去思考、嘗試,然後我才會逐題詳細講解。講解的過程中也是以引導思路為主,講清楚‘why為什麼’,而不只是‘how怎麼做’。”

這與荷蘭著名數學教育家漢斯·弗賴登塔爾(Hans Freudenthal)反覆強調的“學習數學唯一正確的方法是實行‘再創造’”不謀而合,也就是由學生本人自己去發現或者創造要學的東西,教師的任務只是幫助學生去進行這種“再創造”的工作。

在問及為什麼要做這個暑期數學思維訓練營時,羅博深說,他是想利用暑期,給孩子們一個機會去真正的做那些有趣且有難度的題目,而不只是看著他去解釋怎樣做數學。“最重要的就是讓所有的孩子真的去做了,所以我要保證這些題目是足夠吸引人的,但同時也是有一定難度的。”羅教授還強調,給足孩子足夠的時間去嘗試和思考,才是培養和鍛鍊孩子數學思維的好方法。

在“沒做出來的題”中學習數學

但我還是不禁有些擔心,如果按照羅教授的“刷題經”去刷題,孩子因為做不出這些比較難的題目而對數學失去信心了怎麼辦?羅教授一語中的:“如果孩子們的自信因此而消減了,是因為孩子們已經養成了‘如果做數學題,就應該得到 90多分的習慣’,這其實是非常不好的。”

不管學習什麼,如果孩子想要進步和成長,接觸“難”的東西一定是不可避免的。另一方面,羅教授說只有當孩子知道這個問題是簡單的,但依然沒有解答出來,他們的自信心才會受挫。如果孩子們已經被告知這些問題並沒有那麼容易,那麼即使他們做不出來,他們也會覺得這是正常的。

而老師和家長要做的就是引導他們思考從這道“沒做出來的題”中,他們能學到什麼

羅博深還提到,真正的好題,並不是“難”在需要用多麼高深的數學定理去解答。“相反,我挑選的題目只包含了基礎的數學知識,以保證不同年齡段的孩子都可以參與進來。這些題目的“難點”在於,需要孩子們發揮他們的創造力去解決問題。激發孩子們的創造力,從而培養他們的數學思維,這也正是我做這些在線課程和夏令營的目的。”

美國奧數總教練也是“刷題”長大的

聽了羅教授的刷題經,我很好奇,作為卡內基梅隆大學的數學教授、美國奧數隊總教練,他小時候是如何學習數學的?

羅博深說他的父母是新加坡華人,而她媽媽是一名數學教師,“所以在我很小的時候,我媽媽開始教我數學,也是用很典型的亞洲教學法,刷題,也就是做大量的重複的題。”

但當羅博深上高中以後,他參加了大量的數學競賽,逐漸認識到了數學思維的重要性。他還發現,只有當人們真正在解決數學問題的時候,才能培養這種深刻的數學創造思維。

“當你面對一個難題,而沒有人告訴你該怎麼做,你必須變得有創造力然後想辦法解決這個問題。如果你只是在課堂上聽老師告訴你當你遇到問題的時候該如何去做,或者只是做一些簡單重複的題,這都不是在創造,因為你沒有鍛鍊思維的過程了。所以我經常說,解決問題培養創造力,是因為當你看到一個難題,你不知道該怎麼做,所以你必須‘發明’一種方法去解決這個問題,這就是創造力,這就是數學思維。 ”

所以後來,羅教授依然在“刷題”,只不過他可能會花好幾個小時甚至一整天去鑽研一道難題,而不是做重複的無用功。

“中國式刷題”,使得孩子們在大量的重複中形成了各種看似實用的解題“套路”。但一旦孩子們遇到了“套路”之外的東西,他們便舉步維艱。因為這些“套路”,“套”住了孩子們的思維,也“套”住了他們原本活躍充滿創造力的大腦

這一次,終於把數學和刷題的關係搞清楚了!

《高中數學競賽培優教程(一試)》(李勝宏)

這一次,終於把數學和刷題的關係搞清楚了!

與羅教授聊完,我問及了他這幾天在上海的行程,得知他每天的行程都排得滿滿的,甚至精確到了每小時。每次到上海,他不僅要在外灘教育的演播室錄製課程,還會去上海的幾所高中做數學講座。

沒錯,在美國時他也是這樣做的。每到一個城市,他都會主動聯繫當地學校進行公益數學講座,為的只是讓更多的孩子瞭解數學之美,並且愛上數學。他還經常飛往世界各國,尤其是發展中國家,去和當地的政府機構洽談數學教育的推廣。

幾個小時後,羅教授就要飛回美國了。我遺憾地說,真可惜,似乎你每次來上海都沒有時間好好地放鬆遊玩一下。錄了一整天的課,還接受了我一個多小時的採訪,他雖然面露疲色,卻依然展現他的招牌笑容略帶興奮地說:“做這些事對我來說就是在玩呀,我不覺得這是我的任務。我熱愛數學,能讓更多的人愛上數學就是讓我最開心的事情了。”


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