塞尔伯格的临界线定理表明黎曼 ζ 函数临界线上的零点在全体非平凡零点中所占比例大于零。 那么这个比例究竟是多少呢？ 塞尔伯格 在论文中没有给出具体的数值。 据说他曾经计算过这一比例， 得到的结果是 5%-10%。
另外， 中国数学家闵嗣鹤 (1913-1973) 在牛津大学留学 (1945-1947) 时， 曾在博士论文中计算过这一比例， 得到了一个很小的数值。 这些结果或是太小， 或是没有公开发表， 在数学界鲜有反响。 总的来说，塞尔伯格的结果更多地是被视为是一种定性的结果——即首次证明了位于临界线上的零点占全体非平凡零点的比例大于零。
有关这一比例的具体计算时隔二十多年才有了突破性的、 并且引人注意的进展。 这一进展是由美国数学家诺曼·莱文森 (1912-1975) 做出的。 莱文森小时候家境非常贫寒， 父亲是鞋厂工人， 母亲目不识丁且没有工作， 但他在十七岁那年成功地考入了著名的高等学府麻省理工学院 (Massachusetts Institute of Technology， 简称 MIT)。
在 MIT 的前五年， 莱文森在电子工程系就读， 但他选修了几乎所有的数学系研究生课程， 并得到了著名美国数学家诺伯特·维纳 (1894-1964) 的赏识。 1934 年， 莱文森转入了数学系。 这时莱文森的水平已完全具备了获取数学博士学位的资格， 于是维纳帮他申请了一笔奖学金， 让他去 Hardy 所在的剑桥大学访问了一年。 次年， 莱文森返回 MIT， 立即拿到了博士学位。 莱文森在学术生涯的早期先后经历了美国的经济大萧条及麦卡锡主义 (McCarthyism) 的盛行， 几次面临放弃学术研究的窘境， 但最终还是幸运地度过了难关。
莱文森在傅里叶变换、 复分析、 调和分析、 随机分析、 微分及积分方程等领域都做出过杰出贡献。 他二十八岁时就在美国数学学会出版了有关 Fourier 变换的专著， 这通常是资深数学家才有机会获得的殊荣； 他在非线性微分方程领域的工作于 1953 年获得了美国数学学会 (American Mathematical Society) 每五年颁发一次的 Bôcher 纪念奖 (Bôcher Memorial Prize)； 他 1955 年完成的著作《常微分方程理论》一出版就被誉为了这一领域的经典著作。 但他最令世人惊叹的则是在年过花甲， 生命行将走到尽头的时侯， 忽然在 黎曼 猜想研究中获得了重大突破， 给出了临界线上零点比例的一个相当可观的下界估计。
莱文森对临界线上零点比例的研究采取了与哈代、 李特尔伍德及塞尔伯格都十分不同的方法。 他的基本思路来源于黎曼 ζ 函数 ζ(s) 的零点分布与其导数 ζ'(s) 的零点分布之间的关联。
早在 1934 年， 瑞士数学家安德烈亚斯·施派泽(1885-1970) 就曾经证明过， 黎曼猜想等价于 ζ'(s) 在 0
莱文森的研究在刚开始的时侯给出了一个非常乐观的结果： 98.6%！ 他把自己的一份手稿交给了同事、 意大利裔美国数学家吉安-卡洛·罗塔(1932-1999)， 并且幽默地宣称自己可以把这个比例提高到 100%， 但他要把剩下的 1.4% 留给读者去做。
罗塔信以为真， 便开始传播 “莱文森证明了黎曼猜想” 的消息。 这很快被证明是一个双重错误： 首先， 在 莱文森所采用的方法中， 即使真的把比例提高到 100%， 也不等于证明了黎曼猜想； 其次， 很快就有人在莱文森的证明中发现了错误。 幸运的是， 该错误并没有彻底摧毁莱文森的努力， 只不过那个奇迹般的 98.6% 掉落尘埃， 变成了 34%。莱文森最终把自己论文的标题定为了： “黎曼Zeta函数超过三分之一的零点位于 σ=1/2”。 如果我们用 N0(T) 表示临界线上区间 0 莱文森临界线定理： 存在常数 T0>0， 使得对所有 T>T0， N0(T) ≥ (1/3) N(T)。 莱文森的这一结果是继塞尔伯格之后在这一领域中的又一个重大进展， 它不仅为临界线上的零点比例给出了一个相当可观的下界， 更重要的是， 莱文森的这种把 ζ(s) 与 ζ'(s) 的零点分布联合起来进行研究的方法——被称为莱文森方法——为许多后续研究奠定了基础。 （摘自《黎曼猜想漫谈：一场攀登数学高峰的天才盛宴》，作者：卢昌海）
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