楠木青城醉
根號2是個無理數，我們日常可以度量的數都是有理數，或者日常度量的結果都是用有理數表示的。
什麼是無理數呢？無理數是無限不循環小數。
這樣的情況下，根號2就是沒有盡頭，卻可以表示，表示的位置在數軸的1和2之間的某個點。
其實我們還可以進一步縮小近似值，比如在1.4和1.42之間。
如果你還覺得不夠，那麼，可以進一步縮小，比如在1.41和1.42之間。
……
可是，我們就是不能用一個有理數來界定他，表示他。
這是為什麼呢？因為他不是個有理數。
說明如下:
假設他是個有理數，不妨設為m/n，其中，m，n是互質正整數，則:
m=√2n，兩邊平方得:
m²=2n²，則m是偶數，存在整數k使得:
m=2k，代入得:n²=2k²，則n也是偶數。這與m，n是互質正整數矛盾。
所以，√2不是有理數。
他就無法用有理數度量，由勾股定理，他的長度是邊長為1的正方形的對角線長，當然就可以確知大小了，不過，這個應該把數擴展到實數才行的。
優等生數學
恭喜你，不經意間發現了史上的第一次數學危機。如果在2500年前，你也許會被當作異端扔進海里哦。這事還得從公元前580~568之間的古希臘說起。
當時數學家畢達哥拉斯(Pythagoras)建立了畢達哥拉斯學派。這一學派集宗教、科學和哲學於一體，他們認為萬物皆數，即宇宙間的一切現象都能歸結為整數或整數之比。但是該學派的成員希伯索斯(Hippasus)根據勾股定理(西方稱為畢達哥拉斯定理)通過邏輯推理發現，邊長為1的正方形的對角線長度既不是整數，也不是整數的比所能表示的。希伯索斯的發現被人們看成是荒謬和違反常識的事。它不僅嚴重觸犯了畢氏學派的信條，同時也衝擊了當時希臘人的傳統見解，使古希臘的數學家們感到驚奇和不安，所以這一事件在數學史上稱為第一次數學危機。希伯索斯的發現終沒有被畢達哥拉斯學派的信徒們所接受，相傳畢氏學派就因這一發現而把希伯索斯投入海中處死。
越來越多無理數的發現迫使希臘數學家不得不研究這些數。歐多克斯(Eudoxus，約公元前408～前347)首先引入了“量”的概念，這裡的量不是數，而是代表諸如線段、角、面積、體積、時間等。量與數的不同在於，數是離散的，即可數的，而量可以是連續的。歐多克斯由量的概念出發給出了一種新的比例論。歐幾里得《幾何原本》第五卷中引用了這種比例論，其定義為：設A，B，C，D是任意四個量，其中A和B同類(即均為線段、角或面積等)，C和D同類。如果對於任何兩個正整數m和n，mA大於、等於、小於nB是否成立，相應地取決於mC大於、等於、小於nD是否成立，則稱A與B之比等於C與D之比，即A，B，C，D四量成比例。通過這一新的比例論，希臘數學家可以嚴格地將可公度量的證明推廣到不可公度的量，從而解決了不可公度帶來的邏輯上的矛盾。
歐多克斯比例論實際上是為了避免把無理數當作數，這個理論給不可公度量的比例提供了邏輯依據，但是也將數同幾何截然分開，而且使希臘數學的重點從數轉向了幾何，因為幾何可以處理無理數。在此後的幾千年間，幾何學成為幾乎是全部嚴密數學的基礎，而算術和代數則沒有取得獨立的地位。
第一次數學危機的徹底解決，是在危機產生二千年後的19世紀，建立了極限理論和實數理論之後，才被徹底解決的。
天涯鐵鉤
你好，終於看到一個非常有趣的問題。這個問題問得非常有水平，說明樓主也是善於思考，善於發現問題的人，對於根號2，可以用邊邊長為1的等腰直角三角形表示，下面我來說說我的看法：
1.根號2是一個無理數，大家都知道，所謂無理數就是不知道這個數有多少位，小數點後數字是無限不循環的，其值大概等於1.41421。
2.根號2雖然是一個無理數，但是他也是一個有界的，就是他的大小大於某個數，同時也小於某個數，也就是說我們知道他的一個取值範圍。
3.所謂能用邊長為1的等腰直角三角形表示，也就是說，三角形斜邊對應邊長為根號2的數值，但是這並不與它是無理數有關係，也就是無理數不是不能表示的。
這是你的一個思維誤區，希望通過上面的三點能夠明白這個意思。希望我的回答能讓你滿意，喜歡的關注，點贊，評論，謝謝大家
攻城獅一號
小時候做算數題，買東西的要付給賣東西的0.333333……元，無限循環小數，心想這個賣東西的發財了，無限循環哦！過了好多年才突然明白，0.333333……再無限循環，也不會比三毛四分錢多。
回到題主的問題上來說，為什麼根號2能畫出來卻寫不出來？這本身是一個幾何學問題。一個等腰直角三角形，如果把它的直角邊長度定義為1，它的長邊的長度就是根號2。這是一個相對關係，不是絕對關係，三角形直角邊的長度是1米還是1英尺都不會影響這個定義成立。
如果再深入一點，這代表了我們人類認識世界的手段，我們是無法認識到直接的真實世界的，我們只是用一種模糊匹配的方式來認識這個世界。根號2只存在於理論中，實際上我們無法畫出兩根長度絕對一樣的直線，也不可能畫出絕對的直角，也就無法畫出絕對的根號2的長度，我相信現實世界中也無法存在這樣的實物長度，其他的像圓周率π也不可能實際存在。
但是我們人類提出了根號2和圓周率π這個概念，可以無限的把這個數字計算下去，雖然到世界末日我們也無法得到這個數字的確切值，但是這種計算方法卻為我們提供了不同的計算精度，實際上即使再精密的科研領域，也用不到小數點後多少位的精度，我們可以用這種無限不循環的小數來模擬現實中遇到的事物，來滿足我們人類自身需求，這就叫模糊匹配。
奇怪的是人類掌握真理，現實世界只是匹配我們人類的真理，這真是宇宙中最奇怪的事情。
麻爪工學院首席瞌睡家
這個問題的提出，源於沒有吃透數學思維，但的確是個好問題。
那麼，什麼是數學思維呢？數學思維就是用統計、近似、逼真、代換、對應、映射、投影、迭代、仿造、建模等數學方法，把複雜問題簡單化。
其中的迭代，即近似代換，是數學思維的精髓。數值是一個代號，代表特定的幾何圖形。幾何圖形是一個代號，代表一類實體圖景。
三者之間的迭代關係是：數值↹幾何↹實體。實體是模糊而複雜的，幾何是形象而簡化的，數值是抽象而方便的。
回到本題。數值√2↹正方對角線↹某個圖景。以此類推：數值π↹圓周/直徑↹太陽圓；虛數√-1↹逆時針旋轉½π↹某個裝置；
自然常數e↹代數式lim(1+1/n)^n↹規範螺旋線↹龍捲風圖景。
物理新視野
2的開方前500位：
1.4142135623730950488016887242096980785696718753769 50
48073176679737990732478462107038850387534327641572 100
73501384623091229702492483605585073721264412149709 150
99358314132226659275055927557999505011527820605714 200
70109559971605970274534596862014728517418640889198 250
60955232923048430871432145083976260362799525140798 300
96872533965463318088296406206152583523950547457502 350
87759961729835575220337531857011354374603408498847 400
16038689997069900481503054402779031645424782306849 450
29369186215805784631115966687130130156185689872372 500
多維觀世界
因為這兩個之間沒有因果關係啊。
當然，你想問的可能是另一個問題：為什麼能繪製出無限精度的東西呢？
答案是，我們所有真實繪製出來的東西，其精度都是有限的。但我們在概念上是可以嚴格定義出根號二的。
而且我們也能嚴格的證明，邊長為一的直角三角形，其弦長為根號二。
至於為什麼無法精確畫出，其實很簡單，精度都是有限的，而「精確」需要無限的精度。以有限比無限，殆矣。
數學上說的「尺規作圖」，並不是要精確的畫出來，雖然早期可能是這個目的。但後來追求的其實是一個概念上的關係。你用圓規畫出一個圓，很顯然它實際不是一個圓——它有各種缺陷。但並不妨礙數學家把它看作一個圓。因為數學證明並不建立在「看起來對」的基礎之上，它需要邏輯。
既然不需要看起來對，那在圖示、可視化的部分，其實是可以不那麼精確的（也做不到）。我們畫一個三角形，甚至一個線段，它的實際長度到底是多少其實關係不大，最關鍵的還是背後表達的嚴格的數學結構。
章彥博
這並不是悖論。
根號2在數學上是無理數不假，無限不循環的小數，在數學上，無法計算出它的最後一位究竟是啥。但是在現實世界的表達上，就不需要這麼苛求。
根號2≈1.4142135623，這個數字介於1.41-1.42之間，所以，無理數有它觸碰不到的天花板，這樣，在現實世界的表達上，就可以表達了。
比如整數1，整數1的表達是0.99999999（無限下去）。那麼為什麼我們的尺子上有整數1呢，不就是為了方便測量嗎。
數學與現實，有時候，數學是無法完美的在現實中表達的。比方說四維、五維模型，像那個著名的克萊因瓶一樣，現實中的克萊因瓶只是一種示意，並不是真正的，真正的是不需要破個洞的。
就題目來說的根號2，你畫出來的長度不超過1.42就行，這種情況下，無需較真。
一枚遊戲科幻迷
首先要明白一點，√2是一個數學概念，√2m是一個物理概念或者現實概念，它們兩個遠不是一個概念，數學上存在的概念現實中有可能並不存在！
一切都因為普朗克長度的存在，這個長度大約等於1.6x10的-35次方米，是長度的自然單位，也是有意義的最小可測量長度。
普朗克長度的發現意味著物體在現實中不可無限分割，而數學概念上是可以無限分割的。同時數學概念你在的找不到比0大的最小的數，而現實中或者物理學上你可以找到這樣的數，它就是普朗克長度！
普朗克長度也表明，現實中的長度（時間也是如此）並不是連續的，這意味著存在這樣一個長度，十分十分接近√2m，比這個長度再大一個普朗克長度，這個長度就越過了√2m，也就是比√2長一點點！
明白了這個道理，對於題目中的問題就應該明白了，不會為那個問題所糾纏了！
說的再直白點，現實中你在永遠畫不出真正的√2m，不但如此，你永遠畫不出任何長度，比如說你不可能畫出真正的1m（1米），1m只是人類的定義！
為何這樣說？
我們都知道1=0.9999（無限循環下去），不明白這個等式的就先不用看這個問題了，先去補補初中的數學知識！
那麼你能畫出真正的0.9999m（同樣無限循環，下同，用四個9代替）長度的線段嗎？
同理，再舉個例子，你去買一把1米長的尺子，你跟雜貨鋪老闆說要買一根長0.9999米（無限循環，也就是1米）的尺子，或者你要買一根真正的完美的1/3米長的尺子，老闆能做到嗎？是不是給你倆耳光？
所以，你利用直角三角形畫出來的並不是真正的√2m，無論如何這個長度都會比√2m略大或略小！
宇宙探索
說√2是個無理數，那是不知道√2的數理含義的歪說。請看官們先搞清楚“√“的符號意義作用，才能搞清楚“√2=1.4142135“的數學現象和意義。其實，數學先輩造出二次根式“√“是數學“理論工具“。而“√“數學“理論工具“在勞動人民的偉大實踐中的生產工具是剪刀（或小刀）。說“√“是數學“理論工具“是對“長方形的2平方”進行開兩次方根，就等於對“長方形的偶數2平方”進行約等於1.4142135長寬的兩次切割修補成了“約等於正方形的偶素2平方”，因此，√2x√2=1.4142135×1.4142135=1.9999999≈2（如果用代數符號表述則很清楚√Bx√B=a.papdaiy×a.papdaiy=A.IIIIIII≈B）。顯然，約等於正方體的2平方面積的長約等於1.4142135，寬約等於1.4142135。請各位看官在二維平面座標系上的豎軸畫出1.4142135長的刻度，再在二維平面座標系上的橫軸畫出1.4142135寬的刻度，然後用1.4142135長乘以1.4142135寬等於1.9999999約等於“2”，這個“2“就是約等於正方體面積。 請各位看官再在二維平面座標系上的豎軸畫出”1”長的刻度，又再在二維平面座標系上的橫軸畫出“1”寬的刻度，然後在橫、豎兩個“1”長的頂點，劃一條絃線，那麼這條絃線長度則約等於1.4142135長，這是勾邊長“1”與股邊長“1”及弦邊長“1.4142135”的直角三角形的解。這個勾邊長“1”與股邊長“1”及弦邊長“1.4142135”的直角三角形的解，就是在數學理論上把“口+口=日的兩個1平方面積之和的長方形2平方剪切了一次約等於1.4142135的一條邊即“√2=1.4142135”。綜上所述，數學理論工具的二次根式“√“在勞動人民的實踐中擔當了“剪刀或小刀”工具作用。數學理論工具的三次根式“³√“在勞動人民的實踐中擔當了“大砍刀或鋸子或砂輪切割機或激光”等工具作用。 數學理論上把“長方形變易成正方形就必須對長方形進行開二次方 ，如√2x√2=1.4142135x1.4142135≈2，√3x√3=1.732025x1.73205≈3，√4x√4=2x2=4，√5x√5=2.23606x2.23606≈5”。因此正方形有兩個同質同大平方根，之所以2長乘以2寬等於4平方。長方形有兩個同質不同大的平方根，之所以2長乘以3寬等於6平方。 數學理論上把“兩個正方形面積之和變易成直角三角形就必須對兩個正方形面積之和進行開一次方得到了直角三角形的弦長，如√1+2=√3=1.732050756（2是約等於正方形面積。之所以，勾邊長1，股邊長1.4142135，弦邊長1.732050756）。√1+4=√5=2.23606797749，之所以勾邊長1，股邊長2，弦邊長2.23606797749”。 數學理論上把“長方體變易成正方體就必須對長方體進行開三次方，開一次方得到一個立方根，開二次立方得到了二個立方根，開三次方得到了三個立方根，如³√8׳√8x³√8=2x2x2=8”。因此正方體有三個同質同大立方根，之所以2長乘以2寬再乘以2高等於8立方。長方體有三個同質不大立方根，之所以2長乘以3寬再乘以4高等於24立方。 綜上所述，說“√2”是無理數是對“√2”的數學含義不理解不明白一種歪說。
